河南顶级名校2020届高三上学期开学摸底考试数学（文）（有答案）.doc

绝密★启用前 2020 届高三年级开学摸底考试 文数试卷 本试卷共 4 页，23 题(含选考题)。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿 纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题 卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.已知几何 ，则 A∩B＝ A.[－1，0] B. [－1，0) C. (0，1] D.[0，1] 2.已知复数 z 满足 ，其中 1 为虚数单位，则 z 的虚部为 A.－i B. i C.－1 D.1 3.在等差数列{an}中， ，则其公差为 A.2 B.1 C.－1 D.－2 4.已知 ，则 A. B. C. D. 5.如图所示的△ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AD 上，且 BD＝DC，ED＝2AE，则向量 A {x 0} B {x x 0}x ≤ >＝ ∣ ， ＝ ∣ 2 1 iz i = − 2 10 6 80, 4a a a a+ = + = − 2sin( ) 3 π α− = sin(2 ) cos α π α + = 4 3 − 3 4 − 4 3 3 4 AE =A. B. C. D. 6.在《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，若某个鳖臑的三视图均为 直角边长为 l 的等腰直角三角形(如图所示)，则该鳖臑表面中最大面的面积为 A. B.1 C. D. 7.已知函数 f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，若当 x (0，＋∞)时，f(x)＝lnx， 则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围为 A.(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.(－1，0)∪(0，1) C.(－∞，－1)∪(0，1) D.(－1，0)∪(1，＋∞) 8.已知函数 ，且 f(x)的图像关于直线 对称， 则ω的取值可以为 A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知三个村庄 A、B、C 所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且 AB＝6km，BC＝ 8km，AC＝10km，现在△ABC 内任取一点 M 建一大型的超市，则点 M 到三个村庄 A、B、C 的距离都不小于 2km 的概率为 A. B. C. D. 10.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M 为棱 A1B1 的中点，则异面直线 AM 与 BD 所成角的 余弦值为 A. B. C. D. 11.已知 O 为坐标原点，点 P(1，2)在抛物线 C：y2＝4x 上，过点 P 作两直线分别交抛物线 C 1 1 3 3AB AC+  1 1 6 6AB AC+  1 5 6 6AB AC+  1 2 3 3AB AC+  2 2 2 1 2+ ∈ ( ) 2sin( )( ), (0) 32f x x f πω ϕ ϕ= + < = 7 12x π= 3 3 24 + 12 π 21 3 24 − 12 12 π− 3 2 3 4 10 5 10 10于点 A，B，若 kPA＋kPB＝0，则 kAB·kOP 的值为 A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 12.若对任意的实数 x>0， 恒成立，则实数 a 的取值范围为 A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1] 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22～23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。 13.在△ABC 中，AB＝1，AC＝2，A＝60°，则 S△ABC＝ 14.已知直线 l：x＋my－1＝0 与圆 O：x2＋y2＝3，若圆心到直线的距离为 ，则 m＝ 15.若 x、y 满足约束条件 ，则 z＝x＋2y 的最大值为 16.如下分组的正整数对：第 1 组为{(1，2)，(2，1)}，第 2 组为{(1，3)，(3，1)}，第 3 组为 {(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，第 4 组为{(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)}，，则第 40 组 第 21 个数对为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)若 ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 18.(本小题满分 12 分) 为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生 产线上随机抽取的 100 个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分(满分 100 分)， 将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图，记综合评分为 80 分及以上的产 品为一等品。 ln 0x x x a− − ≥ 2 2 2 1 0 1 0 0 x y x y y − + ≥  + − ≤  ≥ 21 1 2 2nS n n= + 1 1 n n n b a a + =(1)求图中 a 的值，并求综合评分的中位数； (2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线汇总随机抽取 5 个产品，再从这 5 个产品中随机抽取 2 个产品记录有关数据，求这 2 个产品中恰有一个一等 品的概率。 19.(本小题满分 12 分) 如图所示，在四棱锥 A－BCDE 中，底面 BCDE 为正方形，且 BC＝2，AB＝4，AC＝AE ＝ 。 (1)证明：AB⊥平面 BCDE； (2)若点 P 在线段 AD 上，且 DP=2AP，求三棱锥 P－ABC 的体积。 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C： 的中心为原点 O，过 O 作两条互相垂直的射线交椭圆于 P、 Q。 (1)证明： 为定值； (2)若椭圆 C： ，过原点 O 作直线 PQ 的垂线，垂足为 D，求 。 2 5 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 1 1 OP OQ + 2 2 14 3 x y+ = OD21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝ax3＋ax2－a2x。 (1)当 a=1 时，求曲线 y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)当 a≥0 时，若对任意的 x [0，1]，都有 f(x) ≥－11，求实数 a 的取值范围。 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点 O 为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 。 (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，求 。 23.(本小题满分 10 分)选修 4 一 5：不等式选讲 已知函数 。 (1)求不等式 的解集； (2)若 恒成立，求实数 a 的最大值。 ∈ x 1 t y 2t    ＝ ＋ ＝ 2sin 4cos 0ρ θ θ－ ＝ AB ( ) 2 1f x x= + ( ) 1f x ≤ 2, ( )x R f x a x∀ ∈ ≥