辽宁省大连市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

1 2019 年辽宁省大连市中考数学试卷 一、选择题（本题共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1．（3 分）﹣2 的绝对值是（　　） A．2 B． C．﹣ D．﹣2 2．（3 分）如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3 分）2019 年 6 月 5 日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验，该火箭重 58000kg，将数 58000 用科学记数法表示为（　　） A．58×103 B．5.8×103 C．0.58×105 D．5.8x104 4．（3 分）在平面直角坐标系中，将点 P（3，1）向下平移 2 个单位长度，得到的点 P′的坐标为（　　） A．（3，﹣1） B．（3，3） C．（1，1） D．（5，1） 5．（3 分）不等式 5x+1≥3x﹣1 的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3 分）下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．平行四边形 7．（3 分）计算（﹣2a）3 的结果是（　　） A．﹣8a3 B．﹣6a3 C．6a3 D．8a3 8．（3 分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇 匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（　　） A． B． C． D． 9．（3 分）如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，若 AB＝4，BC＝8．则 D′F 的长2 为（　　） A．2 B．4 C．3 D．2 10．（3 分）如图，抛物线 y＝﹣ x2+ x+2 与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 D 在抛物线上， 且 CD∥AB．AD 与 y 轴相交于点 E，过点 E 的直线 PQ 平行于 x 轴，与拋物线相交于 P，Q 两点，则线段 PQ 的长为　 　． 二、填空题（本题共 6 小题，每小題分，共 18 分） 11．（3 分）如图 AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝　 　°． 12．（3 分）某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年齡的众数是　 　．3 13．（3 分）如图，△ABC 是等边三角形，延长 BC 到点 D，使 CD＝AC，连接 AD．若 AB＝2，则 AD 的长 为　 　． 14．（3 分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二 斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛 （斛，音 hu，是古代的一种容量单位）．1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛，问 1 个大桶、一个小桶 分别可以盛酒多少斛？若设 1 个大桶可以盛酒 x 斛，1 个小桶可以盛酒 y 斛，根据题意，可列方程组 为　 　． 15．（3 分）如图，建筑物 C 上有一杆 AB．从与 BC 相距 10m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 53°，观测旗 杆底部 B 的仰角为 45°，则旗杆 AB 的高度约为　 　m（结果取整数，参考数据：sin53°≈0.80，cos53 °≈0.60，tan53°≈1.33）． 16．（3 分）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的 A，B 两处同时出发，都以不变4 的速度相向而行，图 1 是甲离开 A 处后行走的路程 y（单位：m）与行走时 x（单位：min）的函数图象， 图 2 是甲、乙两人之间的距离（单位：m ）与甲行走时间 x （单位；min ）的函数图象，则 a ﹣b ＝　 　． 三、解答题（本题共 4 小题，17、18、19 题各 9 分，20 题 12 分，共 39 分） 17．（9 分）计算：（ ﹣2）2+ +6 18．（9 分）计算： ÷ + 19．（9 分）如图，点 E，F 在 BC 上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：AF＝DE． 20．（12 分）某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况，随机选取该年级部分男生进行测试，以下 是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分． 成绩等级 频数（人） 频率 优秀 15 0.3 良好 及格 不及格 5 根据以上信息，解答下列问题 （1）被测试男生中，成绩等级为“优秀”的男生人数为　 　人，成绩等级为“及格”的男生人数占 被测试男生总人数的百分比为　 　%；5 （2）被测试男生的总人数为　 　人，成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分 比为　 　%； （3）若该校八年级共有 180 名男生，根据调查结果，估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生 人数． 四、解答题（本共 3 小，其中 21、22 题各分，23 题 10 分，共 28 分） 21．（9 分）某村 2016 年的人均收入为 20000 元，2018 年的人均收入为 24200 元 （1）求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测 2019 年村该村的人 均收入是多少元？ 22．（9 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（3，2）在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上，点 B 在 OA 的廷长线上，BC⊥x 轴，垂足为 C，BC 与反比例函数的图象相交于点 D，连接 AC，AD． （1）求该反比例函数的解析式； （2）若 S△ACD＝ ，设点 C 的坐标为（a，0），求线段 BD 的长． 23．（10 分）如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 是⊙O 的直径，过点 A 的切线与 CD 的延长线相交于点 P．且∠APC＝∠BCP （1）求证：∠BAC＝2∠ACD； （2）过图 1 中的点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E（如图 2），当 BC＝6，AE＝2 时，求⊙O 的半径．6 五、解答题（本题共 3 小题，其中 24 题 11 分，25、26 題各 12 分，共 35 分） 24．（11 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴，y 轴分别相交于点 A，B，点 C 在 射线 BO 上，点 D 在射线 BA 上，且 BD＝ OC，以 CO，CD 为邻边作▱COED．设点 C 的坐标为（0，m），▱COED 在 x 轴下方部分的面积为 S．求： （1）线段 AB 的长； （2）S 关于 m 的函数解析式，并直接写出自变量 m 的取值范围． 25．（12 分）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题 数学课上，老师出示了这样一道题：如图 1，△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D、E 在 BC 上，AD＝AB，AB＝kBD （其中 ＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC 的平分线与 BC 相交于点 F，BG⊥AF，垂足为 G，探究线 段 BG 与 AC 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠BAE 与∠DAC 相等．” 小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 BG 与 AC 的数量关系．” …… 老师：“保留原题条件，延长图 1 中的 BG，与 AC 相交于点 H（如图 2），可以求出 的值．”7 （1）求证：∠BAE＝∠DAC； （2）探究线段 BG 与 AC 的数量关系（用含 k 的代数式表示），并证明； （3）直接写出 的值（用含 k 的代数式表示）． 26．（12 分）把函数 C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点 P（m，0）旋转 180°，得到新函数 C2 的图 象，我们称 C2 是 C1 关于点 P 的相关函数．C2 的图象的对称轴与 x 轴交点坐标为（t，0）． （1）填空：t 的值为　 　（用含 m 的代数式表示） （2）若 a＝﹣1，当 ≤x≤t 时，函数 C1 的最大值为 y1，最小值为 y2，且 y1﹣y2＝1，求 C2 的解析式； （3）当 m＝0 时，C2 的图象与 x 轴相交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧）．与 y 轴相交于点 D．把线段 AD 原点 O 逆时针旋转 90°，得到它的对应线段 A′D′，若线 A′D′与 C2 的图象有公共点，结合函数图 象，求 a 的取值范围．8 2019 年辽宁省大连市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 小題，每小題 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 1．【解答】解：﹣2 的绝对值是 2． 故选：A． 2．【解答】解：左视图有 3 列，每列小正方形数目分别为 2，1，1． 故选：B． 3．【解答】解：将数 58000 用科学记数法表示为 5.8×104． 故选：D． 4．【解答】解：将点P（3，1）向下平移 2 个单位长度，得到的点 P′的坐标为（3，1﹣2），即（3，﹣ 1）， 故选：A． 5．【解答】解：5x+1≥3x﹣1， 移项得 5x﹣3x≥﹣1﹣1， 合并同类项得 2x≥﹣2， 系数化为 1 得，x≥﹣1， 在数轴上表示为： 故选：B． 6．【解答】解：A、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 7．【解答】解：（﹣2a）3＝﹣8a3； 故选：A． 8．【解答】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：9 ∴P 两次都是红球＝ ． 故选：D． 9．【解答】解：连接AC 交 EF 于点 O，如图所示： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90°， AC＝ ＝ ＝4 ， ∵折叠矩形使 C 与 A 重合时，EF⊥AC，AO＝CO＝ AC＝2 ， ∴∠AOF＝∠D＝90°，∠OAF＝∠DAC， ∴则 Rt△FOA∽Rt△ADC， ∴ ＝ ，即： ＝ ， 解得：AF＝5， ∴D′F＝DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3， 故选：C． 10．【解答】解：当y＝0 时，﹣ x2+ x+2＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， ∴点 A 的坐标为（﹣2，0）； 当 x＝0 时，y＝﹣ x2+ x+2＝2， ∴点 C 的坐标为（0，2）； 当 y＝2 时，﹣ x2+ x+2＝2，10 解得：x1＝0，x2＝2， ∴点 D 的坐标为（2，2）． 设直线 AD 的解析式为 y＝kx+b（k≠0）， 将 A（﹣2，0），D（2，2）代入 y＝kx+b，得： ，解得： ， ∴直线 AD 的解析式为 y＝ x+1． 当 x＝0 时，y＝ x+1＝1， ∴点 E 的坐标为（0，1）． 当 y＝1 时，﹣ x2+ x+2＝1， 解得：x1＝1﹣ ，x2＝1+ ， ∴点 P 的坐标为（1﹣ ，1），点 Q 的坐标为（1+ ，1）， ∴PQ＝1+ ﹣（1﹣ ）＝2 ． 故答案为：2 ． 二、填空题（本题共 6 小题，每小題分，共 18 分） 11．【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C＝50°， ∵BC∥DE， ∴∠C+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣50°＝130°， 故答案为：130． 12．【解答】解：观察条形统计图知：为 25 岁的最多，有 8 人， 故众数为 25 岁， 故答案为：25．11 13．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°， ∵CD＝AC， ∴∠CAD＝∠D， ∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝60°， ∴∠CAD＝∠D＝30°， ∴∠BAD＝90°， ∴AD＝ ＝ ＝2 ． 故答案为 2 ． 14．【解答】解：设 1 个大桶可以盛酒x 斛，1 个小桶可以盛酒 y 斛， 根据题意得： ， 故答案为 ． 15．【解答】解：在 Rt△BCD 中，tan∠BDC＝ ， 则 BC＝CD•tan∠BDC＝10， 在 Rt△ACD 中，tan∠ADC＝ ， 则 AC＝CD•tan∠ADC≈10×1.33＝13.3， ∴AB＝AC﹣BC＝3.3≈3（m）， 故答案为：3． 16．【解答】解：从图 1，可见甲的速度为 ＝60， 从图 2 可以看出，当 x＝ 时，二人相遇，即：（60+V 已）× ＝120，解得：已的速度 V 已＝80， ∵已的速度快，从图 2 看出已用了 b 分钟走完全程，甲用了 a 分钟走完全程， a﹣b＝ ＝ ， 故答案为 ． 三、解答题（本题共 4 小题，17、18、19 题各 9 分，20 题 12 分，共 39 分） 17．【解答】解：原式＝3+4﹣4 +2 +6× ＝3+4﹣4 +2 +2 ＝7．12 18．【解答】解：原式＝ × ﹣ ＝ ﹣ ＝ ． 19．【解答】证明：∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即 BF＝CE， 在△ABF 和△DCE 中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS） ∴AF＝DE． 20．【解答】解：（1）由统计图表可知，成绩等级为“优秀”的男生人数为 15 人， 被测试男生总数 15÷0.3＝50（人）， 成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比： ， 故答案为 15，90； （2）被测试男生总数 15÷0.3＝50（人）， 成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比： ， 故答案为 50，10； （3）由（1）（2）可知，优秀 30%，及格 20%，不及格 10%，则良好 40%， 该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数 180×40%＝72（人） 答：该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数 72 人． 四、解答题（本共 3 小，其中 21、22 题各分，23 题 10 分，共 28 分） 21．【解答】解：（1）设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为x， 根据题意得：20000（1+x）2＝24200， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.1（不合题意，舍去）． 答：2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10%． （2）24200×（1+10%）＝26620（元）． 答：预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元． 22．【解答】解：（1）∵点A（3，2）在反比例函数 y＝ （x＞0）的图象上，13 ∴k＝3×2＝6， ∴反比例函数 y＝ ； 答：反比例函数的关系式为：y＝ ； （2）过点 A 作 AE⊥OC，垂足为 E，连接 AC， 设直线 OA 的关系式为 y＝kx，将 A（3，2）代入得，k＝ ， ∴直线 OA 的关系式为 y＝ x， ∵点 C（a，0），把 x＝a 代入 y＝ x，得：y＝ a，把 x＝a 代入 y＝ ，得：y＝ ， ∴B（a， ），即 BC═ a， D（a， ），即 CD＝ ∵S△ACD＝ ， ∴ CD•EC＝ ，即 ，解得：a＝6， ∴BD＝BC﹣CD＝ ＝3； 答：线段 BD 的长为 3． 23．【解答】（1）证明：作DF⊥BC 于 F，连接 DB， ∵AP 是⊙O 的切线， ∴∠PAC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°， ∴∠P＝∠DAC＝∠DBC， ∵∠APC＝∠BCP，14 ∴∠DBC＝∠DCB， ∴DB＝DC， ∵DF⊥BC， ∴DF 是 BC 的垂直平分线， ∴DF 经过点 O， ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠BDC＝2∠ODC， ∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD； （2）解：∵DF 经过点 O，DF⊥BC， ∴FC＝ BC＝3， 在△DEC 和△CFD 中， ， ∴△DEC≌△CFD（AAS） ∴DE＝FC＝3， ∵∠ADC＝90°，DE⊥AC， ∴DE2＝AE•EC， 则 EC＝ ＝ ， ∴AC＝2+ ＝ ， ∴⊙O 的半径为 ．15 五、解答题（本题共 3 小题，其中 24 题 11 分，25、26 題各 12 分，共 35 分） 24．【解答】解：（1）当x＝0 时，y＝3， 当 y＝0 时，x＝4， ∴直线 y＝﹣ x+3 与 x 轴点交 A（4，0），与 y 轴交点 B（0，3） ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝ ， 因此：线段 AB 的长为 5． （2）当 CD∥OA 时，如图， ∵BD＝ OC，OC＝m， ∴BD＝ m， 由△BCD∽△BOA 得： ，即： ，解得：m＝ ； ①当 0＜m≤ 时，如图 1 所示：DE＝m≤ ，此时点 E 在△AOB 的内部， S＝0 （0＜m≤ ）； ②当 ＜m≤3 时，如图 2 所示：过点 D 作 DF⊥OB，垂足为 F， 此时在 x 轴下方的三角形与△CDF 全等， ∵△BDF∽△BAO， ∴ ， ∴DF＝ ，同理：BF＝m， ∴CF＝2m﹣3，16 ∴S△CDF＝ ＝（2m﹣3）× ＝ m2﹣4m， 即：S＝ m2﹣4m，（ ＜m≤3） ③当 m＞3 时，如图 3 所示：过点 D 作 DF⊥y 轴，DG⊥x 轴，垂足为、FG， 同理得：DF＝ ，BF＝m， ∴OF＝DG＝m﹣3，AG＝ m﹣4， ∴S＝S△OGE﹣S△ADG＝ ＝ ∴S＝ ，（m＞3） 答：S＝17 25．【解答】证明：（1）∵AB＝AD ∴∠ABD＝∠ADB ∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE ∴∠BAE＝∠DAC （2）设∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β ∴∠ABC＝∠ADB＝α+β ∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC ∴∠EAC＝2β ∵AF 平分∠EAC ∴∠FAC＝∠EAF＝β ∴∠FAC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β ∴AF＝FC，AF＝BF ∴AF＝ BC＝BF ∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90° ∴△ABG∽△BCA18 ∴ ∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB ∴△ABF∽△BAD ∴ ，且 AB＝kBD，AF＝ BC＝BF ∴k＝ ，即 ∴ （3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90° ∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC ∴△ABH∽△ACB ∴ ∴AB2＝AC×AH 设 BD＝m，AB＝km， ∵ ∴BC＝2k2m ∴AC＝ ＝km ∴AB2＝AC×AH （km）2＝km ×AH ∴AH＝ ∴HC＝AC﹣AH＝km ﹣ ＝ ∴ 26．【解答】解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， 顶点（1，﹣4a）围绕点 P（m，0）旋转 180°的对称点为（2m﹣1，4a）， C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1， t＝2m﹣1， 故答案为：2m﹣1； （2）a＝﹣1 时，19 C1：y＝（x﹣1）2﹣4， ①当 t＜1 时， x＝ 时，有最小值 y2＝ ， x＝t 时，有最大值 y1＝﹣（t﹣1）2+4， 则 y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣ ＝1，无解； ②1≤t 时， x＝1 时，有最大值 y1＝4， x＝ 时，有最小值 y2＝﹣（t﹣1）2+4， y1﹣y2＝ ≠1（舍去）； ③当 t 时， x＝1 时，有最大值 y1＝4， x＝t 时，有最小值 y2＝﹣（t﹣1）2+4， y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1， 解得：t＝0 或 2（舍去 0）， 故 C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x； （3）m＝0， C2：y＝﹣a（x+1）2+4a， 点 A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0）， 当 a＞0 时，a 越大，则 OD 越大，则点 D′越靠左， 当 C2 过点 A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝ ， 当 C2 过点 D′时，同理可得：a＝1， 故：0＜a 或 a≥1； 当 a＜0 时，20 当 C2 过点 D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣ ， 故：a≤﹣ ； 综上，故：0＜a 或 a≥1 或 a≤﹣ ．