第二章点、直线、平面之间的位置关系章末质量检测（有解析新人教A版必修2）.doc

- 1 - 章末质量检测(二)　点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．直线 l 与平面 α 不平行，则(　　) A．l 与 α 相交　　　　B．l⊂α C．l 与 α 相交或 l⊂α D．以上结论都不对 解析：直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相 交．因为直线 l 与平面 α 不平行，所以 l 与 α 相交或 l⊂α. 答案：C 2．若直线 a、b 异面，直线 b、c 异面，则直线 a、c 的位置关系是(　　) A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线 D．以上都有可能 解析：如图，当c 为 AD、A1B1、A1D1 的位置时，均满足 b，c 异面，则 c 与 a 的位置关系 分别为相交、平行、异面．故选 D. 答案：D 3．若直线 a 与平面 α 不垂直，则平面 α 内与直线 a 垂直的直线有(　　) A．0 条 B．1 条 C．无数条 D．不确定 解析：若直线a 与平面 α 不垂直，则当直线 a∥平面 α 时，平面 α 内有无数条直线与 直线 a 是异面垂直直线；当直线 a⊂平面 α 时，在平面 α 内有无数条平行直线与直线 a 相交 且垂直；当直线 a 与平面 α 相交但不垂直时，在平面 α 内有无数条平行直线与直线 a 垂 直．所以，若直线 a 与平面 α 不垂直，则在平面 α 内与直线 a 垂直的直线有无数条． 答案：C 4．若平面 α∥平面 β，直线 a∥平面 α，点 B 在平面 β 内，则在平面 β 内且过点 B 的所有直线中(　　) A．不一定存在与 a 平行的直线 B．只有两条与 a 平行的直线- 2 - C．存在无数条与 a 平行的直线 D．存在唯一与 a 平行的直线 解析：当直线a⊂平面 β，且点 B 在直线 a 上时，在平面 β 内且过点 B 的所有直线中不 存在与 a 平行的直线．故选 A. 答案：A 5．若 α∥β，A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，且 AB＋CD＝28，AB、CD 在 β 内的射影 长分别为 9 和 5，则 AB、CD 的长分别为(　　) A．16 和 12 B．15 和 13 C．17 和 11 D．18 和 10 解析：如图，作 AM⊥β，CN⊥β，垂足分别为 M、N，设 AB＝x，则 CD＝28－x，BM＝9， ND＝5， ∴x2－81＝(28－x)2－25， ∴x＝15,28－x＝13. 答案：B 6．正方体 ABCD－A′B′C′D′中，E 为 A′C′的中点，则直线 CE 垂直于(　　) A．AC B．BD C．A′D′ D．AA′ 解析：连接 B′D′(图略)，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′， 且 A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面 CC′E. 而 CE⊂平面 CC′E，∴B′D′⊥CE. 又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE. 答案：B 7．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，作截面 EFGH(如图)交 C1D1，A1B1，AB，CD 分别于 E，F， G，H，则四边形 EFGH 的形状为(　　) A．平行四边形　B．菱形 C．矩形 D．梯形- 3 - 解析：因为平面ABCD∥平面 A1B1C1D1，平面 EFGH 交平面 ABCD 于 GH，交平面 A1B1C1D1 于 EF，则有 GH∥EF，同理 EH∥FG，所以四边形 EFGH 为平行四边形． 答案：A 8．对于直线 m，n 和平面 α，β，γ，有如下四个命题： ①若 m∥α，n⊥m，则 n⊥α；②若 m⊥α，n⊥m，则 n∥α；③若 α⊥β，γ⊥β， 则 α⊥γ；④若 m⊥α，m⊂β，则 α⊥β. 其中正确命题的个数是(　　) A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4 解析：①中 n 与 α 位置关系不确定；②中 n 可能在 α 内；③中 α 与 γ 位置关系不确 定；由面面垂直的判定定理可知④正确．故选 A. 答案：A 9．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 为 A1B1 的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2 5， 则异面直线 BD 与 AC 所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：如图，取B1C1 的中点 E，连接 BE，DE，则 AC∥A1C1∥DE，则∠BDE 即为异面直线 BD 与 AC 所成的角(或其补角)．由条件可知 BD＝DE＝EB＝ 5，所以∠BDE＝60°，故选 C. 答案：C 10．[2019·贵阳市监测考试]如图，在三棱锥 P－ABC 中，不能证明 AP⊥BC 的条件是 (　　) A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB- 4 - C．平面 BCP⊥平面 PAC，BC⊥PC D．AP⊥平面 PBC 解析：A 中，因为 AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以 AP⊥平面 PBC，又 BC⊂平面 PBC， 所以 AP⊥BC，故 A 正确；C 中，因为平面 BCP⊥平面 PAC，BC⊥PC，所以 BC⊥平面 APC，AP⊂ 平面 APC，所以 AP⊥BC，故 C 正确；D 中，由 A 知 D 正确；B 中条件不能判断出AP⊥BC，故选 B. 答案：B 11．在等腰 Rt△ABC 中，AB＝BC＝1，M 为 AC 的中点，沿 BM 把它折成二面角，折后 A 与 C 的距离为 1，则二面角 C－BM－A 的大小为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：如图所示，由 AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得 A′C＝ 2. ∵M 为 A′C 的中点，∴MC＝AM＝ 2 2 ，且 CM⊥BM，AM⊥BM， ∴∠CMA 为二面角 C－BM－A 的平面角． ∵AC＝1，MC＝AM＝ 2 2 ，∴∠CMA＝90°. 答案：C 12．在矩形 ABCD 中，若 AB＝3，BC＝4，PA⊥平面 AC，且 PA＝1，则点 P 到对角线 BD 的 距离为(　　) A. 29 2 B. 13 5 C. 17 5 D. 119 5 解析： 如图，过点 A 作 AE⊥BD 于 E，连接 PE. ∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴PA⊥BD，∴BD⊥平面 PAE，∴BD⊥PE. ∵AE＝ AB·AD BD ＝ 12 5 ，PA＝1，- 5 - ∴PE＝ 1＋(12 5 )2＝ 13 5 . 答案：B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上) 13．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF∥ 平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于________． 解析：∵EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 AB1C＝AC，∴EF∥AC，∴F 为 DC 中点．故 EF＝ 1 2AC＝ 2. 答案： 2 14 ． 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD－A1B1C1D1 中 ， 平 面 ACD1 与 平 面 BB1D1D 的 位 置 关 系 是 ________． 解析：因为 ABCD 是正方形， 所以 AC⊥BD. 又因为 D1D⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， 所以 D1D⊥AC. 因为 D1D∩DB＝D， 所以 AC⊥平面 BB1D1D. 因为 AC⊂平面 ACD1， 所以平面 ACD1⊥平面 BB1D1D. 答案：垂直 15．如图，在直角梯形 ABCD 中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N 分别是 AD，BE 的中点，将三角 形 ADE 沿 AE 折起，则下列说法正确的是________(填序号)．- 6 - ①不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN∥平面 DEC；②不论 D 折至何位置，都 有 MN⊥AE；③不论 D 折至何位置(不在平面 ABC 内)，都有 MN∥AB；④在折起过程中，一定存 在某个位置，使 EC⊥AD. 解析：分别取 CE，DE 的中点 Q，P，连接 MP，PQ，NQ，可证 MNQP 是矩形，所以①②正 确；因为 MN∥PQ，AB∥CE，若 MN∥AB，则 PQ∥CE，又 PQ 与 CE 相交，所以③错误；当平面 ADE⊥ 平面 ABCD 时，有 EC⊥AD，④正确．故填①②④. 答案：①②④ 16．矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 2，PA⊥平面 ABCD，PA＝1，则 PC 与平面 ABCD 所成的 角是________． 解析：tan∠PCA＝ PA AC＝ 1 3＝ 3 3 ，∴∠PCA＝30°. 答案：30° 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17．(10 分) 如图所示，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上， 且 BG：GC＝DH：HC＝1：2.求证： (1)E，F，G，H 四点共面； (2)EG 与 HF 的交点在直线 AC 上． 证明：(1)∵BG：GC＝DH：HC， ∴GH∥BD. 又∵E、F 分别为 AB、AD 的中点，∴EF∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H 四点共面． (2)∵G，H 不是 BC，CD 的中点， ∴EF∥GH，且 EF≠GH， ∴EG 与 FH 必相交． 设交点为 M，而 EG⊂平面 ABC，HF⊂平面 ACD， ∴M∈平面 ABC，且 M∈平面 ACD， ∴M∈AC， 即 GE 与 HF 的交点在直线 AC 上．- 7 - 18．(12 分)如图，四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝ BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点． (1)证明 MN∥平面 PAB； (2)求四面体 N－BCM 的体积． 解析：(1)证明：由已知得 AM＝ 2 3AD＝2. 如图，取 BP 的中点 T，连接 AT，TN， 由 N 为 PC 中点知 TN∥BC， TN＝ 1 2BC＝2. 又 AD∥BC，故 TN 綊 AM， 所以四边形 AMNT 为平行四边形， 于是 MN∥AT. 因为 AT⊂平面 PAB，MN⊄平面 PAB， 所以 MN∥平面 PAB. (2)因为 PA⊥平面 ABCD，N 为 PC 的中点， 所以 N 到平面 ABCD 的距离为 1 2PA. 如图，取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 AB＝AC＝3 得 AE⊥BC，AE＝ AB2－BE2＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5， 故 S△BCM＝ 1 2×4× 5＝2 5. 所以四面体 N－BCM 的体积 VN－BCM＝ 1 3×S△BCM× PA 2 ＝ 4 5 3 . 19．(12 分)S 是 Rt△ABC 所在平面外一点，且 SA＝SB＝SC，D 为斜边 AC 的中点． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.- 8 - 证明：(1)如图所示，取 AB 的中点 E，连接 SE，DE， 在 Rt△ABC 中，D、E 分别为 AC、AB 的中点， ∴DE∥BC，∴DE⊥AB， ∵SA＝SB， ∴△SAB 为等腰三角形，∴SE⊥AB. 又 SE∩DE＝E， ∴AB⊥平面 SDE.又 SD⊂平面 SDE，∴AB⊥SD. 在△SAC 中，SA＝SC，D 为 AC 的中点，∴SD⊥AC. 又 AC∩AB＝A，∴SD⊥平面 ABC. (2)由于 AB＝BC，则 BD⊥AC， 由(1)可知，SD⊥平面 ABC，BD⊂平面 ABC，∴SD⊥BD， 又 SD∩AC＝D，∴BD⊥平面 SAC. 20．(12 分)如图，四边形 ABCD 与四边形 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD， EF 的中点． (1)求证：BE∥平面 MDF； (2)求证：平面 BDE∥平面 MNG. 证明：(1)如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO 为△ABE 的中 位线，所以 BE∥MO，又 BE⊄平面 DMF，MO⊂平面 DMF，所以 BE∥平面 DMF. (2)因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，所以 DE∥GN，又 DE⊄平面 MNG，GN⊂平面 MNG，所以 DE∥平面 MNG. 又 M 为 AB 的中点，所以 MN 为△ABD 的中位线，所以 BD∥MN，又 BD⊄平面 MNG，MN⊂平 面 MNG，所以 BD∥平面 MNG，又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线，所以平面 BDE∥平面- 9 - MNG. 21．(12 分)[2019·菏泽检测]如图，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 是菱形， AC1 与 A1C 交于点 O，点 E 是 AB 的中点． (1)求证：OE∥平面 BCC1B1； (2)若 AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC. 证明：(1)连接BC1，因为侧面 AA1C1C 是菱形，AC1 与 A1C 交于点 O，所以 O 为 AC1 的中点， 又因为 E 是 AB 的中点，所以 OE∥BC1，因为 OE⊄平面 BCC1B1，BC1⊂平面 BCC1B1，所以 OE∥平 面 BCC1B1. (2)因为侧面 AA1C1C 是菱形，所以 AC1⊥A1C，因为 AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面 A1BC，A1B⊂平面 A1BC，所以 AC1⊥平面 A1BC，因为 BC⊂平面 A1BC，所以 AC1⊥BC. 22．(12 分)如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E 为 D1C1 的中 点，连接 ED，EC，EB 和 DB. (1)求证：平面 EDB⊥平面 EBC； (2)求二面角 E－DB－C 的正切值． 解析：(1)证明：在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E 为 D1C1 的中点．所 以△DD1E 为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°. 同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，即 DE⊥EC. 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BC⊥平面 D1DCC1，- 10 - 又 DE⊂平面 D1DCC1，所以 BC⊥DE.又 EC∩BC＝C， 所以 DE⊥平面 EBC. 因为 DE⊂平面 DEB，所以平面 DEB⊥平面 EBC. (2)如图所示，过 E 在平面 D1DCC1 中作 EO⊥DC 于 O.在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，因为平 面 ABCD⊥平面 D1DCC1，且交线为 DC，所以 EO⊥面 ABCD.过 O 在平面 DBC 中作 OF⊥DB 于 F，连 接 EF，所以 EF⊥BD.∠EFO 为二面角 E－DB－C 的平面角．利用平面几何知识可得 OF＝ 1 5， 又 OE＝1，所以 tan∠EFO＝ 5.