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2019 年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题(本题共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)
1.(3 分)﹣2 的绝对值是( )
A.2 B. C.﹣ D.﹣2
2.(3 分)如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A. B.
C. D.
3.(3 分)2019 年 6 月 5 日,长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验,该火箭重
58000kg,将数 58000 用科学记数法表示为( )
A.58×103 B.5.8×103 C.0.58×105 D.5.8x104
4.(3 分)在平面直角坐标系中,将点 P(3,1)向下平移 2 个单位长度,得到的点 P′的坐标为( )
A.(3,﹣1) B.(3,3) C.(1,1) D.(5,1)
5.(3 分)不等式 5x+1≥3x﹣1 的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.(3 分)下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.菱形 D.平行四边形
7.(3 分)计算(﹣2a)3 的结果是( )
A.﹣8a3 B.﹣6a3 C.6a3 D.8a3
8.(3 分)不透明袋子中装有红、绿小球各一个,除颜色外无其他差别,随机摸出一个小球后,放回并摇
匀,再随机摸出一个,两次都摸到红球的概率为( )
A. B. C. D.
9.(3 分)如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 C 与点 A 重合,折痕为 EF,若 AB=4,BC=8.则 D′F 的长2
为( )
A.2 B.4 C.3 D.2
10.(3 分)如图,抛物线 y=﹣ x2+ x+2 与 x 轴相交于 A、B 两点,与 y 轴相交于点 C,点 D 在抛物线上,
且 CD∥AB.AD 与 y 轴相交于点 E,过点 E 的直线 PQ 平行于 x 轴,与拋物线相交于 P,Q 两点,则线段 PQ
的长为 .
二、填空题(本题共 6 小题,每小題分,共 18 分)
11.(3 分)如图 AB∥CD,CB∥DE,∠B=50°,则∠D= °.
12.(3 分)某男子足球队队员的年龄分布如图所示,这些队员年齡的众数是 .3
13.(3 分)如图,△ABC 是等边三角形,延长 BC 到点 D,使 CD=AC,连接 AD.若 AB=2,则 AD 的长
为 .
14.(3 分)我国古代数学著作《九章算术》中记载:“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二
斛.问大小器各容几何.”其大意为:有大小两种盛酒的桶,已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛
(斛,音 hu,是古代的一种容量单位).1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛,问 1 个大桶、一个小桶
分别可以盛酒多少斛?若设 1 个大桶可以盛酒 x 斛,1 个小桶可以盛酒 y 斛,根据题意,可列方程组
为 .
15.(3 分)如图,建筑物 C 上有一杆 AB.从与 BC 相距 10m 的 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 53°,观测旗
杆底部 B 的仰角为 45°,则旗杆 AB 的高度约为 m(结果取整数,参考数据:sin53°≈0.80,cos53
°≈0.60,tan53°≈1.33).
16.(3 分)甲、乙两人沿同一条直路走步,如果两人分别从这条多路上的 A,B 两处同时出发,都以不变4
的速度相向而行,图 1 是甲离开 A 处后行走的路程 y(单位:m)与行走时 x(单位:min)的函数图象,
图 2 是甲、乙两人之间的距离(单位:m )与甲行走时间 x (单位;min )的函数图象,则 a ﹣b
= .
三、解答题(本题共 4 小题,17、18、19 题各 9 分,20 题 12 分,共 39 分)
17.(9 分)计算:( ﹣2)2+ +6
18.(9 分)计算: ÷ +
19.(9 分)如图,点 E,F 在 BC 上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,求证:AF=DE.
20.(12 分)某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况,随机选取该年级部分男生进行测试,以下
是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.
成绩等级 频数(人) 频率
优秀 15 0.3
良好
及格
不及格 5
根据以上信息,解答下列问题
(1)被测试男生中,成绩等级为“优秀”的男生人数为 人,成绩等级为“及格”的男生人数占
被测试男生总人数的百分比为 %;5
(2)被测试男生的总人数为 人,成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分
比为 %;
(3)若该校八年级共有 180 名男生,根据调查结果,估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生
人数.
四、解答题(本共 3 小,其中 21、22 题各分,23 题 10 分,共 28 分)
21.(9 分)某村 2016 年的人均收入为 20000 元,2018 年的人均收入为 24200 元
(1)求 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率;
(2)假设 2019 年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测 2019 年村该村的人
均收入是多少元?
22.(9 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(3,2)在反比例函数 y= (x>0)的图象上,点 B
在 OA 的廷长线上,BC⊥x 轴,垂足为 C,BC 与反比例函数的图象相交于点 D,连接 AC,AD.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)若 S△ACD= ,设点 C 的坐标为(a,0),求线段 BD 的长.
23.(10 分)如图 1,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC 是⊙O 的直径,过点 A 的切线与 CD 的延长线相交于点
P.且∠APC=∠BCP
(1)求证:∠BAC=2∠ACD;
(2)过图 1 中的点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E(如图 2),当 BC=6,AE=2 时,求⊙O 的半径.6
五、解答题(本题共 3 小题,其中 24 题 11 分,25、26 題各 12 分,共 35 分)
24.(11 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=﹣ x+3 与 x 轴,y 轴分别相交于点 A,B,点 C 在
射线 BO 上,点 D 在射线 BA 上,且 BD= OC,以 CO,CD 为邻边作▱COED.设点 C 的坐标为(0,m),▱COED
在 x 轴下方部分的面积为 S.求:
(1)线段 AB 的长;
(2)S 关于 m 的函数解析式,并直接写出自变量 m 的取值范围.
25.(12 分)阅读下面材料,完成(1)﹣(3)题
数学课上,老师出示了这样一道题:如图 1,△ABC 中,∠BAC=90°,点 D、E 在 BC 上,AD=AB,AB=kBD
(其中 <k<1)∠ABC=∠ACB+∠BAE,∠EAC 的平分线与 BC 相交于点 F,BG⊥AF,垂足为 G,探究线
段 BG 与 AC 的数量关系,并证明.同学们经过思考后,交流了自已的想法:
小明:“通过观察和度量,发现∠BAE 与∠DAC 相等.”
小伟:“通过构造全等三角形,经过进一步推理,可以得到线段 BG 与 AC 的数量关系.”
……
老师:“保留原题条件,延长图 1 中的 BG,与 AC 相交于点 H(如图 2),可以求出 的值.”7
(1)求证:∠BAE=∠DAC;
(2)探究线段 BG 与 AC 的数量关系(用含 k 的代数式表示),并证明;
(3)直接写出 的值(用含 k 的代数式表示).
26.(12 分)把函数 C1:y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)的图象绕点 P(m,0)旋转 180°,得到新函数 C2 的图
象,我们称 C2 是 C1 关于点 P 的相关函数.C2 的图象的对称轴与 x 轴交点坐标为(t,0).
(1)填空:t 的值为 (用含 m 的代数式表示)
(2)若 a=﹣1,当 ≤x≤t 时,函数 C1 的最大值为 y1,最小值为 y2,且 y1﹣y2=1,求 C2 的解析式;
(3)当 m=0 时,C2 的图象与 x 轴相交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的右侧).与 y 轴相交于点 D.把线段 AD
原点 O 逆时针旋转 90°,得到它的对应线段 A′D′,若线 A′D′与 C2 的图象有公共点,结合函数图
象,求 a 的取值范围.8
2019 年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共 10 小題,每小題 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)
1.【解答】解:﹣2 的绝对值是 2.
故选:A.
2.【解答】解:左视图有 3 列,每列小正方形数目分别为 2,1,1.
故选:B.
3.【解答】解:将数 58000 用科学记数法表示为 5.8×104.
故选:D.
4.【解答】解:将点P(3,1)向下平移 2 个单位长度,得到的点 P′的坐标为(3,1﹣2),即(3,﹣
1),
故选:A.
5.【解答】解:5x+1≥3x﹣1,
移项得 5x﹣3x≥﹣1﹣1,
合并同类项得 2x≥﹣2,
系数化为 1 得,x≥﹣1,
在数轴上表示为:
故选:B.
6.【解答】解:A、等腰三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
B、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
C、菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确;
D、平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误.
故选:C.
7.【解答】解:(﹣2a)3=﹣8a3;
故选:A.
8.【解答】解:两次摸球的所有的可能性树状图如下:9
∴P 两次都是红球= .
故选:D.
9.【解答】解:连接AC 交 EF 于点 O,如图所示:
∵四边形 ABCD 是矩形,
∴AD=BC=8,∠B=∠D=90°,
AC= = =4 ,
∵折叠矩形使 C 与 A 重合时,EF⊥AC,AO=CO= AC=2 ,
∴∠AOF=∠D=90°,∠OAF=∠DAC,
∴则 Rt△FOA∽Rt△ADC,
∴ = ,即: = ,
解得:AF=5,
∴D′F=DF=AD﹣AF=8﹣5=3,
故选:C.
10.【解答】解:当y=0 时,﹣ x2+ x+2=0,
解得:x1=﹣2,x2=4,
∴点 A 的坐标为(﹣2,0);
当 x=0 时,y=﹣ x2+ x+2=2,
∴点 C 的坐标为(0,2);
当 y=2 时,﹣ x2+ x+2=2,10
解得:x1=0,x2=2,
∴点 D 的坐标为(2,2).
设直线 AD 的解析式为 y=kx+b(k≠0),
将 A(﹣2,0),D(2,2)代入 y=kx+b,得:
,解得: ,
∴直线 AD 的解析式为 y= x+1.
当 x=0 时,y= x+1=1,
∴点 E 的坐标为(0,1).
当 y=1 时,﹣ x2+ x+2=1,
解得:x1=1﹣ ,x2=1+ ,
∴点 P 的坐标为(1﹣ ,1),点 Q 的坐标为(1+ ,1),
∴PQ=1+ ﹣(1﹣ )=2 .
故答案为:2 .
二、填空题(本题共 6 小题,每小題分,共 18 分)
11.【解答】解:∵AB∥CD,
∴∠B=∠C=50°,
∵BC∥DE,
∴∠C+∠D=180°,
∴∠D=180°﹣50°=130°,
故答案为:130.
12.【解答】解:观察条形统计图知:为 25 岁的最多,有 8 人,
故众数为 25 岁,
故答案为:25.11
13.【解答】解:∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°,
∵CD=AC,
∴∠CAD=∠D,
∵∠ACB=∠CAD+∠D=60°,
∴∠CAD=∠D=30°,
∴∠BAD=90°,
∴AD= = =2 .
故答案为 2 .
14.【解答】解:设 1 个大桶可以盛酒x 斛,1 个小桶可以盛酒 y 斛,
根据题意得: ,
故答案为 .
15.【解答】解:在 Rt△BCD 中,tan∠BDC= ,
则 BC=CD•tan∠BDC=10,
在 Rt△ACD 中,tan∠ADC= ,
则 AC=CD•tan∠ADC≈10×1.33=13.3,
∴AB=AC﹣BC=3.3≈3(m),
故答案为:3.
16.【解答】解:从图 1,可见甲的速度为 =60,
从图 2 可以看出,当 x= 时,二人相遇,即:(60+V 已)× =120,解得:已的速度 V 已=80,
∵已的速度快,从图 2 看出已用了 b 分钟走完全程,甲用了 a 分钟走完全程,
a﹣b= = ,
故答案为 .
三、解答题(本题共 4 小题,17、18、19 题各 9 分,20 题 12 分,共 39 分)
17.【解答】解:原式=3+4﹣4 +2 +6×
=3+4﹣4 +2 +2
=7.12
18.【解答】解:原式= × ﹣
= ﹣
= .
19.【解答】证明:∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,即 BF=CE,
在△ABF 和△DCE 中,
,
∴△ABF≌△DCE(SAS)
∴AF=DE.
20.【解答】解:(1)由统计图表可知,成绩等级为“优秀”的男生人数为 15 人,
被测试男生总数 15÷0.3=50(人),
成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比: ,
故答案为 15,90;
(2)被测试男生总数 15÷0.3=50(人),
成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比: ,
故答案为 50,10;
(3)由(1)(2)可知,优秀 30%,及格 20%,不及格 10%,则良好 40%,
该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数 180×40%=72(人)
答:该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数 72 人.
四、解答题(本共 3 小,其中 21、22 题各分,23 题 10 分,共 28 分)
21.【解答】解:(1)设 2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为x,
根据题意得:20000(1+x)2=24200,
解得:x1=0.1=10%,x2=1.1(不合题意,舍去).
答:2016 年到 2018 年该村人均收入的年平均增长率为 10%.
(2)24200×(1+10%)=26620(元).
答:预测 2019 年村该村的人均收入是 26620 元.
22.【解答】解:(1)∵点A(3,2)在反比例函数 y= (x>0)的图象上,13
∴k=3×2=6,
∴反比例函数 y= ;
答:反比例函数的关系式为:y= ;
(2)过点 A 作 AE⊥OC,垂足为 E,连接 AC,
设直线 OA 的关系式为 y=kx,将 A(3,2)代入得,k= ,
∴直线 OA 的关系式为 y= x,
∵点 C(a,0),把 x=a 代入 y= x,得:y= a,把 x=a 代入 y= ,得:y= ,
∴B(a, ),即 BC═ a,
D(a, ),即 CD=
∵S△ACD= ,
∴ CD•EC= ,即 ,解得:a=6,
∴BD=BC﹣CD= =3;
答:线段 BD 的长为 3.
23.【解答】(1)证明:作DF⊥BC 于 F,连接 DB,
∵AP 是⊙O 的切线,
∴∠PAC=90°,即∠P+∠ACP=90°,
∵AC 是⊙O 的直径,
∴∠ADC=90°,即∠PCA+∠DAC=90°,
∴∠P=∠DAC=∠DBC,
∵∠APC=∠BCP,14
∴∠DBC=∠DCB,
∴DB=DC,
∵DF⊥BC,
∴DF 是 BC 的垂直平分线,
∴DF 经过点 O,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∵∠BDC=2∠ODC,
∴∠BAC=∠BDC=2∠ODC=2∠OCD;
(2)解:∵DF 经过点 O,DF⊥BC,
∴FC= BC=3,
在△DEC 和△CFD 中,
,
∴△DEC≌△CFD(AAS)
∴DE=FC=3,
∵∠ADC=90°,DE⊥AC,
∴DE2=AE•EC,
则 EC= = ,
∴AC=2+ = ,
∴⊙O 的半径为 .15
五、解答题(本题共 3 小题,其中 24 题 11 分,25、26 題各 12 分,共 35 分)
24.【解答】解:(1)当x=0 时,y=3,
当 y=0 时,x=4,
∴直线 y=﹣ x+3 与 x 轴点交 A(4,0),与 y 轴交点 B(0,3)
∴OA=4,OB=3,
∴AB= ,
因此:线段 AB 的长为 5.
(2)当 CD∥OA 时,如图,
∵BD= OC,OC=m,
∴BD= m,
由△BCD∽△BOA 得:
,即: ,解得:m= ;
①当 0<m≤ 时,如图 1 所示:DE=m≤ ,此时点 E 在△AOB 的内部,
S=0 (0<m≤ );
②当 <m≤3 时,如图 2 所示:过点 D 作 DF⊥OB,垂足为 F,
此时在 x 轴下方的三角形与△CDF 全等,
∵△BDF∽△BAO,
∴ ,
∴DF= ,同理:BF=m,
∴CF=2m﹣3,16
∴S△CDF= =(2m﹣3)× = m2﹣4m,
即:S= m2﹣4m,( <m≤3)
③当 m>3 时,如图 3 所示:过点 D 作 DF⊥y 轴,DG⊥x 轴,垂足为、FG,
同理得:DF= ,BF=m,
∴OF=DG=m﹣3,AG= m﹣4,
∴S=S△OGE﹣S△ADG= =
∴S= ,(m>3)
答:S=17
25.【解答】证明:(1)∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∵∠ADB=∠ACB+∠DAC,∠ABD=∠ABC=∠ACB+∠BAE
∴∠BAE=∠DAC
(2)设∠DAC=α=∠BAE,∠C=β
∴∠ABC=∠ADB=α+β
∵∠ABC+∠C=α+β+β=α+2β=90°,∠BAE+∠EAC=90°=α+∠EAC
∴∠EAC=2β
∵AF 平分∠EAC
∴∠FAC=∠EAF=β
∴∠FAC=∠C,∠ABE=∠BAF=α+β
∴AF=FC,AF=BF
∴AF= BC=BF
∵∠ABE=∠BAF,∠BGA=∠BAC=90°
∴△ABG∽△BCA18
∴
∵∠ABE=∠BAF,∠ABE=∠AFB
∴△ABF∽△BAD
∴ ,且 AB=kBD,AF= BC=BF
∴k= ,即
∴
(3)∵∠ABE=∠BAF,∠BAC=∠AGB=90°
∴∠ABH=∠C,且∠BAC=∠BAC
∴△ABH∽△ACB
∴
∴AB2=AC×AH
设 BD=m,AB=km,
∵
∴BC=2k2m
∴AC= =km
∴AB2=AC×AH
(km)2=km ×AH
∴AH=
∴HC=AC﹣AH=km ﹣ =
∴
26.【解答】解:(1)C1:y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,
顶点(1,﹣4a)围绕点 P(m,0)旋转 180°的对称点为(2m﹣1,4a),
C2:y=﹣a(x﹣2m+1)2+4a,函数的对称轴为:x=2m﹣1,
t=2m﹣1,
故答案为:2m﹣1;
(2)a=﹣1 时,19
C1:y=(x﹣1)2﹣4,
①当 t<1 时,
x= 时,有最小值 y2= ,
x=t 时,有最大值 y1=﹣(t﹣1)2+4,
则 y1﹣y2=﹣(t﹣1)2+4﹣ =1,无解;
②1≤t 时,
x=1 时,有最大值 y1=4,
x= 时,有最小值 y2=﹣(t﹣1)2+4,
y1﹣y2= ≠1(舍去);
③当 t 时,
x=1 时,有最大值 y1=4,
x=t 时,有最小值 y2=﹣(t﹣1)2+4,
y1﹣y2=(t﹣1)2=1,
解得:t=0 或 2(舍去 0),
故 C2:y=(x﹣2)2﹣4=x2﹣4x;
(3)m=0,
C2:y=﹣a(x+1)2+4a,
点 A、B、D、A′、D′的坐标分别为(1,0)、(﹣3,0)、(0,3a)、(0,1)、(﹣3a,0),
当 a>0 时,a 越大,则 OD 越大,则点 D′越靠左,
当 C2 过点 A′时,y=﹣a(0+1)2+4a=1,解得:a= ,
当 C2 过点 D′时,同理可得:a=1,
故:0<a 或 a≥1;
当 a<0 时,20
当 C2 过点 D′时,﹣3a=1,解得:a=﹣ ,
故:a≤﹣ ;
综上,故:0<a 或 a≥1 或 a≤﹣ .