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第十七章 检测试题
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
2.下列各组数据中,以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )
(A)4,5,2 (B)3,6,8 (C)1,1,2 (D)8,15,17
3.如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为( )
(A)4 (B)8 (C)16 (D)64
4.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分∠BAC,AB=5,BC=6,则AD等于( )
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(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
5.在Rt△ABC中,斜边BC=10,则BC2+AB2+AC2等于( )
(A)20 (B)100 (C)200 (D)144
6.如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为( )
(A)2 (B)-1 (C)-1 (D)
7.一直角三角形的三边分别为3,4,x,那么以斜边x为边长的正方形的面积为( )
(A)5 (B)7 (C)25 (D)7和25
8.如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD的长为( )
(A)2 (B)3
(C)4 (D)2
9.我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是( )
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(A)1 (B)2
(C)12 (D)13
10.一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端5米,消防车的云梯最大升长为13米,则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )
(A)12米 (B)13米 (C)14米 (D)15米
11.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形,它可以围成图2的正方体,则图1中正方形顶点A,B在围成的正方体中的距离是( )
(A)0 (B)1 (C) (D)
12.已知a,b,c为三角形的三边,且满足等式|a-5|+(b-12)2+=0,那么此三角形的形状为( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)等腰三角形 (D)等腰直角三角形
二、填空题(每小题4分,共20分)
13.如图,一根旗杆在离地面5 m处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部
12 m处,旗杆断裂之前的高为 .
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14.已知直角三角形的三边分别为6,8,x,则x= .
15.如图,有一块一边长为24 m的长方形绿地,在绿地旁边B处有健身器材,由于居住在A处的居民践踏了绿地,小颖想在A处立一个标牌“少走 步,踏之何忍”但小颖不知应填什么数字,请你帮助她填上好吗?(假设两步为1米)
16.三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2-c2,则此三角形的形状是
三角形.
17.如图,在边长为1的正方形网格中,A,B,C均在正方形的顶点上,则C点到AB的距离为 .
三、解答题(共82分,解答时写出必要的解答过程)
18.(6分)已知△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.
(1)如果a=6,b=8,求c;
(2)如果a=12,c=13,求b.
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19.(8分)如图,四边形ABCD中,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°,求证:∠A+∠C=180°.
20.(8分)如图,在4×3正方形网格中,每个小正方形的边长都是1.
(1)分别求出线段AB,CD的长度;
(2)在图中画线段EF,使得EF的长为,以AB,CD,EF三条线段能否构成直角三角形,并说明理由.
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21.(8分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D为BC上一点,将AC沿AD折叠,使点C落在AB上的E点,求CD的长.
22.(8分)如图,在长方形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别在边BC,DC上,DF=BE=1,求∠EAF的度数.
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23.(8分)如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=
90°,D为AB边上一点,求证:
(1)△ACE≌△BCD;
(2)AD2+BD2=DE2.
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24.(10分)如图,在两面墙之间有一个底端在A点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D点.已知∠BAC=60°,∠DAE=45°,点D到地面的垂直距离DE=3 m.
(1)求两面墙之间距离CE的大小;
(2)求点B到地面的垂直距离BC的大小.
25.(12分)中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”.Rt△ABC中,∠ACB
=90°,若AC=b,BC=a,请你利用这个图形解决下列问题:
(1)试说明a2+b2=c2;
(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.
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26.(14分)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪,检测点设在距离公路10 m的A处,测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9秒.已知∠B=30°,∠C=45°.
(1)求B,C之间的距离;(保留根号)
(2)如果此地限速为80 km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:≈1.7,≈1.4)
参考答案
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1.A 2.D 3.D 4.B 5.C 6.C 7.C 8.A 9.A 10.A 11.C 12.B
13.18 m
14.10或2
15.52
16.直角
17.
18.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,a=6,b=8,
由勾股定理,得
c====10.
(2)在Rt△ABC中,
∠C=90°,a=12,c=13,
由勾股定理,得b====5.
19.证明:连接AC,
在Rt△ABC中,
因为AB=20,BC=15,
∠B=90°,
所以由勾股定理,
得AC2=202+152=625,
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又因为CD=7,AD=24,
所以CD2+AD2=625,
所以AC2=CD2+AD2,
所以∠D=90°,
所以∠DAB+∠DCB=360°-180°=180°,
即∠A+∠C=180°.
20.解:(1)AB==;CD==2.
(2)如图,EF==,
∵CD2+EF2=8+5=13,AB2=13,
∴CD2+EF2=AB2,
∴以AB,CD,EF三条段线能构成直角三角形.
21.解:在Rt△ACB中,
因为∠C=90°,AC=6,BC=8,
由勾股定理,得
AB===10,
由折叠的性质知,AE=AC=6,
DE=CD,∠AED=∠C=90°,
所以BE=AB-AE=10-6=4,
在Rt△BDE中,由勾股定理得,
DE2+BE2=BD2,
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即CD2+42=(8-CD)2,
解得CD=3,
所以CD的长为3.
22.解:因为长方形ABCD中,AB=2,AD=3,
所以CD=2,BC=3,
因为DF=BE=1,
所以EC=2,CF=1,
所以AE2=5,EF2=5,AF2=10,
所以AE=EF,
AE2+EF2=AF2,
所以△AEF为等腰直角三角形,
∠AEF=90°,
所以∠EAF=45°.
23.证明:(1)因为△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=
∠ECD=90°,
所以BC=AC,DC=EC,
∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE,
即∠BCD=∠ACE,
在△ACE与△BCD中,
所以△ACE≌△BCD(SAS).
(2)因为△ACB是等腰直角三角形,
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所以∠B=∠BAC=45°,
因为△ACE≌△BCD,
所以∠CAE=∠B=45°,AE=BD,
所以∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,
在Rt△EAD中,由勾股定理,得
AD2+AE2=DE2,
所以AD2+BD2=DE2.
24.解:(1)在Rt△DAE中,
因为∠DAE=45°,DE=3 m,
所以AE=DE=3 m,
由勾股定理,得AD2=AE2+DE2=36,
所以AD=6 m,
即梯子的总长为6 m,所以AB=AD=6 m.
在Rt△ABC中,因为∠BAC=60°,
所以∠ABC=30°,所以AC=AB=3 m,
所以CE=AC+AE=(3+3)m,
所以两面墙之间的距离CE的大小为(3+3)m.
(2)在Rt△ABC中,AB=6 m,AC=3 m,
由勾股定理,得
BC====3(m),
所以点B到地面的垂直距离BC的大小为3 m.
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25.解:(1)∵大正方形面积为c2,直角三角形面积为ab,小正方形面积为(b-a)2,
∴c2=4×ab+(a-b)2=2ab+a2-2ab+b2,
即c2=a2+b2.
(2)由题图可知,(b-a)2=2,4×ab=10-2=8,
∴2ab=8,
∴(a+b)2=(b-a)2+4ab=2+2×8=18.
26.解:(1)如图,作AD⊥BC于D,
则AD=10 m,
在Rt△ADC中,
因为∠C=45°,
所以CD=AD=10 m,
在Rt△ABD中,
因为∠B=30°,
所以AB=2AD=20 m,BD=10 m,
所以BC=BD+DC=(10+10)m.
(2)结论:这辆汽车超速了.
理由:因为BC=10+10≈27 (m),
所以汽车速度为=30 (m/s)=108 (km/h),
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因为108>80,所以这辆汽车超速.
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