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切线性质的运用
► 类型之一 求线段的长
1．[2017·日照] 如图3－ZT－1，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是( )
A．5 B．5 C．5 D.
图3－ZT－1
图3－ZT－2
2．如图3－ZT－2，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长为( )
A．2 B．2 C. D．2
3．当宽为3 cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图3－ZT－3所示(单位： cm)，求该圆的半径．
图3－ZT－3
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► 类型之二 求角度
图3－ZT－4
4．如图3－ZT－4，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径．若∠BCD＝40°，则∠ABC的度数为________．
5．如图3－ZT－5，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝50°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.过点D作ED与⊙O相切．求∠DEC的度数．
图3－ZT－5
6．[2017·天津] 已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D.
(Ⅰ)如图3－ZT－6①，求∠T和∠CDB的大小；
(Ⅱ)如图3－ZT－6②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
图3－ZT－6
► 类型之三 求面积
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图3－ZT－7
7．如图3－ZT－7，两个半圆中，长为6的弦CD与大半圆的直径AB平行且与小半圆相切，则图中阴影部分的面积为________．
8．[2017·泰州] 如图3－ZT－8，⊙O的直径AB＝12 cm，C为AB延长线上一点，CP与⊙O相切于点P，过点B作弦BD∥CP，连接PD.
(1)求证：P为的中点；
(2)若∠C＝∠D，求四边形BCPD的面积．
图3－ZT－8
► 类型之四 求坐标
9．如图3－ZT－9，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于点A(0，2)，B(0，8)，则圆心P的坐标是( )
A．(5，3) B．(5，4) C．(3，5) D．(4，5)
图3－ZT－9
图3－ZT－10
10．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”，如图3－ZT－10，直线l：y＝kx＋4 与x轴、y轴分别交于A，B两点，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当点P在线段OA上运动时，使得⊙P成为“整圆”的点P的个数是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
11．如图3－ZT－11，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y
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轴的直线交⊙P于M，N两点．若点M的坐标是(2，－1)，则点N的坐标是________．
图3－ZT－11
图3－ZT－12
12．如图3－ZT－12，在平面直角坐标系中，⊙P与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．若点P的坐标为(5，3)，M是⊙P上的一动点，则△ABM的面积最大时，点M的坐标为________．
► 类型之五 说理
13．如图3－ZT－13，已知AB为⊙O的直径，DC切⊙O于点C，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.求证：△DFC是等腰三角形．
图3－ZT－13
14．已知：如图3－ZT－14，P是⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PC(C为切点)，PD交⊙O于点A，B，连接AC，BC.求证：∠PCA＝∠PBC.
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图3－ZT－14
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详解详析
1．A
2．B [解析] 如图，连接OE，OC，设OC与EF的交点为M.
∵∠EDC＝30°，
∴∠COE＝60°.
∵AB与⊙O相切，
∴OC⊥AB.
又∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形，
∴∠OEM＝90°－60°＝30°.
在Rt△EOM中，OM＝OE＝1，
由勾股定理，得EM＝＝.
∵EF＝2EM，∴EF＝2 .
3．如图，设⊙O与直尺的切点为C，连接OA，OB，OC，设OC与AB的交点为D，⊙O的半径为R cm，则OC⊥AB于点D.
在Rt△OAD中，AD＝4，OD＝R－3，OA＝R，
由勾股定理，得R2＝(R－3)2＋42，解得R＝.
即圆的半径为 cm.
4．50° [解析] 连接OC，则OC⊥CD，而∠BCD＝40°，∴∠BCO＝50°.
在△OCB中，∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝50°，即∠ABC＝50°.
5．解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
又∵∠ABC＝90°，
∴∠A＋∠ABD＝90°，∠DBE＋∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝∠A＝50°.
∵ED与⊙O相切，连接OD，
∴∠ODE＝90°.
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠EDB＝∠DBE＝50°，
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∴∠DEC＝2∠EDB＝100°.
6．解：(Ⅰ)如图①，连接AC.
∵AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，
∴AT⊥AB，
即∠TAB＝90°.
∵∠ABT＝50°，
∴∠T＝90°－∠ABT＝40°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，
∴∠CDB＝∠CAB＝40°.
(Ⅱ)如图②，连接AD.
在△BCE中，∵BE＝BC，∠EBC＝50°，
∴∠BCE＝∠BEC＝65°，
∴∠BAD＝∠BCD＝65°.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝65°.
∵∠ADC＝∠ABC＝50°，
∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15°.
7.π [解析] 设大半圆圆心为F，过点F作FE⊥CD，垂足为E.连接FC，则FC是大半圆的半径，EF的长等于小半圆的半径．
由垂径定理知，E是CD的中点，
由勾股定理知，FC2－EF2＝CE2＝9，
阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积，
∴阴影部分的面积＝(FA2－EF2)π＝(FC2－EF2)π＝π.
8．解：(1)证明：如图，连接OP.
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∵CP与⊙O相切于点P，∴OP⊥CP.
∵BD∥CP，∴OP⊥BD，
∴＝，即P为的中点．
(2)连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°＝∠OPC.
∵BD∥CP，∴∠C＝∠DBA.
∵∠C＝∠D，∴∠DBA＝∠D，
∴DP∥BC，∴四边形BCPD是平行四边形，
∴DB＝PC，∴△COP≌△BAD(ASA)，
∴OC＝AB＝12 cm，
∴BC＝OA＝OB＝6 cm.
在Rt△OCP中，∵OP＝6 cm，
∴CP＝＝6 cm，∠C＝30°，
∴∠DBA＝30°，
∴OE＝OB＝3 cm，∴PE＝OP－OE＝3 cm，
∴四边形BCPD的面积是CP·PE＝18 cm2.
9．D
10． A [解析] ∵△OAB是内角为30°，60°，90°的特殊三角形，
∴当OB＝4 时，AB＝8 ，OA＝12.
又∵满足条件的点P的坐标为整数，半径为整数，即点P到AB的距离为整数，
即AP为整数，满足上述条件的点有(0，0)，(2，0)，(4，0)，(6，0)，(8，0)，(10，0)，共6个．故选A.
11．(2，－4) [解析] 如图，过点P作PA⊥MN于点A，则AM＝MN.
∵在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴的直线交⊙P于M，N两点，
∴∠POB＝∠PAB＝∠ABO＝90°，
∴四边形ABOP是矩形，
∴AB＝OP，PA＝OB＝2.
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设OP＝a，则PM＝OP＝a.
∵点M的坐标是(2，－1)，
∴BM＝1，∴AM＝a－1.
在Rt△PAM中，PM2＝AM2＋PA2，
即a2＝(a－1)2＋4，解得a＝2.5，
∴AM＝1.5，∴MN＝3，∴BN＝1＋3＝4，
∴点N的坐标为(2，－4)．
12．(5，8) [解析] 如图，过点P作PD⊥x轴于点D，DP的延长线交⊙P于点M，连接PC，PA.
∵点P的坐标为(5，3)，⊙P与y轴相切于点C，
∴PC＝5，PD＝3，∴PC＝PM＝5，
∴MD＝PD＋PM＝8.
∵四边形OCPD为矩形，∴OD＝PC＝5，
∴当点M的坐标为(5，8)时，△ABM的面积最大．
13．证明：如图，连接OC.
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA.
∵DC是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∴∠DCF＝90°－∠OCA.
∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，
∴∠DFC＝∠AFE＝90°－∠OAC.
又∵∠OAC＝∠OCA，∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC，
∴△DFC是等腰三角形．
14．
证明：如图，连接OC，OA.
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠CAO.
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∵PC是⊙O的切线，C为切点，∴PC⊥OC，
∴∠PCO＝90°，∴∠PCA＋∠ACO＝90°.
在△AOC中，∠ACO＋∠CAO＋∠AOC＝180°，
又∵∠AOC＝2∠PBC，
∴2∠ACO＋2∠PBC＝180°，
∴∠ACO＋∠PBC＝90°，
∴∠PCA＝∠PBC.
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