高三数学试卷(理科)
(考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.若 ，则
A.－1 B.1 C.－3 D.3
2.设集合 ，若 ，则 a 的取值范围为
A.(1，2) B. C.[1，2] D.
3.若曲线 关于点 对称，则
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
4.若 x>0，yx2 B.
C. 2y－2x>x2 D. 2x－2y>x2
5.如图，AB 是圆 O 的一条直径，C、D 是半圆弧的两个三等分点，则
A. B. C. D.
6.17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，
2
1
iz i
−= + z z+ =
2{ }, { 3 2}A x x a B x x a= > = < − A B φ=
( ,1) (2, )−∞ +∞ ( ,1] [2, )−∞ +∞
sin(4 )(0 2 )y x ϕ ϕ π= + < < ( ,0)12
π ϕ =
2
3
π 5
3
π
3
π 4
3
π 5
6
π 11
6
π
6
π 7
6
π
x y
1
2
2 2 log (1+x)− >
y x
1
2
2 2 log (1+x)− >
AB =
AC AD− 2 2AC AD− AD AC− 2 2AD AC− 另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄
金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是
一个顶角为 36°的等腰三角形(另一种是顶角为 108°的等腰三角形)。例如，五角星由五个黄金
三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中， 。根据这
些信息，可得 sin234°＝
A. B. C. D.
7.若函数 在(－∞，a]上的最大值为 4，则 a 的取值范围为
A.[0，17] B.(－ ∞，17 ] C. [1，17] D. [1，＋∞)
8.如图，图 C 的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为 1)，图中直线与圆弧相切
于一个小正方形的顶点，若圆 C 经过点 A (2，15)，则圆 C 的半径为
A. B.8 C. D.10
9.为了配平化学方程式 ，某人设计了一个如图所示的程序框
图，则①②③处应分别填入
5 1
2
BC
AC
−=
1 2 5
4
− 3 5
8
+= 5 1
4
+− 4 5
8
+−
2
2 2, 1( )
log ( 1), 1
x xf x
x x
+ ≤= − >
7 2 8 2
2 2 2 3 2aFeS bO cFe O dSO+ +点燃
＝＝A. B.
C. D.
10.2019 年 7 月 1 日迎来了我国建党 98 周年，6 名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏
坡。6 名老党员中有 3 名党员当年在同一个班，他们站成一排拍然留念时，要求同班的 3 名党
员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片 0.5 元(不
含过塑费)，且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为 0.75 元。若将这些照片平均分给每名老
党员(过塑的照片也要平均分)，则每名老党员需要支付的照片费为
A. 20.5 元 B.21 元 C.21.5 元 D.22 元
11.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G 分别为 AA1、BC、C1D1 的中点，现有下面三个
结论：①△EFG 为正三角形；②异面直线 A1G 与 C1F 所成角为 60°；③AC∥平面 EFG。其中
所有正确结论的编号是
A.① B.②③ C.①② D.①③
12.函数 在区间[－3，2)∪(2，3]上的零点个数为
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡中的横线上。
13.随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活。网购的苹果在运输过程中容易出现碰
伤，假设在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为 0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购 2 箱
苹果恰有 1 箱在运输中出现碰伤的概率为 ▲
3 2, , 23
c da c b c c
+= = = + 3 2, , 13
c da c b c c
+= = = +
3 22 , , 22
c da c b c c
+= = = + 3 22 , , 12
c da c b c c
+= = = +
3 1( ) ( 3 ) 2
xf x x x e x
= − − −14.设 a、b、c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边。已知 asinA＝2bcosAcosC＋2ccosAcosB，
则 tanA＝ ▲
15.已知直线 y＝a 与双曲线 的一条渐近线交于点 P，双曲线 C 在左、
右顶点分别为 A1、A2，若 ，则双曲线 C 的离心率为 ▲
16.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥AC，AB⊥平面 PAD，底面 ABCD 为正方形，且 CD＋
PD＝3，若四棱锥 P－ABCD 的每个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积的最小值为
▲ ；当四棱锥 P－ABCD 的体积取得最大值时，二面角 A－PC－D 的正切值为 ▲ (本
题第一空 2 分，第二空 3 分)
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每道试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(12 分)
在公差为 d 的等差数列{an}中，a1d＝6，a N，d N，且 a1>d。
(1)求{an}的通项公式；
(2)若 a1、a4、a13 成等比数列，求数列 的前 n 项和 Sn。
18.(12 分)
如图，在三棱锥 ABC－A1B1C1 中，侧面 ABB1A1 为菱形，D 为 AB 的中点，△ABC 为等腰三
角形，∠ACB＝ ，∠ABB1＝ ，且 AB＝B1C。
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
2 1 2
5
2PA A A=
∈ ∈
1
1
n na a +
2
π
3
π(1)证明：CD⊥平面 ABB1A；
(2)求 CD 与平面 A1BC 所成角的正弦值。
19.(12 分)
某市为了解本市 1 万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每
个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这 1 万名小学生普通话测试成绩)服从正态分
布 N(69，49)。
(1)从这 1 万名小学生中任意抽取 1 名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62，90)内的
概率；
(2)现在从总体中随机抽取 12 名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：
50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90。从这 12 个数据中随机选取 4 个，记 X
表示大于总体平均分的个数，求 X 的方差。
参考数据：若 Y～N( )，则 ，
20.(12 分)
已知椭圆 C： (a>b>0)的长轴长为 ，焦距为 2，抛物线 M：y2＝2px(p>0)的准
线经过 C 的左焦点 F。
(1)求 C 与 M 的方程；
(2)直线 l 经过 C 的上顶点且 l 与 M 交于 P、Q 两点，直线 FP、PQ 与 M 分别交于点 D(异于点
P)，E(异于点 Q)，证明：直线 DE 的斜率为定值。
2,µ σ ( ) 0.6827P Yµ σ µ σ− < < + =
( 2 2 ) 0.9545, ( 3 3 ) 0.9973P Y P Yµ σ µ σ µ σ µ σ− < < + = − < < + =
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 2 221.(12 分)
已知函数 。
(1)讨论了 的单调性；
(2)试问是否存在 ，使得 对 恒成立？若存在，求 a
的取值范围；若不存在，请说明理由。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 (α 为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 已 知 曲 线 M 的 极 坐 标 方 程 为 ，
。
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
(2)已知 β 为锐角，直线 l：θ＝β 与曲线 C 的交点为 A(异于极点)，l 与曲线 M 的交点
为 B，若 ，求 l 的直角坐标方程。
23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分)
已知 a、b、c 为正数，且满足 a＋b＋c＝3。
(1)证明： ；
(2)证明： 。
2 21 1( ) (2ln 1) (ln 2)4 2f x x x ax x x= − − − −
( )f x
( , ]a e∈ −∞ 1( ) 3 sin4 4
af x
π> + [1, )x∈ +∞
2cos
2 2sin
x
y
α
α
=
= +
2 sin 2 32ρ θ =
(0 )2
πθ< <
( )Rρ ∈
16 2OA OB⋅ =
3ab bc ac+ + ≤
9 4 12ab bc ac abc+ + ≥
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