山东省济南市2019年中考数学卷（PDF版 含解析）.pdf

1 / 14 山东省济南市 2019 年初三年级学业水平考试数学试题 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．) 1. －7 的相反数是 A． －7 B．－1 7 C．7 D． 1 【答案】C 2．以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是 A B C D 【答案】 D 3．2019 年 1 月 3 日，“嫦娥四号” 探测器成功着陆在月球背面东经 177.6 度、南纬 45.5 度附近，实现了 人类首次在月球背面软着陆．数字 177.6 用科学记数法表示为 A． 0.1776×103 B． 1.776×102 C．1.776×103 D． 17.76×102 【答案】B 4． 如图，DE∥BC，BE 平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE 的度数为 A．20° B．35° C．55° D．70° 【答案】B 5．实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是 A． a－5＞b－5 B． 6a＞6b C． －a＞－b D． a－b＞0 【答案】C 6．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 【答案】C C D 1 E B A 0 1ab 赵爽弦图 科克曲线笛卡尔心形线 斐波那契螺旋线 2 / 14 7．化简 4 x2－4＋ 1 x＋2的结果是 A．x－2 B． 1 x＋2 C． 2 x－2 D． 2 x＋2 【答案】B 【解析】 4 x2－4＋ 1 x＋2＝ 4 (x＋2)(x－2)＋ 1 x＋2＝ 4＋(x－2) (x＋2)(x－2)＝ x－2 (x＋2)(x－2)＝ 1 x＋2． 8．在学校的体育训练中，小杰投掷实心球的 7 次成绩如统计图所示，则这 7 次成绩的中位数和平均数分 别是 A．9.7m， 9.9m B．9.7m， 9.8m C．9.8m， 9.7m D．9.8m， 9.9m 【答案】B 9．函数 y＝－ax＋a 与 y＝a x(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】D 10．如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，以 C 为圆心、CE 为半径作弧，交 CD 于点 F，连接 AE、 AF．若 AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为 A．9 3－3π B．9 3－2π C．18 3－9π D．18 3－6π 【答案】A 【解析】由已知可得：CE＝CF＝1 2AB＝3，AE⊥BC，AF⊥CD，AE＝AF＝3 3，∠ECF＝120°． S△AEC＝S△AFC＝1 2×3×3 3＝9 2 3，S 四边形 AECF＝9 3，S 扇形 ECF＝1 3×π×32＝3π． 成绩/m 次7654321O 9.7 9.6 9.8 10.2 9.7 9.5 10.1 9.5 10 10.5 x y O x y O x y O x y O FE C A B D 3 / 14 ∴S 阴影＝S 四边形 AECF－S 扇形 ECF＝9 3－3π． 11．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门 A 测得历下亭 C 在北偏东 37°方向，继续向北走 105m 后 到达游船码头 B，测得历下亭 C 在游船码头 B 的北编东 53°方向．请计算一下南门 A 与历下亭 C 之间 的距离约为 (参考数据：tan37°≈3 4，tan53°≈4 3 )． A．225m B．275m C．300m D．315m 【答案】C 【解析】过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 的延长线于点 D． 在 Rt△ACD 中，∵tan∠A＝CD AD，∴tan37°＝CD AD＝3 4．∴可设 CD＝3x，AD＝4x．∴AC＝5x． 在 Rt△BCD 中，∵tan∠DBC＝CD BD，∴tan53°＝CD BD＝4 3．∴ 3x BD＝4 3．∴BD＝9 4x． ∵AB＋BD＝AD，∴105＋9 4x＝4x．解得 x＝60． ∴AC＝5x＝300（m）． 12．关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋1 2＝0 有一个根是－1，若二次函数 y＝ax2＋bx＋1 2的图象的顶点在第 一象限，设 t＝2a＋b，则 t 的取值范围是 A．－1 2＜t＜1 4 B．－1＜t≤1 4 C．－1 2≤t＜1 2 D．－1＜t＜1 2 FE C A DB 游船码头 历下亭 南门 东 北 53° 37° C A B 37° 53° D C A B 4 / 14 【答案】D 【解析】将 x＝－1 代入 ax2＋bx＋1 2＝0，得 a－b＋1 2＝0． ∴a＝b－1 2„„„„„„„„„„„„„„①． ∴t＝2a＋b＝2(b－1 2)＋b＝3b－1„„„„„„„„„„„„„„②． 根据题意可知：二次函数 y＝ax2＋bx＋1 2的图象经过点（－1，0）和（0，1 2）． 又∵二次函数 y＝ax2＋bx＋1 2的图象的顶点在第一象限， ∴该抛物线的开口向下，与 x 轴有两个交点，且顶点的纵坐标 y 顶＞1 2． ∴a＜0，b＞0． ∴a＝b－1 2＜0．∴b＜1 2． 又∵b＞0，∴0＜b＜1 2．∴0＜3b＜3 2．∴－1＜3b－1＜1 2． 又∵t＝3b－1， ∴－1＜t＜1 2„„„„„„„„„„„„„„③． 下面再采用验证法作出进一步的判断： 在1 4＜t＜1 2的范围内，若取 t＝3 8，得3 8＝3b－1．解得 b＝11 24．∴a＝b－1 2＝－ 1 24． 此时 y＝ax2＋bx＋1 2＝－ 1 24x2＋11 24x＋1 2＝－ 1 24(x－11 2 )2＋217 96 ，x 顶＝11 2 ＞0，y 顶＝217 96 ＞1 2． ∴t＝3 8符合题意„„„„„„„„„„„„„„④． 在－1＜t＜－1 2的范围内若取 t＝－3 4，得－3 4＝3b－1．解得 b＝ 1 12．∴a＝b－1 2＝－ 5 12． 此时 y＝ax2＋bx＋1 2＝－ 5 12x2＋ 1 12x＋1 2＝－ 5 12(x－ 1 10)2＋121 240，x 顶＝ 1 10＞0，y 顶＝121 240＞1 2． ∴t＝－3 4符合题意„„„„„„„„„„„„„„⑤． 综上可知：答案选 D． 二、填空题： (本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．) 13．分解因式： m2－4m＋4＝________； 【答案】(m－2)2 x y –1 1 2 –1 1 D O 5 / 14 14．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了 6 个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时，指针落在红色 区域的概率等于________； 【答案】1 3 15． 一个 n 边形的内角和等于 720°， 则 n＝________； 【答案】6 16．代数式2x－1 3 与代数式 3－2x 的和为 4，则 x＝________； 【答案】x＝－1 17．某市为提倡居民节约用水，自今年 1 月 1 日起调整居民用水价格．图中 l1、l2 分别表示去年、今年水 费 y(元)与用水量 x (m3)之间的关系．小雨家去年用水量为 150m3，若今年用水量与去年相同，水费将 比去年多________元． 【答案】210 【解析】图中 l1 的解析式为 y＝3x，当 x＝150 时，y＝3×150＝450（元）， ∴小雨家去年用水的水费为 450 元． 图中 lBC 的解析式为 y＝6x－240，当 x＝150 时，y＝6×150－240＝660（元）． 660－450＝210（元）． ∴水费将比去年多 210 元． 18． 如图，在矩形纸片 ABCD 中，将 AB 沿 BM 翻折， 使点 A 落在 BC 上的点 N 处，BM 为折痕，连接 MN；再将 CD 沿 CE 翻折，使点 D 恰好落在 MN 上的点 F 处，CE 为折痕，连接 EF 并延长交 BM 于点 P，若 AD＝8，AB＝5，则线段 PE 的长等于________． 红 红 白 白 白 白 l1 l2 y/元 x/m3 720 480 1601200 C B A P F C M N A B DE 6 / 14 【答案】20 3 【解析】由题意可得：四边形 ABNM 是正方形，AM＝AB＝MN＝BN＝5，CN＝DM＝8－5＝3，∠ABM＝ 45°，CD＝CF＝5，DE＝EF． 在 Rt△CFN 中，∵CF＝5，CN＝3，∴FN＝4． ∴MF＝MN－FN＝5－4＝1． 设 DE＝EF＝x，则 ME＝3－x． 在 Rt△MEF 中，∵ME2＋MF2＝EF2，∴(3－x)2＋12＝x2．x＝5 3．∴EF＝5 3，则 ME＝3－x＝4 3． ∴MF∶ME∶EF＝3∶4∶5． 过点 P 作 PG⊥AM 于点 G，则∠GPM＝∠ABM＝45°．∴PG＝MG． ∵PG∥MF，∴△EFM∽△EPG．∴PG∶EG∶PE＝MF∶ME∶EF＝3∶4∶5． 设 PG＝MG＝3y，则 EG＝4y，PE＝5y． ∵EG＝MG＋EM，∴4y＝3y＋4 3．∴y＝4 3． ∴PE＝5y＝20 3 ． 三、解答题： (本大题共 9 个小题，共 78 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 19． (本小题满分 6 分) 计算：(1 2)－1＋(π＋1)0－2cos60°＋ 9 【解】原式＝2＋1－2×1 2＋3 ＝5． 20． (本小题满分 6 分) 解不等式组：  5x－3≤2x＋9① 3x＞x＋10 2 . ② ，并写出它的所有整数解． 【解】由①，得 5x－2x≤9＋3． ∴x≤4． 由②，得 6x＞x＋10． ∴x＞2． ∴原不等式组的解集是 2＜x≤4． 它的所有整数解为：3，4． 21． (本小题满分 6 分) 如图，在□ABCD 中，E、F 分别是 AD 和 BC 上的点，∠DAF＝∠BCE．求证：BF＝DE． G P F C M N A B DE 7 / 14 【证明】 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC． ∴∠AFB＝∠DAF，∠DEC＝∠BCE． 又∵∠DAF＝∠BCE， ∴∠AFB＝∠DEC． ∴△ABF≌△CDE． ∴BF＝DE． 22． (本小题满分 8 分) 为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买 A 种图书花费了 3000 元，购买 B 种图书花费了 1600 元，A 种图书的单价是 B 种图书的 1.5 倍，购买 A 种图书的数量比 B 种图 书多 20 本． (1)求 A 和 B 两种图书的单价； (2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按 8 折销售学校当天购买了 A 种图书 20 本 和 B 种图书 25 本，共花费多少元? 【解】（1）设 B 种图书的单价为 x 元，A 种图书的单价为 1.5x 元，根据题意，得； 3000 1.5x－1600 x ＝20． 2000 x －1600 x ＝20． 解得 x＝20． 经检验 x＝20 是原方程的根． ∴1.5x＝30． 答：A 种图书的单价为 30 元，B 种图书的单价为 20 元． (2) （20×30＋20×25）×0.8＝880(元)． 答：共花费 880 元． 23． (本小题满分 8 分) 如图，AB、CD 是⊙O 的两条直径，过点 C 的⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，连接 AC、BD． (1)求证；∠ABD＝∠CAB； (2)若 B 是 OE 的中点，AC＝12，求⊙O 的半径． 【解析】 （1）证明：∵AD＝AD，∴∠ABD＝∠ACD． EA D CB F E C D BA O 8 / 14 ∵OA＝OC，∴∠ACD＝∠CAB． ∴∠ABD＝∠CAB． （2）解：连接 BC，则∠ACB＝90°． ∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE＝90°． ∵B 是 OE 的中点，∴OB＝BE＝1 2OE． ∴OC＝OB＝1 2OE． ∴∠E＝30°． ∴∠COE＝60°． 又∵OC＝OB， ∴△OCB 是等边三角形． ∴∠ABC＝60°． 在 Rt△ABC 中，∵tan∠ABC＝AC BC，∴tan60°＝12 BC． ∴BC＝12 3＝4 3． 24． (本小题满分 10 分 某学校八年级共 400 名学生，为了解该年级学生的视力情况，从中随机抽取 40 名学生的视力数据作 为样本，数据统计如下： 4.2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2 5.2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2 4.4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1 4.2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3 根据数据绘制了如下的表格和统计图： 等级 视力（x） 频数 频率 A x＜4.2 4 0.1 B 4.2≤x≤4.4 12 0.3 C 4.5≤x≤4.7 a D 4.8≤x≤5.0 b E 5.1≤x≤5.3 10 0.25 合计 40 1 根据上面提供的信息，回答下列问题： (1)统计表中的 a＝_______，b ＝_______； E C D BA O 等级 人数 EDCBA 14 12 10 8 6 4 2 0 9 / 14 (2)请补全条形统计图； (3)根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E 级”的有多少人? (4)该年级学生会宣传部有 2 名男生和 2 名女生，现从中随机挑选 2 名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣 传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1 男 1 女”的概率． 【解】（1）a＝8，b ＝0.15； (2)补全后的条形统计图如图所示： （3）400×0.25=100（人）． 答：估计该校八年级学生视力为 “E 级”的有 100 人． （4）根据题意，列表如下： 一 二 男 1 男 2 女 1 女 2 男 1 （男，男） （女，男） （女，男） 男 2 （男，男） （女，男） （女，男） 女 1 （男，女） （男，女） （女，女） 女 2 （男，女） （男，女） （女，女） 共有 12 种可能的结果，每种结果出现的可能性都相同，其中恰好选中“1 男 1 女”的结果有 8 种，所以 其概率为 8 12＝2 3． 25． (本小题满分 10 分) 如图 1，点 A(0，8)、点 B(2，a)在直线 y＝－2x＋b 上，反比例函数 y＝k x(x＞0)的图象经过点 B． (1)求 a 和 k 的值； (2)将线段 AB 向右平移 m 个单位长度(m＞0)，得到对应线段 CD，连接 AC、 BD． ①如图 2，当 m＝3 时，过 D 作 DF⊥x 轴于点 F，交反比例函数图象于点 E，求DE EF的值； ②在线段 AB 运动过程中，连接 BC，若 △BCD 是以 BC 为腰的等腰三形，求所有满足条件的 m 的值． 等级 人数 EDCBA 14 12 10 8 6 4 2 0 10 / 14 【解】（1）将点 A(0，8)代入 y＝－2x＋b，得 b＝8． ∴直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋8． 将点 B(2，a)代入 y＝－2x＋8，得 a＝－2×2＋8＝4． ∴点 B(2，4)． 将点 B(2，4)代入 y＝k x(x＞0)，得 k＝2×4＝8． ∴反比例函数的解析式为 y＝8 x(x＞0)． （2）当 m＝3 时，D（5，4）．∴F（5，0）． 将 x＝5 代入 y＝8 x，得 y＝8 5．∴E（5，8 5）． ∴DE＝4－8 5＝12 5 ，EF＝8 5． ∴DE EF＝ 12 5 8 5 ＝3 2． （3）根据题意，得 C（m，8），D（2＋m，4）． ∴BC2＝(m－2)2＋(8－4)2＝m2－4m＋20， BD2＝(2＋m－2)2＋(4－4)2＝m2， CD2＝AB2＝(2－0)2＋(4－8)2＝20． ①若 BC＝CD，则 m2－4m＋20＝20．解得 m1＝4，m2＝0（不合题意，舍去）． ②若 BC＝BD，则 m2－4m＋20＝m2．解得 m＝5． ∴满足条件的 m 的值为 4 或 5． 26． (本小题满分 12 分) 小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究． (一)猜测探究 在△ABC 中，AB＝AC，M 是平面内任意一点， 将线段 AM 绕点 A 按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的 角度，得到线段 AN，连接 NB． (1)如图 1，若 M 是线段 BC 上的任意一点， 请直接写出∠NAB 与∠MAC 的数量关系是______，NB 与 MC 的数量关系是______； (2)如图 2，点 E 是 AB 延长线上点，若 M 是∠CBE 内部射线 BD 上任意一点，连接 MC，(1)中结论 是否仍然成立?若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． (二)拓展应用 x y x y E F C DB A O B A O 11 / 14 如图 3，在△A1B1C1 中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P 是 B1C1 上的任意点，连接 A1P， 将 A1P 绕点 A1 按顺时针方向旋转 75°，得到线段 A1Q，连接 B1Q．求线段 B1Q 长度的最小值． 【解】（1）∠NAB＝∠MAC，NB＝MC； （2）(1)中结论仍然成立，证明如下： 由旋转可得：AN＝AM，∠NAM＝∠BAC． ∴∠NAB＋∠BAM＝∠BAM＋∠MAC． ∴∠NAB＝∠MAC． 又∵AB＝AC， ∴△NAB≌△MAC． ∴NB＝MC． （3）过点 A1 作 A1G⊥B1C1 于点 G，则 B1G＝1 2A1B1＝4，A1G＝ 3B1G＝4 3． 在△A1B1C1 中，∴∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，∴∠C1＝45°． 在 Rt△ABC 中，∵∠C1＝45°，∴A1C1＝ 2A1G＝4 6． 作 A1B1 的延长线 B1F，将 A1C1 绕点 A1 按顺时针方向旋转 75°，得到线段 A1P1(点 P1 在 B1F 上)，将 A1B1 绕点 A1 按顺时针方向旋转 75°，得到线段 A1P2，连接 P1P2． 根据题意可知：当点 P 在点 C1 处时，点 Q 在点 P1 处，当点 P 在点 B1 处时，点 Q 在点 P2 处． ∵点 P 在线段 B1C1 上运动，∴点 Q 在线段 P1P2 上运动． 过点 B1 作 B1H⊥P1P2 于点 H，则线段 B1Q 长度的最小值= B1H． 与（2）同理可得：A1Q＝A1P，∠QA1P1＝∠PA 1C1． 又∵A1P1＝A1C1＝4 6， ∴△QA1P1≌△PA 1C1． ∴∠QP1A1＝∠PC1A1＝45°． 在 Rt△P1B1H 中，∵∠B1 P1P2＝45°，∴B1H＝P1B1 2 ＝4 6－4 2 ＝4 3－2 2． ∴线段 B1Q 长度的最小值= B1H＝4 3－2 2． E D Q C1 NN B C CB B1 A M A M A1 P 12 / 14 27．（本题满分 12 分） 如图 1，抛物线 C：y＝ax2＋bx 经过点 A（－4，0）、 B（－1，3）两点，G 是其顶点，将抛物线 C 绕 点 O 旋转 180°，得到新的抛物线 C′． （1）求抛物线 C 的函数解析式及顶点 G 的坐标； （2）如图 2，直线 l：y＝kx－12 5 经过点 A，D 是抛物线 C 上的一点，设 D 点的横坐标为 m（m＜－2）， 连接 DO 并延长，交抛物线 C′于点 E，交直线 l 于点 M，若 DE＝2EM，求 m 的值； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 AG、AB，在直线 DE 下方的抛物线 C 上是否存在点 P，使得 ∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由． 【解】（1）将点 A（－4，0）、 B（－1，3）的坐标分别代入 y＝ax2＋bx，得  0＝16a－4b 3＝a－b ．解得 a＝－1 b＝－4． ∴抛物线 C 的函数解析式为 y＝－x2－4x． ∵y＝－x2－4x＝－( x2＋4x)＝－( x2＋4x＋4－4)＝－( x＋2) 2＋4， ∴抛物线 C 的顶点 G 的坐标为（－2，4）． （2）∵抛物线 C 与新的抛物线 C′关于原点 O 中心对称， ∴新的抛物线 C′的函数解析式为－y＝－(－x)2－4(－x)，即 y＝x2－4x． 将点 A（－4，0）的坐标代入 y＝kx－12 5 ，得 0＝－4k－－12 5 ．解得 k＝－3 5． ∴直线 l 的函数解析式为 y＝－3 5x－12 5 ． 设点 D 的坐标为（m，－m2－4m）（其中 m＜－2）． 由题意可知：点 D 与点 E 关于原点 O 中心对称， GH P2 P1 Q C1B1 A1 P F x y G B A O x y l E D M G B A O x y l E D M G B A O 13 / 14 ∴点 E 的坐标为（－m，m2＋4m）且 OD＝OE＝1 2DE． ∵DE＝2EM，∴EM＝1 2DE．∴OD＝OE＝EM．∴xM＝2xE＝－2m． 把 x＝－2m 代入 y＝－3 5x－12 5 ，得 y＝－3 5×(－2m)－12 5 ＝6 5m－12 5 ． ∴点 M 的坐标为（－2m，6 5m－12 5 ）． ∵点 E 是 OM 的中点，∴yE＝yO＋yM 2 ． ∴m2＋4m ＝ 0＋(6 5m－12 5 ) 2 ．整理，得 5m2＋17m＋6＝0．解得 m1＝－3，m2＝－2 5（不合题意，舍去）． ∴m＝－3． （3）存在点符合题意的点 P，使得∠DEP＝∠GAB． 在（2）的条件下，m＝－3，则点 D 的坐标为（－3，3）， 点 E 的坐标为（3，－3）． 取抛物线 C′的顶点为点 G′． 由题意可得：点 G（－2，4）与点 G′关于原点 O 中心对称，∴点 G′的坐标为（2，－4）． 分别连接 BG、EG′、OG′． 由点 A（－4，0）、 B（－1，3）可得直线 AB 的解析式为 y＝x＋4，且 AB＝3 2． 由点 B（－1，3）、 G（－2，4）可得直线 BG 的解析式为 y＝－x＋2，且 BG＝ 2． ∵kAB·kBG＝1×(－1)＝－1，∴AB⊥BG．∴∠ABG＝90°． 由点 O（0，0）、 E（3，－3）可得直线 OE 的解析式为 y＝－x，且 OE＝3 2． 由点 G′（2，－4）、 E（3，－3）可得直线 EG′的解析式为 y＝x－6，且 EG′＝ 2． ∵kOE·k EG′＝1×(－1)＝－1，∴OE⊥EG′．∴∠OEG′＝90°． ∵AB＝OE＝3 2，BG＝EG′＝ 2，∠ABG＝∠OEG′＝90°，∴△ABG≌△OEG′．∴∠GAB＝∠G′OE． ∴要使∠DEP＝∠GAB，只要∠DEP＝∠G′OE 即可． 方法一：直线 OG′的解析式为 y＝－2x．作线段 OE 的垂直平分线，交线段 OE 于点 N，交线段 OG′于点 F， 作直线 EF，交抛物线 C 与两点 P1、P2，则∠FEO＝∠G′OE．∴点 P1、P2 即为所求 线段 OE 的垂直平分线的解析式为 y＝x－3． 由 y＝x－3 y＝－2x解得 x＝1 y＝－2．∴点 F 的坐标为（1，－2）． 由点 E（3，－3）、 F（1，－2）可得直线 EF 的解析式为 y＝－1 2x－3 2． 由  y＝－1 2x－3 2 y＝－x2－4x 得 2x2＋7x－3＝0．解得 x1＝－7＋ 73 4 ，x2＝－7－ 73 4 ． ∴点 P 的横坐标为－7＋ 73 4 或－7－ 73 4 ． 14 / 14 方法二：直线 OG′的解析式为 y＝－2x． 在线段 OG′上取一点 F，使 FE＝FO，则∠FEO＝∠G′OE＝∠GAB．直线 EF 交抛物线 C 于两点 P1、P2， 则点 P1、P2 即为所求． 设 F 的坐标为（t，－2t），则 OF2＝(0－t)2＋(0＋2t)2＝5t2，EF2＝(t－3)2＋(－2t＋3)2＝5t2－18t＋18． ∵FE＝FO，∴5t2＝5t2－18t＋18．解得 t＝1． ∴F（1，－2）． 由点 E（3，－3）、 F（1，－2）可得直线 EF 的解析式为 y＝－1 2x－3 2． 由  y＝－1 2x－3 2 y＝－x2－4x 得 2x2＋7x－3＝0．解得 x1＝－7＋ 73 4 ，x2＝－7－ 73 4 ． ∴点 P 的横坐标为－7＋ 73 4 或－7－ 73 4 ． x y P1 P2 N F G' E D M G B A O x y P1 P2 F G' E D M G B A O