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2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位
置关系
[基础巩固](25 分钟，60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关
系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
解析：如下图所示：
由图可知，两个平面平行或相交．
答案：C
2．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关
系为( )
A．平行 B．相交
C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
解析：由面面平行的定义可知，若一条直线在两个平行平面中的一个平面内，则这条直
线与另一个平面无公共点，所以与另一个平面平行．由此可知，本题中这条直线可能在平面
内．否则此直线与另一个平面平行(因为若一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必
然与另一个平面相交)．
答案：D
3．若直线 l 不平行于平面 α，且 l⊄α，则( )
A．α 内的所有直线与 l 异面
B．α 内不存在与 l 平行的直线
C．α 内存在唯一的直线与 l 平行
D．α 内的直线与 l 都相交- 2 -
解析：若在平面 α 内存在与直线 l 平行的直线，因 l⊄α，故 l∥α，这与题意矛盾．
答案：B
4．[2019·安阳课时检测]过平面外两点作该平面的平行平面，可以作( )
A．0 个 B．1 个
C．0 个或 1 个 D．1 个或 2 个
解析：平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：
①直线与平面相交，可以作 0 个平行平面．
②直线与平面平行，可以作 1 个平行平面．
答案：C
5．[2019·郑州课时检测]给出下列说法：
①若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；②若直线 a∥b，b⊂平面 α，则 a∥α；③若直线 a∥
平面 α，那么直线 a 平行于平面 α 内的无数条直线．
其中说法正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：对于①，直线a 在平面 α 外包括两种情况，即 a∥α 或 a 与 α 相交，∴a 和 α
不一定平行，∴①说法错误．
对于②，∵直线 a∥b，b⊂平面 α，只能说明 a 和 b 无公共点，但 a 可能在平面 α 内，
∴a 不一定平行于 α，∴②说法错误．
对于③，比如在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1D1∥平面 ABCD，A1D1∥AD，∴平面 ABCD 内
任一条平行于 AD 的直线都与 A1D1 平行，∴③说法正确．
答案：B
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6．有下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若 l，m 是异面直线，l∥α，m∥β，则 α∥β.
其中错误命题的序号为________．
解析：对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于
②，借助于正方体 ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面 DCC1D1，B1C1∥平面 AA1D1D，又 AB 与 B1C1 异面，
而平面 DCC1D1 与平面 AA1D1D 相交，故②错误．
答案：①②
7．与空间四边形 ABCD 四个顶点距离相等的平面共有________个．
解析：A，B，C，D 四个顶点在平面 α 的异侧，如果一边 3 个，另一边 1 个，适合题意
的平面有 4 个；如果每边 2 个，适合题意的平面有 3 个，共 7 个．- 3 -
答案：7
8．下列命题正确的有________．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内，则 l∥α；
③若直线 l 与平面 α 相交，则 l 与平面 α 内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的直线平行或异面；
⑥若平面 α∥平面 β，直线 a⊂α，直线 b⊂β，则直线 a∥b.
解析：对②，直线 l 也可能与平面相交；对③，直线 l 与平面内不过交点的直线是异面
直线，而与过交点的直线相交；对④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行；对⑥，
两平行平面内的直线可能平行，也可能异面．故①⑤正确．
答案：①⑤
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
9.
如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点，则下列直线与平面
的位置关系是什么？
(1)AM 所在的直线与平面 ABCD 的位置关系；
(2)CN 所在的直线与平面 ABCD 的位置关系；
(3)AM 所在的直线与平面 CDD1C1 的位置关系；
(4)CN 所在的直线与平面 CDD1C1 的位置关系．
解析：(1)AM 所在的直线与平面 ABCD 相交；
(2)CN 所在的直线与平面 ABCD 相交；
(3)AM 所在的直线与平面 CDD1C1 平行；
(4)CN 所在的直线与平面 CDD1C1 相交．
10.
如图，已知平面 α∩β＝l，点 A∈α，点 B∈α，点 C∈β，且 A∉l，B∉l，直线 AB 与
l 不平行，那么平面 ABC 与平面 β 的交线与 l 有什么关系？证明你的结论．- 4 -
解析：平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交．
证明：∵AB 与 l 不平行，且 AB⊂α，l⊂α，
∴AB 与 l 一定相交，设 AB∩l＝P，
则 P∈AB，P∈l.
又∵AB⊂平面 ABC，l⊂β，
∴P∈平面 ABC，P∈β.
∴点 P 是平面 ABC 与 β 的一个公共点，而点 C 也是平面 ABC 与 β 的一个公共点，且 P，
C 是不同的两点，
∴直线 PC 就是平面 ABC 与 β 的交线．
即平面 ABC∩β＝PC，而 PC∩l＝P，
∴平面 ABC 与 β 的交线与 l 相交．
[能力提升](20 分钟，40 分)
11．[2019·洛阳单元练习]下列说法中正确的个数是( )
①平面 α 与平面 β，γ 都相交，则这三个平面有 2 条或 3 条交线；
②如果 a，b 是两条直线，a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何一个平面；
③直线 a 不平行于平面 α，则 a 不平行于 α 内任何一条直线．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①错误．平面 α 与平面 β，γ 都相交，则这三个平面可能有 2 条或 3 条交线，
还可能只有 1 条交线．
②错误．如果 a，b 是两条直线，a∥b，那么 a 有可能在经过 b 的平面内．
③错误．直线 a 不平行于平面 α，则 a 有可能在平面 α 内，此时 a 可以与平面 α 内无
数条直线平行．
答案：A
12．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．
解析：三个平面可将空间分成 4,6,7,8 部分，所以三个平面最少可将空间分成 4 部分，
最多分成 8 部分．
答案：8 4
13．如图，在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，P 是 A′D 的中点，Q 是 B′D′的中点，- 5 -
判断直线 PQ 与平面 AA′B′B 的位置关系，并利用定义证明．
解析：直线 PQ 与平面 AA′B′B 平行．
连接 AD′，AB′，在△AB′D′中，∵PQ 是△AB′D′的中位线，平面 AB′D′∩平面
AA′B′B＝AB′，∴PQ 在平面 AA′B′B 外，且与直线 AB′平行，∴PQ 与平面 AA′B′B 没有
公共点，∴PQ 与平面 AA′B′B 平行．
14．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 是 AA1 的中点，画出过 D1，C，E 的平面与平
面 ABB1A1 的交线，并说明理由．
解析：如图，取 AB 的中点 F，连接 EF，A1B，CF.
∵E 是 AA1 的中点，
∴EF∥A1B.
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形．
∴A1B∥CD1，
∴EF∥CD1.
∴E，F，C，D1 四点共面．
∵E∈平面 ABB1A1，E∈平面 D1CE，
F∈平面 ABB1A1，F∈平面 D1CE，
∴平面 ABB1A1∩平面 D1CE＝EF.
∴过 D1，C，E 的平面与平面 ABB1A1 的交线为 EF.
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