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第2章 对称图形——圆
类型之一 圆的有关性质
1．[2017·宜昌] 如图2－X－1，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是( )
A．AB＝AD B．BC＝CD
C.＝ D．∠BCA＝∠ACD
图2－X－1
图2－X－2
.如图2－X－2，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC＝26°，则∠BOC＝________°.
3．如图2－X－3，在⊙O中，弦AB∥CD.若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( )
A．80° B．50° C．40° D．20°
图2－X－3
图2－X－4
类型之二 切线的性质与判定
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4．如图2－X－4，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，给出下面3个结论：
①AD＝CD；②BD＝BC；③AB＝2BC.其中正确结论的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
5．如图2－X－5，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD＝35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C＝________°.
图2－X－5
图2－X－6
.如图2－X－6，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为________．
7．[2017·宿迁改编] 如图2－X－7，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.
(1)求证：AP＝AB；
(2)若OB＝4，OP＝2，求线段AB的长．
图2－X－7
8．已知在⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B.
(1)如图2－X－8①，若∠BAC＝23°，求∠AMB的度数；
(2)如图2－X－8②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D.若BD＝MA，求∠AMB的度数．
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图2－X－8
类型之三 圆中的有关计算
图2－X－9
9．[2016·南京二模] 如图2－X－9，已知正方形的边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是( )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
10．如图2－X－10，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB＝AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合)．若∠BAC＝120°，BC＝，则这个圆锥底面圆的半径是( )
A. B. C. D.
图2－X－10
图2－X－11
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11．如图2－X－11，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC.若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
12．[2017·莱芜] 圆锥的底面周长为，母线长为2，P是母线OA的中点，一根细绳(无弹性)从点P绕圆锥侧面一周回到点P，则细绳的最短长度为________．
13．如图2－X－12，AB为⊙O的直径，AC，DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°.
(1)求证：DP是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3 cm，求图中阴影部分的面积．
图2－X－12
类型之四 圆中的分类讨论题
14．若一个点到圆上的点的最小距离为3 cm，最大距离为8 cm，则该圆的半径是( )
A．5 cm或11 cm B．2.5 cm
C．5.5 cm D．2.5 cm或5.5 cm
15．在半径为1的⊙O中，若弦AB，AC的长分别是，，则∠BAC的度数为( )
A．15° B．15°或75°
C．75° D．15°或65°
16．已知△ABC内接于半径是6 cm的⊙O，弦AB＝6 cm，则弦AB所对的圆周角∠ACB的度数是( )
A．30° B．60°
C．60°或120° D．30°或150°
类型之五 圆中的动点问题
图2－X－13
17．如图2－X－13，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 ，⊙O的半径为1，P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为________．
18．如图2－X－14，已知⊙O的直径AB＝12 cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC.
(1)求证：∠PCA＝∠B；
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(2)已知∠P＝40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止(点Q与点C不重合)，当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．
图2－X－14
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详解详析
1．B [解析] 根据弦、弧、圆周角之间的关系，由相等的圆周角得到所对的弧、弦相等，可知选项B正确．
2．52 [解析] ∵OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，
∴＝，
∴∠BOC＝2∠APC＝2×26°＝52°.
3．A [解析] ∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝40°，∴∠BOD＝2∠BCD＝80°.故选A.
4．A [解析] ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵∠A＝30°，∴∠ABD＝60°.
连接OD，如图，∵OD＝OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠ODB＝∠DOB＝60°.
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥DC，
∴∠BDC＝∠C＝30°，
∴BD＝BC，∠C＝∠A，
∴AD＝CD.
∵在Rt△ADB中，∠A＝30°，∴BD＝AB，
即AB＝2BD，∴AB＝2BC.
因此结论①②③都正确．故选A.
5． 20 [解析] 如图，连接OD.
∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD.
∵∠COD＝2∠BAD＝2×35°＝70°，
∴∠C＝90°－∠COD＝20°.
6．6.25 [解析] 如图，连接OE，并反向延长OE交AD于点F，连接OA.
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°.
∵四边形ABCD是矩形，
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∴∠C＝∠D＝90°，
∴四边形CDFE是矩形，
∴EF＝CD＝AB＝8，OF⊥AD，
∴AF＝AD＝×12＝6.
设⊙O的半径为x，则OF＝EF－OE＝8－x.
在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，
则(8－x)2＋36＝x2，
解得x＝6.25，
∴⊙O的半径为6.25.
故答案为6.25.
7．解：(1)证明：∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∴∠ABP＋∠OBC＝90°.
∵OC⊥OA，∴∠OPC＋∠C＝90°.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，
∴∠ABP＝∠OPC.
又∵∠APB＝∠OPC，
∴∠ABP＝∠APB，∴AP＝AB.
(2)设AP＝AB＝x，则OA＝2＋x.
在Rt△AOB中，AB2＋OB2＝OA2，
∴x2＋42＝(x＋2)2，
解得x＝3，即线段AB的长是3.
8．[解析] (1)根据切线的性质得到AM⊥AC，可得出∠MAC为直角，可求∠MAB的度数．又由切线长定理得到MA＝MB，进而求得∠AMB的度数；
(2)连接AB，AD，由直径AC垂直于弦BD，根据垂径定理得到A为优弧BAD的中点，根据等弧对等弦可得出AB＝AD.而AM⊥AC，BD⊥AC，则BD∥AM.又BD＝AM，可知四边形ADBM为平行四边形，再由邻边MA＝MB，得到四边形ADBM为菱形．根据菱形的邻边相等可得出BD＝AD，进而得到AB＝AD＝BD，即△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠D为60°，再利用菱形的对角相等可得出∠AMB＝∠D＝60°.
解：(1)∵MA切⊙O于点A，
∴∠MAC＝90°.
又∵∠BAC＝23°，
∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝67°.
∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，
∴MA＝MB，
∴∠MBA＝∠MAB＝67°，
∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝46°.
(2)连接AD，AB.
∵MA⊥AC，BD⊥AC，
∴BD∥MA.
又∵BD＝MA，
∴四边形MADB是平行四边形．
又∵MA＝MB，
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∴▱MADB是菱形，
∴AD＝BD.
∵AC为⊙O的直径，AC⊥BD，
∴＝，
∴AB＝AD，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴在菱形MADB中，∠AMB＝∠D＝60°.
9.B [解析] ∵正方形的边长为1，圆与正方形的四条边都相切，
∴S阴影＝S正方形－S圆＝1－0.25π≈0.21.
10．A 11.B
12．1
13．解：(1)证明：连接OD.
∵∠ACD＝60°，
∴由圆周角定理，得∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴∠DOP＝180°－120°＝60°.
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝180°－30°－60°＝90°，
∴OD⊥DP.
∵OD为⊙O的半径，∴DP是⊙O的切线．
(2)∵∠APD＝30°，∠ODP＝90°，OD＝3 cm，
∴OP＝6 cm，由勾股定理，得DP＝3 cm，
∴图中阴影部分的面积S＝S△ODP－S扇形ODB＝×3×3 －＝cm2.
14．D [解析] 当点P在圆内时，圆的直径是11 cm，因而半径是5.5 cm；
当点P在圆外时，圆的直径是5 cm，因而半径是2.5 cm.故选D.
15．B [解析] 如图①，分别连接OA，OB，OC.过点O分别作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E.
则AD＝，AE＝.
∵OA＝1，∴OD＝＝AD，OE＝，
∴∠OAD＝45°，∠OAE＝30°，
∴∠BAC＝75°.
如图②，同理可得∠OAD＝45°，∠OAE＝30°，
∴∠BAC＝45°－30°＝15°，故选B.
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16．C [解析] 连接OA，OB，过点O作OD⊥AB于点D，易得OD＝3，∴∠OAB＝30°，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°.
当点C在劣弧AB上时，如图①所示，∠ACB＝×(360°－120°)＝120°；
当点C在优弧ACB上时，如图②所示，∠ACB＝∠AOB＝60°.故选C.
17．2 [解析] 如图，连接OP，OQ.
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ.
根据勾股定理知PQ2＝OP2－OQ2.
当OP⊥AB时，线段OP最短，此时线段PQ最短．
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3 ，
∴AB＝6，∴OP＝3，
∴PQ＝＝2 .
18．[全品导学号：54602137]解：(1)证明：如图，连接OC.
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO＝90°，
∴∠1＋∠PCA＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴∠2＋∠B＝90°.
∵OC＝OA，∴∠1＝∠2，
∴∠PCA＝∠B.
(2)∵∠P＝40°，∠PCO＝90°，∴∠AOC＝50°.
∵AB＝12，∴OA＝6.
当点Q在AB下方，且∠AOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
此时点Q所经过的弧长＝＝(cm)；
当点Q在AB下方，且∠BOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
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此时点Q所经过的弧长＝＝(cm)；
当点Q在AB上方，且∠BOQ＝∠AOC＝50°，即∠AOQ＝230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
此时点Q所经过的弧长＝＝(cm)．
∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为 cm或 cm或 cm.
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