高二数学试题 2019.9
出题人：张晓艳 审题人：郭冰
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.若曲线 表示椭圆，则 k 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D. 或
2.不等式 2x2-5x-3≥0 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. 或 C. D. 或
3.若样本数据 x1，x2，…，x10 的方差为 8，则数据 2x1-1，2x2-1，…，2x10-1 的方
差为（）
A. 31 B. 15 C. 32 D. 16
4.已知一组数据的频率分布直方图如图所示 则众数、中位数、平均数分别为（ ）
A. 63、64、66
B. 65、65、67
C. 65、64、66
D. 64、65、64
5.有线性相关关系的变量 x，y 有观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，15），已知它
们之间的线性回归方程是 ，若 ，则 （ ）
A. 17 B. 86 C. 101 D. 255
6.为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，
余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A. B. C. D.
7.将参加夏令营的 600 名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取
一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003．这 600 名学生分住在三个营区，
从 001 到 200 住在第Ⅰ营区，从 201 到 500 住在第Ⅱ营区，从 501 到 600 住在第Ⅲ
营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A. 16，26，8 B. 17，24，9 C. 16，25，9 D. 17，25，8
8.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏
两人平局的概率为
A. B. C. D.
9.给出如下四个命题：
①若“p 且 q”为假命题，则 p、q 均为假命题；
②命题“若 a＞b，则 2a＞2b-1”的否命题为“若 a≤b，则 2a≤2b-1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”；
④在△ABC 中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．
其中正确的命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放一枚质地均匀的硬币，所有人同时抛
掷自己面前的硬币一次．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，
则这个人继续坐着，那么，事件“相邻的两个人站起来”没有发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
11.椭圆 中，以点 M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（ ）
A. B. C. D.
12.已知椭圆 的左，右焦点是 F1、F2，P 是椭圆上一点，若
|PF1|=2|PF2|，则 椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13.命题“∀x∈R，3x2-2x+1＞0”的否定是______．
14.某中心医院体检中心对某学校高二年级的 1200 名学生进行身体健康调查，采
用男女分层抽样法抽取一个容量为 150 的样本，已知样本中女生比男生少抽了 10
人，则该年级的女生人数是________．
15.设椭圆 的两个焦点为 F1，F2，M 是椭圆上任一动点，则 的
取值范围为______ ．
16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 F 是椭圆 的左焦点，A 为右顶
点，P
是椭圆上一点且 PF⊥x 轴．若 ，则该椭圆的离心率为______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.第 17 题 10 分，第 18-22 题每题 12 分）
17.已知 p：∀x∈R，不等式 恒成立，q：椭圆 的焦点在 x 轴
上．若命题 p∧q 为真命题，求实数 m 的取值范围．
18.某培训班共有 n 名学生，现将一次某学科考试成绩(单位：分)绘制成频率分布
直方图，如图所示其中落在[80，90)内的频数为 36．
(1)请根据图中所给数据，求出 a 及 n 的值；
(2)从如图 5 组中按分层抽样的方法选取 40 名学生的成绩作为一个样本，求在第一
组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩？
(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名
学生的平均分不低于 70 分的概率．
AFPF 3
1=19.某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y（单位：千元）的数据如
下表：
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求 y 关于 t 的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收
入．
附 ： 用 最 小 二 乘 法 求 线 性 回 归 方 程 系 数 公 式
20.随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得
身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于
173cm 的同学，求身高为 176cm 的同学被抽中的概率．
21.已知椭圆 + =1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为 -1，短轴长为 ．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A、B 两点，若三角形 OAB 的面积为
，求直线 AB 的方程．
22.设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为 A(0，2)，右焦点 F 与点
的距离为 2．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在经过点(0，-3)的直线 l，使直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M，N 满
足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
22
4
23答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能
力，属于基础题．
曲线 表示椭圆，可得 ，解出即可得出．
【解答】
解：∵曲线 表示椭圆，∴ ，解得-1＜k＜1，且 k≠0．
故选 D．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了充分必要条件，考查不等式解法，是一道基础题；
解题时，先求出不等式 2x2-5x-3≥0 的解集，再根据集合的包含关系判断即可．
【解答】
解：解不等式 2x2-5x-3≥0 得：x≥3 或 x≤- ，
∴不等式 2x2-5x-3≥0 成立的一个必要不充分条件是：x＜0 或 x＞2，
故选 B．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了方差的性质与应用问题，属于基础题目．
根 据 样 本 数 据 的 方 差 是 ， 得 出 对 应 数 据
的方差是
【解答】
解：因为样本数据 的方差为 8，所以数据 的方差
为
故选 C．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了利用频率分布直方图求数据的众数、中位数和平均数的问题，属于基础
题，在频率分布直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值，中位数是所有小长方形的面积相等的分界线，平均数是各小长方形底边中点的横坐标与
对应频率的积的和，由此求出即可．
【解答】
解：由频率分布直方图可知，
众数为 =65，
由 10×0.03+5×0.04=0.5，所以面积相等的分界线为 65，即中位数为 65，
平均数为 55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67.
故选 B.
5.【答案】D
【解析】
解：∵ ，
∴ = = = ，
则 =5× +11=5× +11=6+11=17，
则 15 =15×17=255，
故选：D．
根据条件求出 ， 的值，即可得到结论．
本题主要考查线性回归方程的应用，根据直线过样本中心（ ， ）是解决本题的关
键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，属
于基础题．确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．
【解答】
解：从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种
在另一个花坛中，有 6 种方法.红色和紫色的花在同一花坛，有 2 种方法；红色和紫
色的花不在同一花坛，有 4 种方法，
所以所求的概率为 = ．
另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为 1，2，3，4，
即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），
则 P= = ．
故选 C．7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题解题的关键是看出每一个组里的人数，属于基础题．依题意可知，在随机抽样
中，首次抽到 003 号，以后每隔 12 个号抽到一个人，则构成以 3 为首项，12 为公差
的等差数列，从而得出三个营区被抽中的人数．本题考查系统抽样方法，
【解答】
解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到 003 号，以后每隔 12 个号抽到一个人，
则分别是 003、015、027、039 构成以 3 为首项，12 为公差的等差数列，
所以 ,解得 n ，
故可分别求出在 001 到 200 中有 17 人，
,解得 m ，
在 201 至 500 号中共有 42-17=25 人，
则 501 到 600 中有 50-17-28=8 人．
故选 D．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情
况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的
知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：
甲 乙 锤 剪子 包袱
锤 （锤，锤） （锤，剪子） （锤，包袱）
剪子 （剪子，锤） （剪刀，剪子） （剪子，包袱）
包袱 （包袱，锤） （包袱，剪子） （包袱，包袱）
∵由表格可知，共有 9 种等可能情况．其中平局的有 3 种：（锤，锤）、（剪子，剪子）、
（包袱，包袱）．
∴甲和乙平局的概率为： = ．
故选：A．
9.【答案】C
【解析】
解：①若“p 且 q”为假命题，则 p、q 存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故
错误；
②命题“若 a＞b，则 2a＞2b-1”的否命题为“若 a≤b，则 2a≤2b-1”，故正确；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，故正确； ④在△ABC 中，“A＞B”⇔“a＞b”⇔“2RsinA＞2RsinB”⇔“sinA＞sinB”，
故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故正确．
故选：C．
根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据四种命题的定义，可判断②；根
据全称命题的否定，可判断③；根据充要条件的定义，可判断④．
本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要
条件等知识点，难度中档．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查古典概型求概率，利用间接法，先计算有相邻的两个人站起来的概
率，属中档题.
【解答】
解：由题意可知，四个人抛硬币，一共有 24=16 种不同的情况，
其中有相邻两个人同为正面需要站起来有 4 种情况，三个人需要站起来有 4 种情
况，
四 个 人 都 站 起 来 共 有 1 种 情 况 ， 所 以 有 相 邻 的 两 个 人 站 起 来 的 概 率
，
故没有相邻的两个人站起来的概率为 ，
故选 B.
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，属于基础题.
在解决弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标
联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，先设出弦的两端点的坐标，分别代入
椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.
【解答】
解：设弦的两端点为 A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆得 ，两式相减得 + =0，
即 = ，
即 = ，
即 = ，
即 = ，
∴弦所在的直线的斜率为 .
故选 D.
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义以及离心率范围，考查计算能力，属于中档题．
根据已知及椭圆的性质及几何意义，求出离心率 e 的取值范围.
【解答】
解：∵由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=2|PF2|
∴|PF1|= ，|PF2|=
又 即
所以：
所以椭圆的离心率 e 的取值范围是[ ，1），
故选 C．
13.【答案】∃x0∈R，3x02-2x0+1≤0
【解析】
解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R，3x2-2x+1＞0”的否定是的否定为∃x0∈R，
3x02-2x0+1≤0，
故答案为：∃x0∈R，3x02-2x0+1≤0．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14.【答案】560
【解析】
【分析】本题主要考查分层抽样的应用.
【解答】解：设该校的女生人数为 x，则男生人数为 1200－x．抽样比例为 ，
∵女生比男生少抽了 10 人，
∴ ，解得 x＝560．
故该校的女生人数为 560.
故答案为 560.
15.【答案】[-2，1]
【解析】
解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：
由椭圆 ，a=2，b=1，c= ，则焦点坐标为 F1（- ，0），F2（ ，0），
设点 M 坐标为 M（x，y），由 ，可得 y2=1- ；
=（- -x，-y）， =（ -x，-y）；
=（- -x，-y）•（ -x，-y）=x2-3+1- = -2，
由题意可知：x∈[-2，2]，则 x2∈[0，4]，
∴ 的取值范围为[-2，1]．
故答案为：[-2，1]．
由题意可知：焦点坐标为 F1（- ，0），F2（ ，0），设点 M 坐标为 M（x，y），可得
y2=1- ， =（- -x，-y）•（ -x，-y）=x2-3+1- = -2，则 x2∈[0，4]，
的取值范围为[-2，1]．
本题考查椭圆的简单几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于
中档题．
16.【答案】【解析】
解：把 x=-c 带入椭圆方程得 + =1，解得 y=± ，∴PF= = ，
由 PF= AF 可得： = （a+c），即 = ，
∴e= = ．
故答案为： ．
计算 PF，根据 化简得出离心率 的值．
本题考查了椭圆的简单性质，属于中档题．
17.【答案】解：∵p：∀x∈R，不等式 恒成立，
∴(x- )2+ ，
即 ，
解得： ；
q：椭圆 的焦点在 x 轴上，
∴m-1＞3-m＞0，
解得：2＜m＜3，
由 p∧q 为真知，p，q 皆为真，
解得 ．
【解析】
通过不等式恒成立求出 p 中 m 的范围；椭圆的焦点在 x 轴上求出 m 的范围，利用
命题 p∧q 为真命题，求出 m 的交集即可．
18.【答案】解：(1)由频率分布表可得第 4 组的频率为：1-0.05-0.225-0.35-0.075=0.3
∴a= =0.03，n= =120.
(2)由分层抽样的特点可得：第一组应抽 0.05×40=2 个，第五组应抽 0.075×40=3 个
(3)设第一组抽到的 2 个分数记作 A1，A2，第五组的 3 个记作 B1，B2，B3
从这两组中抽取 2 个有 A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，
B1B2，B1B3，B2B3 共 10 种，其中平均分不低于 70 分的有 9 种，
故所求的概率为：P= .
【解析】
本题考查频率分布直方图，分层抽样，和古典概型计算公式，属于基础题.
(1)由频率分布表各频率和为 1 的特点易得第 4 组的频率，进而可得 a 和 n 的值；
(2)利用分层抽样的特点进行求解；(3)由(2)可知第一组，第五组分别抽到的 2 个分数，3 个分数，分别记作 A1，A2，和
B1，B2，B3 由列举法可得答案．
19.【答案】解：（1）由题意， = ×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
= ×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴ = = =0.5，
= - =4.3-0.5×4=2.3．
∴y 关于 t 的线性回归方程为 =0.5t+2.3；
（2）由（1）知，b=0.5＞0，故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，
平均每年增加 0.5 千元．
将 2015 年的年份代号 t=9 代入 =0.5t+2.3，得： =0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元
【解析】
（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积
的和，与横标的平方和，代入公式求出 b 的值，再求出 a 的值，写出线性回归方程．
（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的 t 的值，预测该地区 2015 年农村
居民家庭人均纯收入，这是一个估计值
本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性
回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题
20.【答案】解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于 160～169 之间，而乙班身高集中于
170～180 之间．
因此乙班平均身高高于甲班
（2） ，
甲班的样本方差为：
×[（158-170）2+（162-170）2+（163-170）2+（168-170）2+（168-170）2+（170-170）2+
（171-170）2+（179-170）2+（179-170）2+（182-170）2]=57.2．
（3）设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A；
从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有：（181，173）（181，176）
（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）
（178，176）（176，173）共 10 个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本事
件．∴ ．（12 分）
【解析】
本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式
即可解答．茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分
析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图
解决问题的关键．
21.【答案】解：（Ⅰ）由题意， ，解得 a= ，c=1．
即椭圆方程为 =1.
（Ⅱ）当直线 AB 与 x 轴垂直时，|AB|= ，此时 S= ,不符合题意，故舍掉；
当直线 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：y=k（x+1），代入消去 y 得：（2+3k2）
x2+6k2x+（3k2-6）=0．
设 A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，所以|AB|= ．
原点到直线的 AB 距离 d= ，
所以三角形的面积 S= ．
由 S= 可得 k2=2，∴k=± ，
所以直线 AB： =0 或 AB： =0．
【解析】
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利
用韦达定理确定三角形的面积是关键．
（ Ⅰ ） 根 据 椭 圆 右 顶 点 与 右 焦 点 的 距 离 为 ， 短 轴 长 为 ， 可 得
，由此，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线 AB 与 x 轴垂直时， ，此时 不符合题意；当直线
AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：y=k（x+1），代入消去 y 得，进而可求三
角形的面积，利用 ，即可求出直线 AB 的方程．
22.【答案】解：(1)依题意，设椭圆方程为 ，
则其右焦点坐标为 ，由|FB|=2，
得 ，即 ，故 ．又 ∵b=2，∴a2=12，
从而可得椭圆方程为 ．
(2)由题意可设直线 l 的方程为 y=kx-3(k≠0)，由|AM|=|AN|知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上，
由 消去 y 得 x2+3(kx-3)2=12，即可得方程(1+3k2)x2-18kx+15=0…(*)
当方程 (*)的△=(-18k)2-4(1+3k2)×15=144k2-60＞0
即 时方程(*)有两个不相等的实数根．
设 M (x1，y1)，N(x2，y2)，线段 MN 的中点 P(x0，y0)，
则 x1，x2 是方程(*)的两个不等的实根，故有 ．
从而有 ， ．
于是，可得线段 MN 的中点 P 的坐标为
又由于 k ≠0，因此直线 AP 的斜率为 ，
由 AP ⊥MN，得 ，即 5+6k2=9，解得 ，
∴ ，
∴综上可知存在直线 l： 满足题意．
【解析】
(1)直接根据条件得到 以及 b=2；求出 a2=12 即可得到椭圆的方程；
(2)设直线 l 的方程为 y=kx-3(k≠0)，由|AM|=|AN|知点 A 在线段 MN 的垂直平分线
上；联立直线方程和椭圆方程得到 k 的屈指范围以及点 M，N 的坐标和 k 的关系，
结合点 A 在线段 MN 的垂直平分线对应的斜率相乘等于-1 即可求出结论．
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