湖南衡阳八中2020届高三9月第二次月考试题数学（理）（附答案）.docx

答案第 1 页，总 11 页 启慧.衡阳市八中 2020 届高三月考（二） 数学（理科）试题 测试时间：120 分钟 卷面总分：150 分 命题人：郭端香、蒋金元 审题人：赵永益 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选择其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．设 为虚数单位.若复数 是纯虚数，则复数 在复面上对 应的点的坐标为（ ） 2．已知集合 若 ， 则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知 为锐角，则 的值为（ ） A． B． C． D． 4．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、 春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、 春分日影长之和为 31．5 尺，前九个节气日影长之和为 85．5 尺，则立夏日影长为（ ） A．1．5 尺 B．2．5 尺 C．3．5 尺 D．4．5 尺 5．已知函数 ，则定积分 的值为( ) A． B． C． D． 6．已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． ,a R i∈ 2 ( 1)z a a i= − + + 3a i i − 3, 2A. （- ） 3 2−B. （ ，- ） 3,1−C. （ ） 3 1− −D. （ ， ） ( ){ } ( ){ }2 2 2 2log 4 , 3 2 0 0A x y x B x x mx m m= = − = − + < > ， B A⊆ m ( )4 + ∞， [ )4 + ∞， ( )2 + ∞， [ )2 + ∞， ( ) 3 1sin ,cos , ,4 3 α β β α β+ = = sinα 3 7 2 2 12 − 3 2 14 12 − 3 7 2 2 12 + 3 2 14 12 + 2 2, 2 ( ) 1 ( 3) ,2 4 x x f x x x − + ≤=  − − < ≤ 4 1 ( )f x dx∫ 9 4 8 π+ 1 4 4 π+ 1 2 π+ 3 2 4 π+ 6cos( )4 3 πα + = sin 2α 1 3 2 3 1 3 − 2 3 −答案第 2 页，总 11 页 7．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x + 2) = f(x)且x ∈ [0,1]时，f(x) = x，则方程 的零点个数是（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8．已知抛物线 C： 的焦点为 F，准线为 ，P 是 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个 交点，若 ，则 =（ ）A． B．2 C． D．1 9．已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范 围是( )A． B． C． D． 10．设函数 f(x)＝sin(2x＋π 4) ，若方程 f(x)＝a 恰好有三个根，分别为 x1，x2，x3(x1 ＜x2＜x3)，则 x1＋2x2＋x3 的值为(　　) A．π B.3π 4 C.3π 2 D.7π 4 11．已知函数 与 图象上存在关于 轴对称 的点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，n=1,2,3,… 若 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋an 2 ，cn＋1＝bn＋an 2 ，则( ) A．{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 13． 设函数 图像上点 P 处的切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是 ____. 14．已知平面向量 ＝(1,2)， ＝(4,2)， ＝ ＋m (m∈R)，且 与 的夹角等于 与 的 夹角，则 m＝________. 15 ． 已 知 分 别 为 三 个 内 角 的 对 边 ， a=1 ， 且 则 面积的最大值为____________． 16．已知函数 ， ．若方程 恰有 3 个互异的实数根， 5( ) logf x x= 2 4y x= l l 4FP FQ=  QF 5 2 3 2 3 2( ) 3 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x < a ( )2,+∞ ( )1,+∞ ( ), 2−∞ − ( ), 1−∞ − 9[0, ]8x π∈ 2( ) 1( 0)xf x x e x= + − < ( ) )ln(2 axxxg ++= y a )1,( e −∞ ),( e−∞ ( ,1)−∞ (1, )e ( ) ln ,f x x x= + ( )f x α α a b c a b c a c b cba ,, ABC∆ CBA ,, ( 1)(sin sin ) )sin ,b A B c b C+ − = −（ ABC∆ ( ) 2 3f x x x= + x R∈ ( ) 1 0f x a x− − =答案第 3 页，总 11 页 则实数 的取值集合为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)＝sin(ωx+π 6)＋b. (1)若函数 f(x)的图象关于直线 x＝π 6对称，且 ω∈[0,3]，求函数 f(x)的单调递增区间； (2)在(1)的条件下，当 x∈[0，7π 12]时，函数 f(x)有且只有一个零点，求实数 b 的取值范围． 18.（本小题满分 12 分） 衡阳市八中学生食堂的伙食质量在广大同学中有口皆碑，高三某同学尤其爱吃肉包。他一直 在八中二食堂买肉包，面点师声称卖给学生的包子平均质量是 100g,上下浮动 0.5g.在这位 同学眼中，这运用数学语言表达就是：肉包的质量服从期望为 100g,标准差为 0.5g 的正态 分布。 （1）假设面点师没有撒谎，现该同学从该食堂任意买两个肉包，求每个肉包的质量均不少 于 100g 的概率。 （2）出于兴趣，该同学每天将买来的肉包称重并记录得到 25 个肉包质量（X）的数据（单 位：g）如下表： 98.3 97.2 96.6 101.0 100.8 95.4 95.2 96.9 96.8 99.8 101.1 99.7 99.2 100.1 100.6 95.7 95.0 96.9 97.1 97.5 95.2 95.9 98.7 100.0 96.1 设从这 25 个肉包中任取 2 个，其质量不少于 100g 的肉包个数记为η，求η的分布列及 E（η）； （3）该同学计算这 25 个肉包质量(X)的平均值 =97.872g,标准差是 2.016g,他认定面点师在 制作过程中偷工减料，并果断举报给学校后勤部门。食堂管理人员对面点师做了惩罚，面点 师也承认自己的错误,并同意作出改正。该同学在接下来的一段时间里每天都去该食堂买肉 包。他又认真记录了 25 个肉包的质量，并算得他们的平均值为 100.26g,标准差是 0.508g.于 是该同学又一次将面点师举报了。请你根据两次平均值和标准差的计算结果及其统计学意义， 说说该同学又一次举报的理由。 19．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥P - ABCD中，PA 底面 ABCD，AD AB，AB CD,AD=DC=AP=2,AB=1.点E为棱PC的中点。 （1）证明：PD 面 ABE； （2）若F为棱PC上一点，满足 BF AC，求二面角F ― AB ― D的余弦值。 a x ⊥ ⊥ / / ⊥ ⊥答案第 4 页，总 11 页 20．（本小题满分 12 分） 如图，曲线 由上半椭圆 和部分抛物线 连接而成， 的公共点为 ，其中 的离心率为 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）过点 的直线 与 分别交于 （均异于点 ），若 ，求 直线 的斜率的范围. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ．(1)当 时， 取得极值，求a的值． (2)当函数 有两个极值点 ，且 1 时总有 成立，求 m 的取值范围． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22．选修 4 一 4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 的参数方程为 参数），以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 是圆心的极坐标为（ ）且经过极点的圆 （1）求曲线 C1 的极坐标方程和 C2 的普通方程； （2）已知射线 分別与曲线 C1，C2 交于点 A，B（点 B 异于坐标原点 O），求 线段 AB 的长. 23．选修 4 一 5：不等式选讲：（10 分） 已知函数 ， ，且 的解集为 . （1）求 的值； C 2 2 1 2 2: 1( 0, 0)y xC a b ya b + = > > ≥ 2 2 : 1C y x= − + ( )0y ≤ 1 2,C C ,A B 1C 3 2 ,a b B l 1 2,C C ,P Q ,A B PAQ∠ 为钝角， l 2( ) 8 lnf x x x a x= − + 1x = ( )f x ( )f x 1 2,x x 1 2( )x x< 1x ≠ 21 1 1 1 ln ( 2)(4 3 )1 a x m x xx > − + −− 1C 2cos (sin x y ϕ ϕϕ =  = 2C 7, 2 π ( 0)3 πθ ρ= ≥ ( ) | 2 |f x k x= − − k ∈R ( 2) 0f x + ≥ [ 1,1]− k答案第 5 页，总 11 页 （2）若 ， ， 是正实数，且 ，求证： . 启慧.衡阳市八中 2020 届高三月考（二） 数学（理科）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D D C C D C A C C B 13． 14.m= 15． 16． ． 【解析】 试题分析：（方法一）在同一坐标系中画 和 的图象（如 图），问题转化为 与 图象恰有三个交点．当 与 （或 与 ）相切时， 与 图象恰有三个交点．把 代入 ，得 ，即 ，由 ，得 ，解得 或 ． （方法二）显然 ，∴ ．令 ，则 ．∵ ，∴ ．结合图象可得 或 。 考点：方程的根与函数的零点． a b c 1 1 1 12 3 + + = ka kb kc 1 2 3 19 9 9 + + ≥a b c 4 2 π π（ ， ） 1 2 3 4 { }1,9 ( ) 2 3f x x x= + ( ) 1g x a x= − ( )f x ( )g x ( )1y a x= − 2 3y x x= + ( )1y a x= − − 2 3y x x= − − ( )f x ( )g x ( )1y a x= − 2 3y x x= + ( )2 3 1x x a x+ = − ( )2 3 0x a x a+ − + = 0∆ = ( )23 4 0a a− − = 1a = 9a = 1a ≠ 2 3 1 x xa x += − 1t x= − ( ] [ )4 ,4 4,t t + ∈ −∞ ∪ +∞ ( ] [ )4 5 ,1 9,t t + + ∈ −∞ ∪ +∞ 1a = 9a =答案第 6 页，总 11 页 17、解：(1)∵函数 f(x)＝sin(ωx+π 6)＋b，且函数 f(x)的图象关于直线 x＝π 6对称，∴ω·π 6＋ π 6＝kπ＋π 2(k∈Z)，且 ω∈[0,3]，∴ω＝2.由 2kπ－ π 2≤2x＋π 6≤2kπ＋π 2(k∈Z)，解得 kπ－ π 3 ≤x≤kπ＋π 6(k∈Z)，∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ－π 3，kπ＋π 6](k∈Z)． (2)由(1)知 f(x)＝sin(2x＋π 6)＋b. ∵x∈[0，7π 12]，∴2x＋π 6∈[π 6，4π 3 ].当 2x＋π 6∈[π 6，π 2 ]，即 x∈[0，π 6 ]时，函数 f(x)单 调递增；当 2x＋π 6∈[π 2，4π 3 ]，即 x∈[π 6，7π 12]时，函数 f(x)单调递减． 又 f(0)＝f(π 3 )，∴当 f(π 3 )＞0≥f (7π 12 )或 f(π 6 )＝0 时，函数 f(x)有且只有 一个零点，即 sin4π 3 ≤－b＜sin 5π 6 或 1＋b＝0，∴ . 故实数 b 的取值范围为 . 18、（1）由已知可得该同学从该食堂购买任意一个肉包，其质量不少于 100g 的 概率为 ，所以该同学从该食堂任意购买 2 个肉包，其质量不少于 100g 的肉 包数概率为 。 （2）η的取值可以是 0,1,2. P（η=0）=  P（η=1）=       P（η=2）  η 0 1 2 P 0.57 0.38 0.05 （3）该同学经过仔细思考，认为标准差代表了肉包重量的误差，可以理解成面 点师手艺的精度，这个数字在短时间内很难改变，这对面包师的手艺是个巨大的 飞越，显然并不合理，该同学断定只能是随机性出现了问题．也就是肉包的来源 { }1 3( , ] 12 2 − ∪ − { }1 3( , ] 12 2 − ∪ − 1 2 1 1 1 2 2 4 =× 19 18 342 0.5725 24 600 = =× 19 6 6 19 228 0.3825 24 25 24 600 + = =× × 6 5 0.0525 24 = =×答案第 7 页，总 11 页 不是随机的，而是人为设定的，最大的可能就是每当该同学到来时，面点师从现 有肉包中挑选一个较大的给了该同学，而面点师的制作方式根本没有改变．肉包 质量的平均值从 97.872g 提高到了 100.26g 也充分说明了这一点. 19．(1)证明见解析.(2) 10 10 . 详解：依题意，以点A为原点，以AB、AD、AP为轴建立空间直角坐标系如图， 可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2) 由E为棱PC的中点，得E(1,1,1) （1）向量BE = (0,1,1),PD = (0,2, - 2) 故BE ⋅ PD = 0,BE ⊥ PD,又 AB 面 PAD.所以 AB 面 PD。故 PD 面 ABE （2）BC = (1,2,0),CP = ( -2, - 2,2),AC = (2,2,0),AB = (1,0,0) 由点F在棱PC上，设CF = λCP,0 ≤ λ ≤ 1 故BF = BC + CF = BC +λCP = (1 - 2λ,2 - 2λ,2λ) 由BF ⊥ AC，得BF ⋅ AC = 0 因此，2(1 - 2λ) +2(2 - 2λ) = 0,λ = 3 4 即BF = ( - 1 2,1 2,3 2) 设n1 = (x,y,z)为平面FAB的法向量，则{n1 ⋅ AB = 0 n1 ⋅ BF = 0 ，即{ x = 0 - 1 2x + 1 2y + 3 2z = 0 不妨令z = 1，可得n1 = (0,3, - 1)为平面FAB的一个法向量 取平面ABD的法向量n2 = (0,0,1)，则cos⟨n1,n2⟩ = n1 ⋅ n2 |n1| ⋅ |n2| = 1 10 = 10 10 所以二面角F - AB - D的余弦值为 10 10 点睛：本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般 步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应 直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求 ⊥ ⊥ ⊥答案第 8 页，总 11 页 出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20．(Ⅰ) ; (Ⅱ) . 【 解 析 】 1 ） 由 上 半 椭 圆 和 部 分 抛 物 公共点为 ，得 ，设 的半焦距为 ，由 及 ，解得 ； （2）由（1）知，上半椭圆 的方程为 ， ，易知，直线 与 轴不重合也不垂直，故可设其方程为 ，并代入 的方程中，整理得： ， 由韦达定理得 ，又 ，得 ，从而求得 ，继而 得 点 的 坐 标 为 ， 同 理 ， 由 得 点 的 坐 标 为 ，最后由 , 解得 ， 21．（Ⅰ）a = 6;（Ⅱ）m ≤ 1. 【解析】 试题分析：⑴求导后，代入x = 1，f(x)取得极值，从而计算出a的值，并进行验证(2)由函数f(x) 有两个极值点算出0 < a < 8，继而算出0 < x1 < 2，不等式转化为 x1 1 - x1 [2lnx1 + (m - 2)(x21 - 1) x1 ] > 0， 构造新函数h(x) = 2lnx + (m - 2)(x2 - 1) x ，分类讨论m = 2、m > 2、m < 2时三种情况，从而计算出 结果 解析：（Ⅰ）f'(x) = 2x2 - 8x + a x (x > 0)，f'(1) = 0，则a = 6 检验a = 6时，f'(x) = 2(x - 1)(x - 3) x (x > 0)， 所以x ∈ (0,1)时，f'(x) > 0，f(x)为增函数； x ∈ (1,3)时，f'(x) < 0，f(x)为减函数，所以x = 1为极大值点 （Ⅱ）f(x)定义域为(0, + ∞)，有两个极值点x1,x2(x1 < x2)，则t(x) = 2x2 -8x + a = 0在(0, + ∞)上 2, 1a b= = 8 1 53k k〈− ≠ − −且 2 2 1 2 2: 1( 0, 0)y xC a b ya b + = > > ≥ ( )2 2 : 1 0C y x y= − + ≤ ,A B 1b = 2C c 3 2 ce a = = 2 2 2 1a c b− = = 2a = 1C ( )2 2 1 04 y x y+ = ≥ ( )1,0B l x ( )( )1 0y k x k= − ≠ 1C ( )2 2 2 24 2 4 0k x k x k+ − + − = 2 2 2 4P B kx x k + = + ( )1,0B 2 2 4 4P kx k −= + 2 8 4P ky k −= + P 2 2 2 4 8,4 4 k k k k  − −  + +  ( )( ) ( )2 1 0{ 1 0 y k x k y x y = − ≠ = − + ≤ Q ( )21, 2k k k− − − − 0AP AQ⋅ 0 t(0) = a > 0 x = 2 > 0 ，所以0 < a < 8 {x1 + x2 = 4 x1x2 = a 2 0 < x1 < x2 .所以{ x2 = 4 - x1 a = 2x1x2 = 2x1(4 - x1) 0 < x1 < x2 ，所以0 < x1 < 2 这样原问题即0 < x1 < 2且x1 ≠ 1时，alnx1 1 - x1 > (m - 2)(4 + 3x1 - x21)成立 即2x1(4 - x1)lnx1 1 - x1 > (m - 2)(4 - x1)(x1 +1) 即2x1lnx1 1 - x1 > (m - 2)(x1 +1) 即2x1lnx1 1 - x1 -(m - 2)(x1 +1) > 0，即 x1 1 - x1 [2lnx1 + (m - 2)(x21 - 1) x1 ] > 0 且{0 < x1 < 1时 x1 1 - x1 > 0 1 < x1 < 2时 x1 1 - x1 < 0 设h(x) = 2lnx + (m - 2)(x2 - 1) x (0 < x < 2) h'(x) = (m - 2)x2 + 2x + (m - 2) x2 (0 < x < 2) ①m = 2时，h'(x) = 2 x > 0， 所以h(x)在(0,2)上为增函数且h(1) = 0， 所以，x ∈ (1,2)时，h(x) > 0不合题意舍去. ②m > 2时，h'(x) > 0同①舍去 ③m < 2时 （ⅰ）Δ ≤ 0，即m ≤ 1时可知h'(x) ≤ 0，在(0,2)上h(x)为减函数且h(1) = 0， 这样0 < x < 1时，h(x) > 0，1 < x < 2时h(x) < 0， 这样 x 1 - x[2lnx + (m - 2)(x2 - 1) x ] > 0成立 （ⅱ）Δ > 0，即l < m < 2时h'(x)分子中的一元二次函数的对称轴x = 1 2 - m > 1开口向下，且 1 的函数值为2(m - 1) > 0 令a = min{ 1 2 - m,2}，则x ∈ (1,a)时，h'(x) > 0，h(x)为增函数，h(1) = 0 所以，h(x) > 0故舍去 综上可知：m ≤ 1答案第 10 页，总 11 页 点睛：本题考查了含有参量的函数不等式问题，在含有多个参量的题目中的方法是要消参， 从有极值点这个条件出发推导出参量a及x1的取值范围，在求解m的范围时注意分类讨论， 本题综合性较强，题目有一定难度 22．(1) ; . (2) . （1）由曲线 的参数方程为 （ 为参数），消去参数 得 ， 又 代入 得 的极坐标方程为 ， 由曲线 是圆心的极坐标为 且经过极点的圆. 可得其极坐标方程为 ， 从而得 的普通方程为 . （2）将 代入 得 ， 又将 代入 得 ， 故 . 23．（1） ；（2）详见解析． 试题分析：（Ⅰ） 等价于 ,从而可求得 的解集,根据已知其解 集为 可得 的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ,又因为 是正实数,所以根 据基本不等式即可证明 ． 解：（1）因为 ，所以 等价于 2 2 2 4 cos 4sin ρ θ θ= + 2 2 2 7 0x y y+ − = 13 21 4 13| | 13B AAB ρ ρ −= − = 1C 2cos sin x y ϕ ϕ =  = ϕ ϕ 2 2 14 x y+ = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 14 x y+ = 1C 2 2 2 2 4 4 cos 4sin 1 3sin ρ θ θ θ= =+ + 2C 7, 2 π     2 7 sinρ θ= 2C 2 2 2 7 0x y y+ − = ( 0)3 πθ ρ= ≥ 2 7 sinρ θ= 2 7 si 213nB πρ = = ( 0)3 πθ ρ= ≥ 2 2 2 4 cos 4sin ρ θ θ= + 2 2 4 4 cos 4sin 13 13 3 3 A ρ π π= = + 13 21 4 13| | 13B AAB ρ ρ −= − = 1k = ( 3) 0f x + ≥ x k≤ ( 3) 0f x + ≥ [ ]1,1− k 1 1 1 12 3a b c + + = , ,a b c 1 2 3 19 9 9a b c+ + ≥ ( ) 2f x k x= − − ( 2) 0f x + ≥ x k≤答案第 11 页，总 11 页 由 有解，得 ，且其解集为 又 的解集为 ，故 （2）由（Ⅰ）知 ，又 是正实数，由均值不等式得 当且仅当 时取等号。 也即 考点：1 绝对值不等式；2 基本不等式． x k≤ 0k ≥ { }|x k x k− ≤ ≤ ( 2) 0f x + ≥ [ ]1,1− 1k = 1 1 1 12 3a b c + + = , ,a b c 1 1 1 2 2 3 32 3 ( 2 3 )( ) 32 3 2 3 3 2 2 3 2 33 ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 92 3 3 2 a a b b c ca b c a b c a b c b c a c a b a b a c b c b a c a c b + + = + + + + = + + + + + + = + + + + + + ≥ + + + = 2 3a b c= = 1 2 3 19 9 9a b c+ + ≥