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2019 年湖北省黄冈市中考数学试卷
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每小题给出的 4 个选项中，有且只有
一个答案是正确的）
1．（3 分）﹣3 的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．±3
2．（3 分）为纪念中华人民共和国成立 70 周年，我市各中小学积极开展了以“祖国在我心
中”为主题的各类教育活动，全市约有 550000 名中小学生参加，其中数据 550000 用科
学记数法表示为（ ）
A．5.5×106 B．5.5×105 C．55×104 D．0.55×106
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a2＝a2 B．5a•5b＝5ab C．a5÷a3＝a2 D．2a+3b＝5ab
4．（3 分）若 x1，x2 是一元一次方程 x2﹣4x﹣5＝0 的两根，则 x1•x2 的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
5．（3 分）已知点 A 的坐标为（2，1），将点 A 向下平移 4 个单位长度，得到的点 A′的坐标
是（ ）
A．（6，1） B．（﹣2，1） C．（2，5） D．（2，﹣3）
6．（3 分）如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（3 分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点 O 是这段弧所在圆的圆心，AB＝
40m，点 C 是 的中点，且 CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
8．（3 分）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂2
从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中 x
表示时间，y 表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离林茂家 2.5km
B．体育场离文具店 1km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 50m/min
D．林茂从文具店回家的平均速度是 60m/min
二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
9．（3 分）计算（ ）2+1 的结果是 ．
10．（3 分）﹣ x2y 是 次单项式．
11．（3 分）分解因式 3x2﹣27y2＝ ．
12．（3 分）一组数据 1，7，8，5，4 的中位数是 a，则 a 的值是 ．
13．（3 分）如图，直线 AB∥CD，直线 EC 分别与 AB，CD 相交于点 A、点 C，AD 平分∠BAC，
已知∠ACD＝80°，则∠DAC 的度数为 ．
14．（3 分）用一个圆心角为 120°，半径为 6 的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面
圆的面积为 ．
15．（3 分）如图，一直线经过原点 O，且与反比例函数 y＝ （k＞0）相交于点 A、点 B，
过点 A 作 AC⊥y 轴，垂足为 C，连接 BC．若△ABC 面积为 8，则 k＝ ．3
16．（3 分）如图，AC，BD 在 AB 的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点 M 为 AB 的中点，若∠CMD
＝120°，则 CD 的最大值是 ．
三、解答题（本题共 9 题，满分 72 分）
17．（6 分）先化简，再求值．
（ + ）÷ ，其中 a＝ ，b＝1．
18．（6 分）解不等式组 ．
19．（6 分）如图，ABCD 是正方形，E 是 CD 边上任意一点，连接 AE，作 BF⊥AE，DG⊥AE，
垂足分别为 F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
20．（7 分）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学
生从学校同时出发，步行 4000 米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，
做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的 1.25 倍，结
果比其他班提前 10 分钟到达．分别求九（1）班、其他班步行的平均速度．
21．（8 分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对
每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将4
调 查 结 果 绘 制 成 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有 1200 名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或
列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用
字幕 A，B，C，D 表示）
22．（7 分）如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 40m，从 A 点测得 D 点的俯角 α 为 45°，
测得 C 点的俯角 β 为 60°．求这两座建筑物 AB，CD 的高度．（结果保留小数点后一位，
≈1.414， ≈1.732．）
23．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，过点 D
作⊙O 的切线交 BC 于点 E，连接 OE．
（1）求证：△DBE 是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
24．（10 分）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负5
责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，
草莓销售单价 y（万元）与产量 x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的
产销投入总成本 p（万元）与产量 x（吨）之间满足 p＝x+1．
（1）直接写出草莓销售单价 y（万元）与产量 x（吨）之间的函数关系式；
（2）求该合作社所获利润 w（万元）与产量 x（吨）之间的函数关系式；
（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按 0.3 万元/吨的标准奖励扶贫对象种
植户，为确保合作社所获利润 w′（万元）不低于 55 万元，产量至少要达到多少吨？
25．（14 分）如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，
2），D（2，0）四点，动点 M 以每秒 个单位长度的速度沿 B→C→D 运动（M 不与点 B、
点 D 重合），设运动时间为 t（秒）．
（1）求经过 A、C、D 三点的抛物线的解析式；
（2）点 P 在（1）中的抛物线上，当 M 为 BC 的中点时，若△PAM≌△PBM，求点 P 的坐标；
（3）当 M 在 CD 上运动时，如图②．过点 M 作 MF⊥x 轴，垂足为 F，ME⊥AB，垂足为
E．设矩形 MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大
值；
（4）点 Q 为 x 轴上一点，直线 AQ 与直线 BC 交于点 H，与 y 轴交于点 K．是否存在点 Q，
使得△HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有 Q 点的坐标；若不存在，请
说明理由．6
2019 年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每小题给出的 4 个选项中，有且只有
一个答案是正确的）
1．（3 分）﹣3 的绝对值是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．±3
【分析】利用绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣3 的绝对值是 3．
故选：C．
【点评】本题主要考查了绝对值，解题的关键是熟记绝对值的定义．
2．（3 分）为纪念中华人民共和国成立 70 周年，我市各中小学积极开展了以“祖国在我心
中”为主题的各类教育活动，全市约有 550000 名中小学生参加，其中数据 550000 用科
学记数法表示为（ ）
A．5.5×106 B．5.5×105 C．55×104 D．0.55×106
【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤
|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的
绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1
时，n 是负数．
【解答】解：将 550000 用科学记数法表示为：5.5×105．
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，
其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
3．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．a•a2＝a2 B．5a•5b＝5ab C．a5÷a3＝a2 D．2a+3b＝5ab
【分析】直接利用单项式乘以单项式以及同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则分
别化简得出答案．
【解答】解：A、a•a2＝a3，故此选项错误；
B、5a•5b＝25ab，故此选项错误；7
C、a5÷a3＝a2，正确；
D、2a+3b，无法计算，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了单项式乘以单项式以及同底数幂的乘除运算、合并同类项，正
确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（3 分）若 x1，x2 是一元一次方程 x2﹣4x﹣5＝0 的两根，则 x1•x2 的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣4 D．4
【分析】利用根与系数的关系可得出 x1•x2＝﹣5，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2 是一元一次方程 x2﹣4x﹣5＝0 的两根，
∴x1•x2＝ ＝﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于 是解题的关键．
5．（3 分）已知点 A 的坐标为（2，1），将点 A 向下平移 4 个单位长度，得到的点 A′的坐标
是（ ）
A．（6，1） B．（﹣2，1） C．（2，5） D．（2，﹣3）
【分析】将点 A 的横坐标不变，纵坐标减去 4 即可得到点 A′的坐标．
【解答】解：∵点 A 的坐标为（2，1），
∴将点 A 向下平移 4 个单位长度，得到的点 A′的坐标是（2，﹣3），
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移
加，左移减；纵坐标上移加，下移减．正确掌握规律是解题的关键．
6．（3 分）如图，是由棱长都相等的四个小正方体组成的几何体．该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】左视图有 1 列，含有 2 个正方形．
【解答】解：该几何体的左视图只有一列，含有两个正方形．
故选：B．8
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图所看的位置．
7．（3 分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点 O 是这段弧所在圆的圆心，AB＝
40m，点 C 是 的中点，且 CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m B．24m C．30m D．60m
【分析】根据题意，可以推出 AD＝BD＝20，若设半径为 r，则 OD＝r﹣10，OB＝r，结合
勾股定理可推出半径 r 的值．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在 Rt△AOD 中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为 r 得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为 25m
故选：A．
【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为 r 后，
用 r 表示出 OD、OB 的长度．
8．（3 分）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂
从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中 x
表示时间，y 表示林茂离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．体育场离林茂家 2.5km
B．体育场离文具店 1km
C．林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 50m/min9
D．林茂从文具店回家的平均速度是 60m/min
【分析】从图中可得信息：体育场离文具店 1000m，所用时间是（45﹣30）分钟，可算出
速度．
【解答】解：从图中可知：体育场离文具店的距离是：2.5﹣1.5＝1km＝1000m，
所用时间是（45﹣30）＝15 分钟，
∴体育场出发到文具店的平均速度＝ ＝ m/min
故选：C．
【点评】本题运用函数图象解决问题，看懂图象是解决问题的关键．
二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
9．（3 分）计算（ ）2+1 的结果是 4 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+1＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关
键．
10．（3 分）﹣ x2y 是 3 次单项式．
【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可．
【解答】解：∵单项式﹣ x2y 中所有字母指数的和＝2+1＝3，
∴此单项式的次数是 3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是单项式，熟知一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次
数是解答此题的关键
11．（3 分）分解因式 3x2﹣27y2＝ 3（x+3y）（x﹣3y） ．
【分析】原式提取 3，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣9y2）＝3（x+3y）（x﹣3y），
故答案为：3（x+3y）（x﹣3y）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本
题的关键．
12．（3 分）一组数据 1，7，8，5，4 的中位数是 a，则 a 的值是 5 ．10
【分析】先把原数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：先把原数据按从小到大排列：1，4，5，7，8，正中间的数 5，
所以这组数据的中位数 a 的值是 5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了中位数的概念：把一组数据按从小到大的顺序排列，最中间那个数
或中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．
13．（3 分）如图，直线 AB∥CD，直线 EC 分别与 AB，CD 相交于点 A、点 C，AD 平分∠BAC，
已知∠ACD＝80°，则∠DAC 的度数为 50° ．
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠
DAC 的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD＝80°，
∴∠BAC＝100°，
又∵AD 平分∠BAC，
∴∠DAC＝ ∠BAC＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义．解题时注意：两直线平
行，同旁内角互补．
14．（3 分）用一个圆心角为 120°，半径为 6 的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面
圆的面积为 4π ．
【分析】易得扇形的弧长，除以 2π 即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积．
【解答】解：扇形的弧长＝ ＝4π，
∴圆锥的底面半径为 4π÷2π＝2．
∴面积为：4π，
故答案为：4π．
【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底11
面周长．
15．（3 分）如图，一直线经过原点 O，且与反比例函数 y＝ （k＞0）相交于点 A、点 B，
过点 A 作 AC⊥y 轴，垂足为 C，连接 BC．若△ABC 面积为 8，则 k＝ 8 ．
【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知 A、B 两点关于原点对称，
则 O 为线段 AB 的中点，故△BOC 的面积等于△AOC 的面积，都等于 4，然后由反比例函数
y＝ 的比例系数 k 的几何意义，可知△AOC 的面积等于 |k|，从而求出 k 的值．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于 A、B 两点，
∴A、B 两点关于原点对称，
∴OA＝OB，
∴△BOC 的面积＝△AOC 的面积＝8÷2＝4，
又∵A 是反比例函数 y＝ 图象上的点，且 AC⊥y 轴于点 C，
∴△AOC 的面积＝ |k|，
∴ |k|＝4，
∵k＞0，
∴k＝8．
故答案为 8．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系
数 k 的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线
所围成的直角三角形面积 S 的关系，即 S＝ |k|．
16．（3 分）如图，AC，BD 在 AB 的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点 M 为 AB 的中点，若∠CMD
＝120°，则 CD 的最大值是 14 ．12
【分析】如图，作点 A 关于 CM 的对称点 A′，点 B 关于 DM 的对称点 B′，证明△A′MB′
为等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点 A 关于 CM 的对称点 A′，点 B 关于 DM 的对称点 B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，
∴CD 的最大值为 14，
故答案为 14．
【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考
常考题型．
三、解答题（本题共 9 题，满分 72 分）
17．（6 分）先化简，再求值．
（ + ）÷ ，其中 a＝ ，b＝1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．13
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •ab（a+b）
＝5ab，
当 a＝ ，b＝1 时，
原式＝5 ．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于
基础题型．
18．（6 分）解不等式组 ．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组
的解集．
【解答】解： ，
解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤2，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤2．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求
不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）．
19．（6 分）如图，ABCD 是正方形，E 是 CD 边上任意一点，连接 AE，作 BF⊥AE，DG⊥AE，
垂足分别为 F，G．求证：BF﹣DG＝FG．
【分析】根据正方形的性质可得 AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再
利用“角角边”证明△BAF 和△ADG 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BF＝AG，根据
线段的和与差可得结论．14
【解答】证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∵BF⊥AE，DG⊥AE，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，
∵∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADG＝∠BAF，
在△BAF 和△ADG 中，
∵ ，
∴△BAF≌△ADG（AAS），
∴BF＝AG，AF＝DG，
∵AG＝AF+FG，
∴BF＝AG＝DG+FG，
∴BF﹣DG＝FG．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BAF≌△ADG 是解
题的关键．
20．（7 分）为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学
生从学校同时出发，步行 4000 米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，
做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的 1.25 倍，结
果比其他班提前 10 分钟到达．分别求九（1）班、其他班步行的平均速度．
【分析】设其他班步行的平均速度为 x 米/分，则九（1）班步行的平均速度为 1.25x 米/
分，根据时间＝路程÷速度结合九（1）班比其他班提前 10 分钟到达，即可得出关于 x
的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设其他班步行的平均速度为 x 米/分，则九（1）班步行的平均速度为 1.25x
米/分，
依题意，得： ﹣ ＝10，
解得：x＝80，
经检验，x＝80 是原方程的解，且符合题意，
∴1.25x＝100．15
答：九（1）班步行的平均速度为 100 米/分，其他班步行的平均速度为 80 米/分．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关
键．
21．（8 分）某校开发了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程．为了解全校学生对
每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查（每人必选且只能选一类），先将
调 查 结 果 绘 制 成 如 下 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ：
（1）本次随机调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分；
（3）若该校共有 1200 名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
（4）学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，用树形图或
列表法求处恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率．（书画、器乐、戏曲、棋类可分别用
字幕 A，B，C，D 表示）
【分析】（1）由器乐的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）总人数乘以书画对应百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得戏
曲人数，从而补全图形；
（3）利用样本估计总体思想求解可得；
（4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次随机调查的学生人数为 30÷15%＝200（人）；
（2）书画的人数为 200×25%＝50（人），戏曲的人数为 200﹣（50+80+30）＝40（人），
补全图形如下：16
（3）估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为 1200× ＝240（人）；
（4）列表得：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∵共有 12 种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的有 2 种结果，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两
步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（7 分）如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 40m，从 A 点测得 D 点的俯角 α 为 45°，
测得 C 点的俯角 β 为 60°．求这两座建筑物 AB，CD 的高度．（结果保留小数点后一位，
≈1.414， ≈1.732．）
【分析】延长 CD，交过 A 点的水平线 AE 于点 E，可得 DE⊥AE，在直角三角形 ABC 中，由17
题意确定出 AB 的长，进而确定出 EC 的长，在直角三角形 AED 中，由题意求出 ED 的长，
由 EC﹣ED 求出 DC 的长即可
【解答】解：延长 CD，交 AE 于点 E，可得 DE⊥AE，
在 Rt△AED 中，AE＝BC＝40m，∠EAD＝45°，
∴ED＝AEtan45°＝20 m，
在 Rt△ABC 中，∠BAC＝30°，BC＝40m，
∴AB＝40 ≈69.3m，
则 CD＝EC﹣ED＝AB﹣ED＝40 ﹣20 ≈29.3m．
答：这两座建筑物 AB，CD 的高度分别为 69.3m 和 29.3m．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义
是解本题的关键．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角
三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以
一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关
系问题加以解决．
23．（8 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，过点 D
作⊙O 的切线交 BC 于点 E，连接 OE．
（1）求证：△DBE 是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
【分析】（1）连接 OD，由 DE 是⊙O 的切线，得出∠ODE＝90°，∠ADO+∠BDE＝90°，由∠
ACB＝90°，得出∠CAB+∠CBA＝90°，证出∠CAB＝∠ADO，得出∠BDE＝∠CBA，即可得18
出结论；
（2）证出 CB 是⊙O 的切线，得出 DE＝EC，推出 EC＝EB，再由 OA＝OC，得出 OE∥AB，即
可得出结论．
【解答】证明：（1）连接 OD，如图所示：
∵DE 是⊙O 的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADO+∠BDE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠CAB＝∠ADO，
∴∠BDE＝∠CBA，
∴EB＝ED，
∴△DBE 是等腰三角形；
（2）∵∠ACB＝90°，AC 是⊙O 的直径，
∴CB 是⊙O 的切线，
∵DE 是⊙O 的切线，
∴DE＝EC，
∵EB＝ED，
∴EC＝EB，
∵OA＝OC，
∴OE∥AB，
∴△COE∽△CAB．
【点评】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、
平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．19
24．（10 分）某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负
责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红．经市场调研发现，
草莓销售单价 y（万元）与产量 x（吨）之间的关系如图所示（0≤x≤100）．已知草莓的
产销投入总成本 p（万元）与产量 x（吨）之间满足 p＝x+1．
（1）直接写出草莓销售单价 y（万元）与产量 x（吨）之间的函数关系式；
（2）求该合作社所获利润 w（万元）与产量 x（吨）之间的函数关系式；
（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按 0.3 万元/吨的标准奖励扶贫对象种
植户，为确保合作社所获利润 w′（万元）不低于 55 万元，产量至少要达到多少吨？
【分析】（1）分 0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100 三段求函数关系式，确定第 2 段利
用待定系数法求解析式；
（2）利用 w＝yx﹣p 和（1）中 y 与 x 的关系式得到 w 与 x 的关系式；
（3）把（2）中各段中的 w 分别减去 0.3x 得到 w′与 x 的关系式，然后根据一次函数的
性质和二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）当 0≤x≤30 时，y＝2.4；
当 30≤x≤70 时，设 y＝kx+b，
把（30，2.4），（70，2）代入得 ，解得 ，
∴y＝﹣0.01x+2.7；
当 70≤x≤100 时，y＝2；
（2）当 0≤x≤30 时，w＝2.4x﹣（x+1）＝1.4x﹣1；
当 30≤x≤70 时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）＝﹣0.01x2+1.7x﹣1；
当 70≤x≤100 时，w＝2x﹣（x+1）＝x﹣1；
（3）当 0≤x＜30 时，w′＝1.4x﹣1﹣0.3x＝1.1x﹣1，当 x＝30 时，w′的最大值为 32，
不合题意；
当 30≤x≤70 时，w′＝﹣0.01x2+1.7x﹣1﹣0.3x＝﹣0.01x2+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）20
2+48，当 x＝70 时，w′的最大值为 48，不合题意；
当 70≤x≤100 时，w′＝x﹣1﹣0.3x＝0.7x﹣1，当 x＝100 时，w′的最大值为 69，此时
0.7x﹣1≥55，解得 x≥80，
所以产量至少要达到 80 吨．
【点评】本题考查了一次函数的应用：学会建立函数模型的方法；确定自变量的范围和
利用一次函数的性质是完整解决问题的关键．
25．（14 分）如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，
2），D（2，0）四点，动点 M 以每秒 个单位长度的速度沿 B→C→D 运动（M 不与点 B、
点 D 重合），设运动时间为 t（秒）．
（1）求经过 A、C、D 三点的抛物线的解析式；
（2）点 P 在（1）中的抛物线上，当 M 为 BC 的中点时，若△PAM≌△PBM，求点 P 的坐标；
（3）当 M 在 CD 上运动时，如图②．过点 M 作 MF⊥x 轴，垂足为 F，ME⊥AB，垂足为
E．设矩形 MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大
值；
（4）点 Q 为 x 轴上一点，直线 AQ 与直线 BC 交于点 H，与 y 轴交于点 K．是否存在点 Q，
使得△HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有 Q 点的坐标；若不存在，请
说明理由．
【分析】（1）设函数解析式为 y＝ax2+bx+c，将点 A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代
入解析式即可；
（2）由已知易得点 P 为 AB 的垂直平分线与抛物线的交点，点 P 的纵坐标是 1，则有 1＝﹣
﹣ x+2，即可求 P；
（3）设点 Q（m，0），直线 BC 的解析式 y＝﹣x+2，直线 AQ 的解析式 y＝﹣ （x+2）
+2，求出点 K（0， ），H（ ， ），由勾股定理可得 OK2＝ ，OH2＝21
+ ，HK2＝ + ，分三种情况讨论△HOK 为等腰三角形即可；
【解答】解：（1）设函数解析式为 y＝ax2+bx+c，
将点 A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得
，
∴ ，
∴y＝﹣ ﹣ x+2；
（2）∵△PAM≌△PBM，
∴PA＝PB，MA＝MB，
∴点 P 为 AB 的垂直平分线与抛物线的交点，
∵AB＝2，
∴点 P 的纵坐标是 1，
∴1＝﹣ ﹣ x+2，
∴x＝﹣1+ 或 x＝﹣1﹣ ，
∴P（﹣1﹣ ，1）或 P（﹣1+ ，1）；
（3）CM＝ t﹣2 ，MG＝ CM＝2t﹣4，
MD＝4 ﹣（BC+CM）＝4 ﹣（2 + t﹣2 ）＝4 ﹣ t，
MF＝ MD＝4﹣t，
∴BF＝4﹣4+t＝t，
∴S＝ （GM+BF）×MF＝ （2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣ +8t﹣8＝﹣ （t﹣ ）
2+ ；
当 t＝ 时，S 最大值为 ；
（3）设点 Q（m，0），直线 BC 的解析式 y＝﹣x+2，
直线 AQ 的解析式 y＝﹣ （x+2）+2，22
∴K（0， ），H（ ， ），
∴OK2＝ ，OH2＝ + ，HK2＝ + ，
①当 OK＝OH 时， ＝ + ，
∴m2﹣4m﹣8＝0，
∴m＝2+2 或 m＝2﹣2 ；
②当 OH＝HK 时， + ＝ + ，
∴m2﹣8＝0，
∴m＝2 或 m＝﹣2 ；
③当 OK＝HK 时， ＝ + ，不成立；
综上所述：Q（2+2 ，0）或 Q（2﹣2 ，0）或 Q（2 ，0）或 Q（﹣2 ，0）；
【点评】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等
的性质，直线交点的求法是解题的关键．
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