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第2章 对称图形——圆
2.5 第3课时 三角形的内切圆
知识点 1 三角形内切圆的概念
图2-5-21
1.[2017·广州] 如图2-5-21,⊙O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( )
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
知识点 2 三角形内切圆的应用
2.教材练习第1题变式如图2-5-22,点O是△ABC的内心,∠A=62°,则∠BOC=( )
A.59° B.31° C.124° D.121°
图2-5-22
图2-5-23
3.如图2-5-23,⊙O是△ABC的内切圆,与AB,BC,CA分别切于点D,E,F,∠DOE=120°,∠EOF=110°,则∠A=______°,∠B=______°,∠C=______°.
4.教材例4变式如图2-5-24,⊙O是△ABC的内切圆,与边BC,CA,AB的切点分别为D,E,F.若∠A=70°,则∠EDF的度数为________.
5.△ABC的三边长分别为a,b,c,⊙I是△ABC的内切圆,半径为r,则S△ABC=______________.
6.已知直角三角形的三边长分别为3,4,5,则这个三角形的内切圆半径是________.
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图2-5-24
图2-5-25
7.如图2-5-25,已知⊙O是边长为2的等边三角形ABC的内切圆,则⊙O的半径为________.
8.如图2-5-26,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,求∠BOC的度数.
图2-5-26
9.如图2-5-27,I是△ABC的内心,∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D,BD与ID相等吗?为什么?
图2-5-27
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图2-5-28
10.[2016·河北] 如图2-5-28为4×4的网格图,点A,B,C,D,O均在格点上,点O是( )
A.△ACD的外心
B.△ABC的外心
C.△ACD的内心
D.△ABC的内心
11.[2017·武汉] 已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为( )
A. B. C. D.2
12.如图2-5-29,在△ABC中,AB=AC,⊙O是△ABC的内切圆,它与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F.
(1)求证:BE=CE;
(2)若∠A=90°,AB=AC=2,求⊙O的半径.
图2-5-29
13.如图2-5-30,在等腰三角形ABC中,AE是底边BC上的高,点O在AE上,⊙O与AB,BC分别相切于点D,E.
(1)⊙O是否为△ABC的内切圆?请说明理由;
(2)若AB=5,BC=4,求⊙O的半径.
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图2-5-30
14.已知任意三角形的三边长,如何求三角形的面积?
古希腊的几何学家海伦解决了这个问题,在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式——海伦公式S=(其中a,b,c是三角形的三边长,p=,S为三角形的面积),并给出了证明.
例如:在Rt△ABC中,a=3,b=4,c=5,那么它的面积可以这样计算:
∵a=3,b=4,c=5,
∴p==6,
∴S===6.
事实上,对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题,还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.
如图2-5-31,在△ABC中,BC=5,AC=6,AB=9.
(1)用海伦公式求△ABC的面积;
(2)求△ABC的内切圆半径r.
图2-5-31
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详解详析
1.B 2.D
3.50 60 70
4.55° [解析] 连接OE,OF.∵∠A=70°,⊙O与边BC,CA,AB的切点分别为D,E,F,
∴∠EOF=180°-70°=110°,
∴∠EDF=∠EOF=55°.
5.r(a+b+c)
6.1
7.
[解析] 设⊙O与BC的切点为D.连接OC,OD.
∵CA,CB都与⊙O相切,
∴∠OCD=∠OCA=30°.
在Rt△OCD中,CD=BC=1,∠OCD=30°,
∴OD=.
8.解:∵∠BAC=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°.
∵点O是△ABC的内切圆的圆心,
∴BO,CO分别平分∠ABC,∠BCA,
∴∠OBC+∠OCB=50°,
∴∠BOC=130°.
9.解:BD=ID.
理由:连接BI.
∵点I是△ABC的内心,
∴∠BAI=∠CAI,∠ABI=∠CBI,
∴=,
∴∠BAD=∠DBC.
∵∠BID=∠BAI+∠ABI,∠IBD=∠CBI+∠DBC,∴∠IBD=∠BID,
∴BD=ID.
10.B [解析] 由图可得OA=OB=OC,所以点O是△ABC的外心.故选B.
11.C
12.解:(1)证明:如图,连接OB,OC,OE.
∵⊙O是△ABC的内切圆,
∴BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,
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∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,
又∵⊙O与BC相切于点E,
∴OE⊥BC,∴BE=CE.
(2)如图,连接OD,OF.
∵⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,
∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°.
又∵OD=OF,∴四边形ODAF是正方形.
在Rt△OBD和Rt△OBE中,
∴△OBD≌△OBE,
∴BD=BE,同理CE=CF.
设OD=AD=AF=r,
则BE=BD=CF=CE=2-r.
在△ABC中,∠A=90°,
∴BC==2 .
又∵BC=BE+CE,∴(2-r)+(2-r)=2 ,解得r=2-,
∴⊙O的半径是2-.
13.解:(1)⊙O是△ABC的内切圆.
理由:∵⊙O与AB相切于点D,
连接OD,则OD⊥AB于点D,过点O作OF⊥AC于点F.
∵AE是底边BC上的高,
∴AE也是顶角∠BAC的平分线,
∴OF=OD,∴⊙O与AC相切于点F.
又∵⊙O与BC相切,
∴⊙O是△ABC的内切圆.
(2)连接OB,OC,设⊙O的半径为r.
∵D,E,F是切点,∴OD=OE=OF=r.
由题意得AB=AC=5,EC=BE=AB=2.
在Rt△ABE中 ,AE==,
∴r(AC+BC+AB)=AE·BC,
解得r=.
14.解:(1)∵BC=5,AC=6,AB=9,
∴p===10,
∴S===10 ,
故△ABC的面积10 .
(2)∵S=r(BC+AC+AB),
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∴10 =r(5+6+9),解得r=,
故△ABC的内切圆半径r=.
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