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第2章 对称图形—圆
2.5 第4课时 切线长定理
知识点 切线长定理的应用
1．如图2－5－32，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若∠P＝60°，PA＝2，则弦AB的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图2－5－32
图2－5－33
.如图2－5－33，CD是⊙O的切线，切点为E，AC，BD分别与⊙O相切于点A，B.如果CD＝7，AC＝4，那么BD等于( )
A．5 B．4 C．3 D．2
3．[教材习题2.5第13题变式] 如图2－5－34，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别相切．若四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于( )
A．5 B．8 C．10 D．12
4．已知线段PA，PB分别切⊙O于点A，B，的度数为120°，⊙O的半径为4，则线段AB的长为( )
A．8 B．4 C．6 D．8
图2－5－34
图2－5－35
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.如图2－5－35，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝40°，则∠BAC的度数为________．
6．如图2－5－36，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠AOP＝50°，则∠PAB＝________°，∠OPB＝________°.
图2－5－36
图2－5－37
7．如图2－5－37，PA，PB，DE分别切⊙O于点A，B，C，若⊙O的半径为5，OP＝13，则△PDE的周长为________．
图2－5－38
8．如图2－5－38，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D.若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD的度数为________．
9．如图2－5－39，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点．如果⊙O的半径为5，∠OPA＝30°，求两条切线的夹角∠APB的度数及切线PA的长．
图2－5－39
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图2－5－40
10．[2016·梁溪区一模] 如图2－5－40，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于点E，F，G，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )
A. B. C. D．2
11．如图2－5－41，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB＝70°.求∠P的度数．
图2－5－41
12．如图2－5－42，△ABC的内切圆⊙O与AC，AB，BC分别相切于点D，E，F，且AB＝5 cm，BC＝9 cm，AC＝6 cm，求AE，BF和CD的长．
图2－5－42
13．如图2－5－43，PA，PB为⊙O的两条切线，切点分别为A，B，直线CD切⊙O于点E.
(1)试探究△PCD的周长与线段PA的数量关系；
(2)若∠P＝α，求∠COD的度数．
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图2－5－43
14．如图2－5－44，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD分别交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R.
图2－5－44
15．如图2－5－45，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N.
(1)求证：OM＝AN；
(2)若⊙O的半径R＝3，PB＝9，求OM的长．
图2－5－45
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详解详析
1．B
2． C
3．C
4． B
5．20° [解析] ∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴PA＝PB，∴∠BAP＝∠ABP＝×(180°－40°)＝70°.由PA是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的直径，得∠PAC＝90°，∴∠BAC＝90°－70°＝20°.
6．50 40
7．24 [解析] ∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，∴AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，OA⊥PA.
在Rt△OAP中，根据勾股定理，得AP＝12，∴△PDE的周长为PD＋DE＋PE＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝24.
8．60° [解析] 连接OC.∵PA＝6，⊙O的半径为2，
∴OP＝PA－OA＝4.
∵PC，PD分别切⊙O于点C，D，
∴∠OPC＝∠OPD，OC⊥PC.
∵OP＝2OC，∴∠OPC＝30°，
∴∠CPD＝60°.
9．解：连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB.
∵OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴∠OPA＝∠OPB，
∴∠APB＝2∠OPA＝60°.
在Rt△AOP中，
可求得OP＝2OA＝10，
∴PA＝＝5 .
10． A [解析] 如图，连接OE，OF，ON，OG.
在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4.
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于点E，F，G，
∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°.
又∵OE＝OF＝OG，
∴四边形AFOE，四边形FBGO是正方形，
∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，
∴DE＝3.
∵DM是⊙O的切线，
∴DN＝DE＝3，MN＝MG，
∴CM＝5－2－MG＝3－MN.
在Rt△DMC中，DM2＝CD2＋CM2，
∴(3＋MN)2＝42＋(3－MN)2，
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∴MN＝，∴DM＝3＋＝.
故选A.
11．解：连接AB.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠CBA＝90°，
∴∠BAC＝90°－∠ACB＝20°.
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠CAP＝90°，
∴∠PAB＝90°－20°＝70°.
∵PA＝PB，∴∠PBA＝∠PAB＝70°，
∴∠P＝180°－∠PAB－∠PBA＝40°.
12．解：∵⊙O与△ABC的三边都相切，
∴AE＝AD，BE＝BF，CD＝CF.
设AE＝x cm，BF＝y cm，CD＝z cm，
则解得
即AE＝1 cm，BF＝4 cm，CD＝5 cm.
13．解：(1)△PCD的周长＝2PA.理由如下：
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB，AC＝CE，BD＝DE，
∴△PCD的周长＝PD＋DE＋PC＋CE＝PB＋PA＝2PA，即△PCD的周长＝2PA.
(2)如图，连接OA，OE，OB.
由切线的性质，得OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，BD＝DE，AC＝CE.
∵OA＝OE＝OB，
易证△AOC≌△EOC，△EOD≌△BOD，
∴∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD，
∴∠COD＝∠EOC＋∠EOD＝(∠AOE＋∠BOE)＝∠AOB.
∵∠P＝α，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠AOB＝180°－α，
∴∠COD＝90°－α.
14解：(1)证明：如图，过点O作OE⊥CD于点E.
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∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AD.
又∵DO平分∠ADC，
∴OE＝OA.
∵OA为⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
(2)过点D作DF⊥BC于点F.
∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四边形ABFD是矩形，
∴AD＝BF，AB＝DF.
又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5.
∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，
∴AD＝DE，BC＝CE，
∴CD＝DE＋CE＝AD＋BC＝4＋9＝13.
在Rt△DFC中，CD2＝DF2＋FC2，
∴DF＝＝12，
∴AB＝12，
∴⊙O的半径R为6.
15．解：(1)证明：如图，连接OA，则OA⊥PA.
∵MN⊥PA，
∴MN∥OA.
∵OM∥PA，
∴四边形ANMO是平行四边形．
又∵MN⊥AP，
∴▱ANMO是矩形，
∴OM＝AN.
(2)如图，连接OB，则OB⊥PB，
∴∠OBM＝∠MNP＝90°.
∵四边形ANMO是矩形，
∴OA＝MN.
又∵OA＝OB，
∴OB＝MN.
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∵OM∥AP，∴∠OMB＝∠MPN，
∴△OBM≌△MNP，∴OM＝MP.
设OM＝x，则MP＝x，AN＝x.
∵PA＝PB＝9，∴NP＝9－x.
在Rt△MNP中，有x2＝32＋(9－x)2，
解得x＝5，即OM＝5.
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