湖南衡阳八中2020届高三9月第二次月考试题数学（文）（附答案）.docx

1 衡阳市八中第二次月考数学（文科）试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．己知集合 ，则 （　） A. B. 　　　 C. D. 2.设 ，则“ ”是“ ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的函数是（ ） A． B． C． D． 4.设 ，向量 ，且 则 等于（ ） A. B. C. D. 5．已知直线 是曲线 的一条切线，则 的值为（ ） A． B． C． D． 6．函数 的部分图像如图所示， 则 (　　) A． 　　　　　B． ，C． D． 7．要得到函数 的图象，只需将 的图象（ ） A．向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） B．向左平移 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变） C．向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变） D．向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） 8.函数 f（x）= 的图象大致为（　　） y x m= − + 2 3lny x x= − m 0 2 1 3 { } { }| 2 3 | 1M x x N x y x= − < < = = − M N = ( 2, )− +∞ [ )1,3 ( ]2, 1− − ( 2,3)− x R∈ 2 2 0x x+ − > 1 5x< < (0, )+∞ ( ) 2 2x xf x −= − 2( ) 1f x x= − 1 2 ( ) logf x x= ( ) sinf x x x= ,x y R∈ ( ,2), (3, y),a x b= =  (1, 1)c = − , / / ,a c b c⊥    | |a b+  5 4 26 2 5 ( ) 2sin( ),( 0, )2 2f x x π πω ϕ ω ϕ= + > − < < ( )2f π = 3 3− 3 2 3 2 − ( ) 2cos(2 )3f x x π= + ( ) sin(2 )3g x x π= + 2 π 2 π 1 2 4 π 1 2 4 π 2 sin 1 x x +2 A． B． C． D． 9．已知函数 满足 ，且当 时， 成立，若 ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10.已知函数 若曲线上存在不同的两点 A,B 使得曲线 在 点 A,B 处的切线垂直，则 a 的取值范围是（ ） 11. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 满 足 ， 且 当 时 ， ，则函数 ，在区间 上的零点个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 12.若存在唯一的正整数 ，使得不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 一．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分） 13．已知函数 则 ______． 14.若函数 ， ,则 的最小值是　　　　　. 15. 已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围 ( )f x ( ) 2 2 , 0, 1 log , 0, x xf x x x  ≤=  − > ( )( )2f f − = )(xf )()( xfxf −= )0,(−∞∈x )(')( xxfxf + 0> 0.2 0.2(3 ) (3 ), (ln2) (ln2)a f b f= ⋅ = ⋅ 3 3 1 1(log ) (log ), , ,9 9c f a b c= ⋅ 则 a b c> > c b a> > c a b> > a c b> > 4( ) ( 1) ( 0)1 xf x a x xx = − + >+ )(xf .(1, )A +∞ .( 3,1)B − .( 1 3, 1 3)C − − − + .( 1 3,1)D − − ( ) (2 ) 0f x f x+ − = [0,1)x∈ ( ) ln( )1 x xf x e x = + + 1( ) ( ) 4g x f x x= + [ 6,6]− 2 0x x ax ae − − > a 2 4(0, )3e 2 4 1( , )3e e 1(0, )e 2 4 1[ , )3e e 1( ) sin 22 3f x x π = −   0, 4x π ∈   ( )f x 0, 0x y> > 3x y xy+ = 2 3t t x y+ < + t3 是． 16．设 f（x）与 g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数 y=f（x）﹣g（x） 在 x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称 f（x）和 g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区 间[a，b]称为“关联区间”．若 与 在[1，3]上是“关联函 数”，则 m 的取值范围　． 二．解答题（本大题共 6 小题.共计 70 分） 17.(本题满分 12 分)已知函数 ,在 时有极大值 ; （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求函数 在 上的最值. 18.（本题满分 12 分）已知函数 f(x)＝cos 2x－sin2x－2 3sin xcos x－ (x∈R)的最大值为 5． (1)求 的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间． 19.在 中，内角 的对边分别为 ，且 ， ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）设 边的中点为 ， ，求 的面积． 20.（本题满分 12 分）如图，在五面体 ABCDFE 中，侧面 ABCD 是正方形， 是等腰直 角三角形，点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，EA=EB,AD=2EF=6 且 (1) 证明：0F//平面 ABE. (2) 若侧面 ABCD 与底面 垂直，求五面体 ABCDFE 的体积。 ( ) lnf x x x= − 2g( )x mx = − + )(3)( 23 bxaxxf += 1x = 3 ,a b )(xf [ ]3,1− a a ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 3 sin5 cB a = 11cos 14B = A BC D 74AD = ABC∆ ABE∆ //EF AD ABE4 21. （本小题满分 12 分）已知 . （1）求函数 的单调区间； （2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围. 22.[选修 4 一 4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 是参数）以原点 为极点， 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 . （1）求圆 的直角坐标方程； （2）过直线 上的一点向圆 引切线，求切线长的最小值. 23.[选修 4 一 5：不等式选讲] 已知函数 ， . （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围. 衡阳市八中第二次月考数学（文科）试卷 命题：刘慧英 审题人：刘一坚 仇武君 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1．己知集合 ，则 （B　　） A. B. 　　　 C. D. 2.设 ，则“ ”是“ ”的( B ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的函数是（ B ） A． B． C． D． 4.设 ，向量 ，且 则 等于（ C ） ( ) lnf x ax x= − ( )f x [1, )x∈ +∞ ( )x f x a≥ a xOy l 2 x t y t =  = + t O x C 32 sin( )4 πρ θ= + C l C 1( )f x x x aa = − + + 0a > 2a = ( ) 3f x ≤ x ( ) 4f x > a { } { }| 2 3 | 1M x x N x y x= − < < = = − M N = ( 2, )− +∞ [ )1,3 ( ]2, 1− − ( 2,3)− x R∈ 2 2 0x x+ − > 1 5x< < (0, )+∞ ( ) 2 2x xf x −= − 2( ) 1f x x= − 1 2 ( ) logf x x= ( ) sinf x x x= ,x y R∈ ( ,2), (3, y),a x b= =  (1, 1)c = − , / / ,a c b c⊥    | |a b+ 5 A. B. C. D. 5．已知直线 是曲线 的一条切线，则 的值为（ B ） A． B． C． D． 6 ．函数 的部分图像如图所 示，则 (　A　) A． 　　　　　B． ，C． D． 7．要得到函数 的图象，只需将 的图象（D ） A．向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） B．向左平移 个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变） C．向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 倍（横坐标不变） D．向左平移 个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） 8.函数 f（x）= 的图象大致为（　A　） B． B． C． D． 9．已知函数 满足 ，且当 时， 成立，若 ， 的大小关系是（ A ） A． B． C． D． 10.已知函数 若曲线上存在不同的两点 A,B 使得曲线 在 点 A,B 处的切线垂直，则 a 的取值范围是（ C ） y x m= − + 2 3lny x x= − m 0 2 1 3 5 4 26 2 5 ( ) 2sin( ),( 0, )2 2f x x π πω ϕ ω ϕ= + > − < < ( )2f π = 3 3− 3 2 3 2 − ( ) 2cos(2 )3f x x π= + ( ) sin(2 )3g x x π= + 2 π 2 π 1 2 4 π 1 2 4 π 2 sin 1 x x + )(xf )()( xfxf −= )0,(−∞∈x )(')( xxfxf + 0> 0.2 0.2(3 ) (3 ), (ln2) (ln2)a f b f= ⋅ = ⋅ 3 3 1 1(log ) (log ), , ,9 9c f a b c= ⋅ 则 a b c> > c b a> > c a b> > a c b> > 4( ) ( 1) ( 0)1 xf x a x xx = − + >+ )(xf6 11. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 满 足 ， 且 当 时 ， ，则函数 ，在区间 上的零点个数是( B ) A.4 B.5 C.6 D.7 12.若存在唯一的正整数 ，使得不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 （ D ） A． B． C． D． 三．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分） 13．已知函数 则 ______．【答案】3 14.若函数 ， ,则 的最小值是　　　　　. 【答案】 16. 已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围 是． 【答案】 16．设 f（x）与 g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数 y=f（x）﹣g（x） 在 x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称 f（x）和 g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区 间[a，b]称为“关联区间”．若 与 在[1，3]上是“关联函 数”，则 m 的取值范围　． 【答案】 四．解答题（本大题共 6 小题.共计 70 分） ( )f x ( ) 2 2 , 0, 1 log , 0, x xf x x x  ≤=  − > ( )( )2f f − = .(1, )A +∞ .( 3,1)B − .( 1 3, 1 3)C − − − + .( 1 3,1)D − − ( ) (2 ) 0f x f x+ − = [0,1)x∈ ( ) ln( )1 x xf x e x = + + 1( ) ( ) 4g x f x x= + [ 6,6]− 2 0x x ax ae − − > a 2 4(0, )3e 2 4 1( , )3e e 1(0, )e 2 4 1[ , )3e e 1( ) sin 22 3f x x π = −   0, 4x π ∈   ( )f x 3 4 − 0, 0x y> > 3x y xy+ = 2 3t t x y+ < + t ( 4,3)− ( ) lnf x x x= − 2g( )x x mx = − + 113 ln 2 ln33m− < ≤ −7 17.(本题满分 12 分)已知函数 ,在 时有极大值 ; （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求函数 在 上的最值. 【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）最大值 , 最小值 解: （Ⅰ） , 由题意可知 . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 , , 令 得 或 时, ; 时 或 . 所以函数 在 和 上单调递减,在 上单调递增. 因为 , ,最大值 , 最小值 18.（本题满分 12 分）已知函数 f(x)＝cos 2x－sin2x－2 3sin xcos x－ (x∈R)的最大值为 5． (1)求 的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递减区间． [解]　(1)由题意，f(x)＝cos 2x－ 3sin 2x－ ＝－2sin － ， 故 . (2)由(1)知 f(x)＝－2sin +1， 则 f(x)的最小正周期是π. 由正弦函数的性质， 令- π 2 ＋2kπ≤2x- π 6 ≤ π 2 ＋2kπ(k∈Z)， 解得- π 6 ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)， )(3)( 23 bxaxxf += 1x = 3 ,a b )(xf [ ]3,1− 2, 3a b= − = ( )1 15f − = ( )2 12f = − ( ) 2' 9 6f x ax bx= + ( ) ( ) 1 3 3 3 3 2, 39 6 0' 1 0 f a b a ba bf = + = ⇒ ⇒ = − =  + ==  ( ) 3 26 9f x x x= − + ( ) ( )2' 18 18 18 1f x x x x x∴ = − + = − − ( )' 0f x = 0x = 1x = ( )' 0f x > 0 1x< < ( )' 0f x < 1 0x− < < 1 2x< < ( )f x ( )1,0− ( )1,2 ( )0,1 ( ) ( )1 6 9 15, 1 6 9 3f f− = + = = − + = ( ) ( )0 0, 3 81f f= = − ( )1 15f − = ( )3 81f = − a a a (2 )6x π− a 3a = − (2 )6x π− 3 π8 所以 f(x)的单调递减区间是[- π 6 ＋kπ， ＋kπ](k∈Z)． 19.在 中，内角 的对边分别为 ，且 ， ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）设 边的中点为 ， ，求 的面积． 【解析】（Ⅰ）由 ，得 ， 又 ，∴ ， 由正弦定理有 得 ， ∴ 即 ， ∴ ， ； （Ⅱ）由余弦定理有 ， 即 ，解得 ，∴ ， ∴ . 20.（本题满分 12 分）如图，在五面体 ABCDFE 中，侧面 ABCD 是正方形， 是等腰直 角三角形，点 O 是正方形 ABCD 对角线的交点，EA=EB,AD=2EF=6 且 (3) 证明：0F//平面 ABE. (4) 若侧面 ABCD 与底面 垂直，求五面体 ABCDFE 的体积。 （1）证明：取 AB 中点 M，连 OM,EM, 3 π ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 3 sin5 cB a = 11cos 14B = A BC D 74AD = ABC∆ 11cos 14B = 5 3sin 14B = 2 3 sin 5a B c= 3 7a c= sin sin a c A C = 3sin 7sinA C= 3sin 7sin( )A A B= + 3sin 7sin cos 7cos sinA A B A B= + tan 3A = − 2 3A π= 2 2 2 cos 74AB BD AB BD B+ − = 2 27 7 11( ) 2 746 6 14c c c c+ − × × = 6c = 14a = 1 1 5 3sin 6 14 15 32 2 14S ac B= = × × × = ABE∆ //EF AD ABE9 因为 EF//BC,EF= BC,且侧面 ABCD 是正方形，所以 EF//OM,EF=OM.所以四边形 EFOM 是平行 四边形，所以 OF//EM,又 EM 平面 ABE，OF 平面 ABE，所以 0F//平面 ABE. ...... 5 分 (2)取 AD 的中点 G,BC 的中点 H,连接 GH,FG,FH。 AD AB, 所 以 AD 底 面 ABE. 则 EF=3,AE=BE= , 因为 M 为 AB 中点，EA=EB,所以 EM AB,EM 底面 ABCD，从而 FO 平 面 ABC 又 FO=EM=3,则 所以 ........... 12 分. 21. （本小题满分 12 分）已知 . （1）求函数 的单调区间； （2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围. 21.解（1） 令 ， 当 时， ， 在 单调递减 当 时，令 ， ； 由 ， ， 在 上单调递增； 由 ， ， 在 上单调递减； 所以， 的递增区间是 ； 的递减区间是 ； （2） ,即 ，得 ， 又 ，不等式两边同时除以 ，得 1 2 ⊂ ⊄ ⊥ ⊥ 3 2 3 2 3 2 3 272ABE GHFV − ×= × = ⊥ ⊥ ⊥ 1 6 3 3 183F CDGHV − = × × = 27 18 45ABCDFEV = + =五面体 ( ) lnf x ax x= − ( )f x [1, )x∈ +∞ ( )x f x a≥ a 1 1( ) axf x a x x −′ = − = ( ) 1, (0, )x ax xϕ = − ∈ +∞ 0a ≤ ( ) 0xϕ < ( )f x (0, )+∞ 0a > (x) 0ϕ = 1x a = ( ) 0f x′ > 1( , )x a ∈ +∞ ( )f x [1, )+∞ ( ) 0f x′ < 1(0, )x a ∈ ( )f x 1(0, )a ( )f x [1, )+∞ ( )f x 1(0, )a ( )x f x a≥ 2 lnax x x a− ≥ 2 ln 0ax a x x− − ≥ 1x ≥ x ln 0aax xx − − ≥10 即 设 ，则 若 ，则当 时， ， ，此时 ，不满足题意； 若 ，令 ，即 ，则： 当 时，即 ， 恒成立，所以 在 上递增。 而 ，所以当 时， 满足题意； 当 时，即 ， 有两个不等的实数根，设为 ，且 ，则 ， ， 所以 ， 当 ， ， 故 在 上单调递减， 而 ，当 时， ，不满足题意，综上， 。 22.[选修 4 一 4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 是参数）以原点 为极点， 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 . （1）求圆 的直角坐标方程； （2）过直线 上的一点向圆 引切线，求切线长的最小值. 22.解：（1）依题意有 ， 1( ) ln 0a x xx − − ≥ 1( ) ( ) lng x a x xx = − − 2 2( ) ax x ag x x − +′ = 0a ≤ 1x > 1 0x x − > ln 0x > ( ) 0g x < 0a > ( ) 0g x′ = 2 0ax x a− + = 21 4 0a∆ = − ≤ 1 2a ≥ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x [1, )x∈ +∞ (1) 0g = [1, )x∈ +∞ ( ) 0g x ≥ 0∆ > 10 2a< < ( ) 0g x′ = 1 2,x x 1 2x x< 1 2 1x x = 1 2 1 0x x a + = > 1 20 1x x< < < 21 x x< < ( ) 0g x′ < ( )g x 2(1, )x (1) 0g = 2x (1, )x∈ ( ) 0g x < 1 2a ≥ xOy l 2 x t y t =  = + t O x C 32 sin( )4 πρ θ= + C l C 2 cos sinρ ρ θ ρ θ= −11 ，即 . （2）设 上任意一点 ， ，半径 ， 切线长为 ， 即切线长的最小值为 . 23.[选修 4 一 5：不等式选讲] 已知函数 ， . （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围. 【解析】（1） 时，不等式为 ， 当 时，不等式化为： ， ，此时 ； 当 时，不等式化为： ， ，此时- ； 当 时，不等式化为： ， ，此时 . 综上，不等式的解集为 . （2） ， ， ， 又 ， ，解得 或 ， 即 的取值范围是 . 2 2 0x y x y∴ + − + = 2 21 1 1( ) ( )2 2 2x x− + + = l ( , 2)P t t + 1 1( , )2 2C − 2 2r = ∴ 2 2 21 5 2( ) ( ) ( )2 2 2t t− + + − 22( 1) 4 2t= + + ≥ 2 1( )f x x x aa = − + + 0a > 2a = ( ) 3f x ≤ x ( ) 4f x > a 1a = 1 2 32x x− + + ≤ 2x ≤ − 1 2 32x x− + − − ≤ 9 4x∴ ≥ − 9 24 x− ≤ ≤ − 12 2x− < < 5 32 ≤ x R∈ 12 2x− < < 1 2x ≥ 1 2 32x x− + + ≤ 3 4x∴ ≤ 1 3 2 4x≤ ≤ 9 3[ , ]4 4x∈ − 1( )f x x x aa − + + ≥ 1 1( ) ( )x x a aa a − − + = + ( ) 4f x > ⇔ min( ) 4f x > 1 4a a ∴ + > 0a > 1 4a a ∴ + > 0 2 3a< < − 2 3a > + a (0,2 3) (2 3, )− ∪ + +∞