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第2章 对称图形——圆
2.5 第2课时 切线的性质与判定
知识点 1 切线的性质
1.如图2-5-7所示,PA切半圆O于点A,如果∠P=40°,那么∠AOP的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
图2-5-7
图2-5-8
2.[2017·吉林] 如图2-5-8,直线l是⊙O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交⊙O于点C.若AB=12,OA=5,则BC的长为( )
A.15 B.6 C.7 D.8
3.如图2-5-9,四边形ABCD内接于⊙O,AB是直径,过点C的切线与AB的延长线交于点P.若∠P=40°,则∠D的度数为________.
图2-5-9
图2-5-10
4.[教材习题2.5第5题变式] 如图2-5-10,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线与AB的延长线交于点P,连接AC.若∠A=30°,PC=3,则BP的长为________.
5.[2016·盐都区一模] 如图2-5-11,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且∠D=2∠CAD.
(1)求∠D的度数;
(2)若CD=,求AD的长.
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图2-5-11
知识点 2 切线的判定
6.如图2-5-12,P是∠BAC的平分线上一点,PD⊥AC,垂足为D.AB与以点P为圆心,PD长为半径的圆相切吗?请说明理由.
图2-5-12
7.[教材习题2.5第7题变式] 如图2-5-13,AB是⊙O的弦,OC⊥OA,交AB于点P,且PC=BC.求证:BC是⊙O的切线.
图2-5-13
8.如图2-5-14,已知AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,点E在⊙O外,∠EAC=∠B=60°.
(1)求∠ADC的度数;
(2)求证:AE是⊙O的切线.
图2-5-14
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9.如图2-5-15,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB是直径,∠BCD=120°,过点D的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为( )
A.40° B.35° C.30° D.45°
图2-5-15
图2-5-16
10.[2016·无锡锡北片一模] 如图2-5-16,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,∠CDB=20°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,则∠E=_________°.
图2-5-17
11.[2016·宜兴三模] 如图2-5-17,在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=8,AB=10,⊙O的半径为4.P是AB上的一动点,过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点.设AP=x (0≤x≤10),PQ2=y,则y与x之间的函数关系式为____________.
12.[2017·济宁] 如图2-5-18,已知⊙O的直径AB=12,AC=10,D是的中点.过点D作DE⊥AC,交AC的延长线于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求AE的长.
图2-5-18
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13.如图2-5-19,在△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC,交AB于点D.
(1)作⊙O,使⊙O经过A,C,D三点(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由.
图2-5-19
14.如图2-5-20,在△ABC中,AC=BC,AB是⊙C的切线,切点为D,直线AC交⊙C于点E,F,且CF=AC.
(1)求∠ACB的度数;
(2)若AC=8,求△ABF的面积.
图2-5-20
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详解详析
1.B [解析] ∵PA为半圆O的切线,∴∠PAO=90°.∵∠P=40°,∴∠AOP=90°-40°=50°.
2.D 3.115° 4.
5.解:(1)∵PD切⊙O于点C,
∴OC⊥CD,
∴∠OCD=90°.
∵OA=OC,
∴∠CAD=∠OCA,
∴∠COD=2∠CAD.
∵∠D=2∠CAD,
∴∠D=∠COD=45°.
(2)由(1)可知∠D=∠COD,
∴CD=OC=OA=.
∵∠OCD=90°,
∴OD===2,
∴AD=OA+OD=+2.
6.解:AB与以点P为圆心,PD长为半径的圆相切.理由:如图,过点P作PE⊥AB于点E.
∵P是∠BAC的平分线上一点,PD⊥AC,PE⊥AB,∴PE=PD,
∴AB与以点P为圆心,PD长为半径的圆相切.
7.证明:∵PC=BC,∴∠CPB=∠CBP,
而∠APO=∠CPB,∴∠CBP=∠APO.
∵OC⊥OA,∴∠A+∠APO=90°,
而OA=OB,∴∠A=∠ABO,
∴∠CBP+∠ABO=90°,
∴OB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线.
8. (1)∵∠B与∠ADC都是所对的圆周角,
∴∠ADC=∠B=60°.
(2)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,∴∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°,
即BA⊥AE.
∵OA是⊙O的半径,∴AE是⊙O的切线.
9.C [解析] 如图,连接OD.在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BCD+∠BAD=180°,∠BCD=120°,
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∴∠BAD=60°.
又∵OA=OD,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠ADO=60°.
∵过点D的切线PD与直线AB交于点P,
∴∠PDO=90°,
∴∠ADP=30°.故选C.
10.50
11.y=x2-x+48
[解析] 连接OQ,OP,过点O作OM⊥AB于点M,由勾股定理求出OB,再用面积法求得OM,然后,用勾股定理求得AM,则可求PM,利用OP2=PQ2+OQ2=PM2+OM2,列出等式即可解决问题.
12.解:(1)证明:如图,连接OD.∵D是的中点,
∴=,
∴∠BOD=∠BAE,
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线.
(2)如图,过点O作OF⊥AC于点F.
∵AC=10,
∴AF=CF=AC=×10=5.
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°,
∴四边形OFED是矩形,
∴FE=OD=AB.
∵AB=12,∴FE=6,
∴AE=AF+FE=5+6=11.
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13. (1)如图所示:
(2)直线BC与⊙O相切.
理由如下:连接OC.
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A=30°,
∴∠COB=∠A+∠ACO=2∠A=60°,
∴∠COB+∠B=60°+30°=90°,
∴∠OCB=90°,
即OC⊥BC.
又∵BC经过半径OC的外端点C,
∴直线BC与⊙O相切.
14.[全品导学号:54602100]解:(1)连接CD.
∵AB是⊙C的切线,切点为D,
∴CD⊥AB.
∵CF=AC,CF=CE,
∴AE=CE,
∴ED=AC=EC,
∴ED=EC=CD,
∴∠ECD=60°,∴∠A=30°.
∵AC=BC,∴∠ACB=120°.
(2)过点F作FM⊥AB于点M.
∵AC=BC,CD⊥AB,∴AB=2AD.
∵AC=8,∠A=30°,CD⊥AB,
∴CD=4,AD=4 ,
∴AB=8 ,CF=CD=4,
∴AF=AC+CF=12.
在Rt△AFM中,由∠A=30°,可得MF=AF=6,
∴S△ABF=AB·MF=×8 ×6=24 .
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