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专题训练(五) 图形的规律探索
——教材P70T10的变式与应用
教材母题:(教材P70T10)如图所示,由一些点组成形如三角形的图形,每条“边”(包括两个顶点)有n(n>1)个点,每个图形总的点数S是多少?当n=5,7,11时,S是多少?
【思路点拨】 观察图形,可得到点的总数S与n之间的关系,用含n的式子表示S,便可分别求出当n=5,7,11时,S的值.
【解答】 观察图形,当n=2时,有两排点,总的点数为1+2=3(个);
当n=3时,有三排点,总的点数为1+2+3=6(个);
当n=4时,有四排点,总的点数为1+2+2+4=9(个);
当n=5时,有五排点,总的点数为1+2+2+2+5=12(个).
根据此规律,可知点的总数S=1+2(n-2)+n=3n-3,
当n=7时,S=3×7-3=18;
当n=11时,S=3×11-3=30.
故当n=5,7,11时,S的值分别是12,18,30.
【方法归纳】 解决图形规律探索问题,首先从简单的基本图形入手,随着“序号”或“编号”增加时,后一个图形与前一个图形相比,在数量上的变化情况或图形变化情况,找出变化规律,从而推出一般性结论.
1.如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案,其中图1需要4根小棒,图2需要10根小棒,…,按此规律摆下去,则第11个图案所需小棒的根数为(C)
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A.70 B.68 C.64 D.58
2.(荆州中考)如图,用黑白两种颜色的纸片,按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案.若第n个图案中有2 017个白色纸片,则n的值为(B)
A.671 B.672 C.673 D.674
3.(益阳中考)小李用围棋子排成下列一组有规律的图案,其中第1个图案有1枚棋子,第2个图案有3枚棋子,第3个图案有4枚棋子,第4个图案有6枚棋子,…,那么第9个图案的棋子数是13枚.
4.如图是用棋子摆成的图案:
根据图中棋子的排列规律解决下列问题:
(1)第4个图中有22枚棋子,第5个图中有32枚棋子;
(2)写出你猜想的第n个图中棋子的枚数(用含n的式子表示)是n+2+n2.
5.下面是用棋子摆成的“小房子”.摆第10个这样的“小房子”需要多少枚棋子?摆第n个这样的“小房子”呢?你是如何得到的?
解:第1个“小房子”,下边正方形棋子4×2-4=4(枚),上边1枚,共4+1=5(枚);
第2个“小房子”,下边正方形棋子4×3-4=8(枚),上边3枚,共8+3=11(枚);
第3个“小房子”,下边正方形棋子4×4-4=12(枚),上边5枚,共12+5=17(枚);
第4个“小房子”,下边正方形棋子4×5-4=16(枚),上边7枚,共16+7=23(枚);
…
第n个“小房子”,下边正方形棋子4×(n+1)-4=4n(枚),上边(2n-1)枚,共4n+2n-1=(6n-1)(枚).
当n=10时,6n-1=6×10-1=59(枚).
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