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第2章 对称图形——圆
2.4 第3课时 圆的内接四边形
知识点 圆内接四边形的性质
1.如图2-4-30所示,四边形ABCD为⊙O的内接四边形.若∠BCD=110°,则∠BAD的度数为( )
A.140° B.110° C.90° D.70°
图2-4-30
图2-4-31
2.如图2-4-31,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点.若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是( )
A.115° B.105° C.100° D.95°
3.在圆内接四边形ABCD中,若∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,则∠D的度数是( )
A.60° B.90° C.120° D.30°
4.如图2-4-32,四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC的大小为( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
图2-4-32
图2-4-33
.如图2-4-33,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,且∠D=130°,则∠BAC=________°.
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6.如图2-4-34,四边形ABCD内接于⊙O.若∠BOD=130°,则∠DCE=________°.
图2-4-34
7.如图2-4-35,四边形ABCD为圆的内接四边形,DA,CB的延长线交于点P,∠P=30°,∠ABC=100°,则∠C=________°.
图2-4-35
图2-4-36
8.如图2-4-36,△ABC为⊙O的内接等边三角形,D为⊙O上一点,则∠ADB=________°.
9.如图2-4-37,已知A,B,C,D是⊙O上的四点,延长DC,AB相交于点E.若BC=BE.求证:△ADE是等腰三角形.
图2-4-37
10.已知:如图2-4-38,四边形ABCD是圆的内接四边形,延长AD,BC相交于点E,F是BD延长线上的点,且DE平分∠CDF.求证:AB=AC.
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图2-4-38
11.[2016·淮安清河区二模] 如图2-4-39,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=35°,∠AED=115°,则∠B的度数是( )
A.50° B.75° C.80° D.100°
图2-4-39
图2-4-40
12.如图2-4-40,⊙O是钝角三角形ABC的外接圆,连接OC.已知∠BAC=y°,∠BCO=x°,则y与x之间的函数表达式为______________(不必写出自变量的取值范围).
13.教材练习第3题变式如图2-4-41,在⊙O中,点A,B,C在⊙O上,且∠ACB=110°,则∠α=________.
14. [2016·南京高淳区一模] 四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD的度数为________.
图2-4-41
图2-4-42
15.[2016·南京溧水区一模] 如图2-4-42,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=AD,∠
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C=110°.点E在上,则∠E=________°.
16.如图2-4-43,AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线,它与圆交于点D,F为BC上的点.
(1)求证:DB=DC;
(2)请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心,并说明理由.
图2-4-43
17.如图2-4-44,⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E,F.
(1)若∠E=∠F,求证:∠ADC=∠ABC;
(2)若∠E=∠F=42°,求∠A的度数;
(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β,请你用含有α,β的代数式表示∠A的大小.
图2-4-44
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详解详析
1.D [解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
∴∠BCD+∠BAD=180°(圆内接四边形的对角互补).
又∵∠BCD=110°,
∴∠BAD=70°.故选D.
2.B [解析] ∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
而∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD.
而∠BAD=105°,
∴∠DCE=105°.
故选B.
3.B [解析] ∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4,
∴设∠A=2x,则∠B=3x,∠C=4x.
∵四边形ABCD为圆内接四边形,
∴∠A+∠C=180°,
即2x+4x=180°,解得x=30°,
∴∠B=3x=90°,
∴∠D=180°-∠B=180°-90°=90°.故选B.
4. C
5.40 [解析] ∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠B=180°-∠D=50°,
∴∠BAC=90°-∠B=40°.
6.65 [解析] ∵∠BOD=130°,
∴∠A=∠BOD=65°.
∵∠A+∠BCD=180°,∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠DCE=∠A=65°.
7.70 [解析] ∵∠ABC=100°,∠P=30°,
∴∠PAB=∠ABC-∠P=70°.
∵四边形ABCD为圆的内接四边形,
∴∠C+∠BAD=180°.
∵∠BAD+∠PAB=180°,
∴∠C=∠PAB=70°.
8.120.
9.证明:∵A,B,C,D是⊙O上的四点,
∴四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠A+∠DCB=180°.
又∵∠BCE+∠DCB=180°,
∴∠A=∠BCE.
∵BC=BE,
∴∠BCE=∠E,∴∠A=∠E,
∴AD=DE,即△ADE是等腰三角形.
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10.证明:∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ADC+∠CDE=180°,
∴∠ABC=∠CDE.
∵∠FDE=∠ADB=∠ACB,∠CDE=∠FDE,∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC.
11.D [解析] ∵四边形ACDE是圆内接四边形,
∴∠AED+∠ACD=180°.
∵∠AED=115°,
∴∠ACD=65°.
∵∠CAD=35°,
∴∠ADC=80°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,
∴∠B+∠ADC=180°,
∴∠B=100°,故选D.
12.y=x+90
13.140°
14. 130°或50°
15.125
16. (1)证明:∵∠DCB+∠BAD=180°,∠BAD+∠DAE=180°,
∴∠DCB=∠DAE.
∵∠DBC=∠CAD,∠CAD=∠DAE,
∴∠DBC=∠CAD=∠DAE=∠DCB,
∴DB=DC.
(2)答案不唯一,如:
若F为BC的中点,则DF经过圆心.
理由:∵△DBC是等腰三角形,F是BC的中点,
∴DF是底边BC的垂直平分线.
∵圆内接三角形的圆心是三边垂直平分线的交点,
∴DF必过圆心.
17. (1)证明:∵∠E=∠F,∠ECD=∠FCB,
∴∠E+∠ECD=∠F+∠FCB,
即∠ADC=∠ABC.
(2)∵∠A+∠BCD=180°,∠ECD+∠BCD=180°,
∴∠A=∠ECD.
∵∠EDC=∠A+∠F,
∠EDC+∠E+∠ECD=180°,
∴2∠A+∠E+∠F=180°.
又∵∠E=∠F=42°,∴∠A=48°.
(3)由(2)中的结论可知2∠A+∠E+∠F=180°,
∴2∠A+α+β=180°,解得∠A=90°-(α+β).
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