2018-2019 学年河北省承德市九年级（上）期末数学模拟试卷
一．选择题（共 16 小题，满分 42 分）
1. tan30°的值为（ ）
A． B． C． D．
2. 若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3. 抛物线 y＝（x﹣2）2+3 的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
4. 如图，△ABC 中，DE∥BC，＝ ，AE＝2cm，则 AC 的长是（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
5. 如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为 4 米和 6 米，则草皮的总面积为（ ）平方米．
A．3 B．9 C．12 D．24
6. 在平面直角坐标系中，平移二次函数 y＝x2+4x+3 的图象能够与二次函数 y＝x2 的图象重合，则平移方式为（ ）
A. 向左平移 2 个单位，向下平移 1 个单位
B. 向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位
C. 向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位
D. 向右平移 2 个单位，向上平移 1 个单位
7. 如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则 tanC 的值是（ ）
A. B． C． D．
2. 如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25m，BD＝1.5m，且 AB、
CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）
A．2m B．2.5m C．2.4m D．2.1m
3. 对于抛物线 y＝﹣（x+2）2+3，下列结论中正确结论的个数为（ ）
①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线 x＝﹣2；
③图象不经过第一象限； ④当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小．
A．4 B．3 C．2 D．1
4. 如图，钓鱼竿 AC 长 6m，露在水面上的鱼线 BC 长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿 AC 转动到 AC'的位置，此时露在水面上的鱼线 B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（ ）
A．60° B．45° C．15° D．90°
5. 如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，则下列说法中正确的有（ ）
①点 C、O、B 一定在一条直线上；②若点 E、点 D 分别是 CA、AB 的中点，则 OE＝OD；
③若点 E 是 CA 的中点，连接 CO，则△CEO 是等腰直角三角形．
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
1. 用一条长 40cm 的绳子怎样围成一个面积为 75cm2 的矩形？设矩形的一边为 x 米，根据题意，可列方程为（ ）
A．x（40﹣x）＝75 B．x（20﹣x）＝75 C．x（x+40）＝75 D．x（x+20）＝75 13．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ax＞0；②2a+b＞
0；③abc＜0；④4a﹣2b+c＜0；⑤a+b+c＞0．其中正确的个数是（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
14. 已知一个半圆的圆心 O 在坐标原点，直径在 x 轴上，且与 y 轴交于点（0，1），该半圆的任意一条半径与半圆交于点 P，过 P 作 PN 垂直于 x 轴，N 为垂足，则∠OPN 的平分线一定经过点（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（0，﹣） D．（0，﹣1）
15. 如图，已知 A 是双曲线 y＝（x＞0）上一点，过点 A 作 AB∥x 轴，交双曲线 y＝﹣
（x＜0）于点 B，若 OA⊥OB，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
14. 已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1，把正方形放在正六边形中，使OK边与 AB 边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续 6 次旋转的过程中，点 B，M 间的距离不可能是（ ）
A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8
二．填空题（共 3 小题，满分 10 分）
15. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在圆上，∠D＝65°，则∠BAC 等于 度．
16. 已知关于 x 的函数 y＝（m﹣1）x2+2x+m 图象与坐标轴只有 2 个交点，则 m＝ ．
17. 如图，E 是正方形 ABCD 边 AB 的中点，连接 CE，过点 B 作 BH⊥CE 于 F，交 AC 于 G，
交 AD 于 H，下列说法：①＝ ；②点 F 是 GB 的中点；③AG＝AB；④S△AHG
＝ S△ABC．其中正确的结论的序号是 ．
三．解答题（共 7 小题，满分 68 分）
20．（1）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0
（2）计算 cos45°+3tan30°﹣2sin60°．
21. 在“三爱三节”活动中，小明准备从一张废弃的三角形铁片上剪出一个正方形做一个圆 柱侧面．如图，四边形 DEFG 是△ABC 的内接正方形，D、G 分别在 AB、AC 上，E、F 在 BC 上，AH 是△ABC 的高，已知 BC＝20，AH＝16，求正方形 DEFG 的边长．
21. 已知抛物线的顶点是 A（2，﹣3），且交 y 轴于点 B（0，5），求此抛物线的解析式．
22. 如图，半圆 O 的直径 AB＝12cm，射线 BM 从与线段 AB 重合的位置起，以每秒 6°的旋转速度绕 B 点按顺时针方向旋转至 BP 的位置，BP 交半圆于 E，设旋转时间为 ts（0
＜t＜15），
（1） 求 E 点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留π．
（2） 设点 C 始终为的中点，过 C 作 CD⊥AB 于 D，AE 交 CD、CB 分别于 G、F，过 F
作 FN∥CD，过 C 作圆的切线交 FN 于 N． 求证：①CN∥AE；
②四边形 CGFN 为菱形；
③是否存在这样的 t 值，使 BE2＝CF•CB？若存在，求 t 值；若不存在，说明理由．
21. 如图所示，二次函数 y＝﹣2x2+4x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A（3，0），另一个交点为 B，且与 y 轴交于点 C．
（1） 求 m 的值及点 B 的坐标；
（2） 求△ABC 的面积；
（3） 该二次函数图象上有一点 D（x，y），使 S△ABD＝S△ABC，请求出 D 点的坐标．
22. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，以边上 AC 上一点 O 为圆心，OA 为半径作⊙O，⊙O 恰好经过边 BC 的中点 D，并与边 AC 相交于另一点 F．
（1） 求证：BD 是⊙O 的切线；
（2） 若 BC＝2，E 是半圆上一动点，连接 AE、AD、DE． 填空：
①当 的长度是 时，四边形 ABDE 是菱形；
②当 的长度是 时，△ADE 是直角三角形．
21. 服装厂批发某种服装，每件成本为 65 元，规定不低于 10 件可以批发，其批发价 y（元
/件）与批发数量 x（件）（x 为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．
（1） 求 y 与 x 之间所满足的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
（2） 设服装厂所获利润为 w（元），若 10≤x≤50（x 为正整数），求批发该种服装多少件时，服装厂获得利润最大？最大利润是多少元？
参考答案
一．选择题（共 16 小题，满分 42 分）
1. 【解答】解：tan30°＝ ，故选：B．
2. 【解答】解：因为 ，所以 b＝，
把 b＝代入则 ＝ ， 故选：B．
3. 【解答】解：y＝（x﹣2）2+3 是抛物线的顶点式方程，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
4. 【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
∵ ，AE＝2cm，
∴ ＝ ，
∴AC＝6（cm），故选：C．
5. 【解答】解：∵△MDE 是直角三角形，四边形 ABCD 是正方形，
∴∠MAB＝∠BCE＝90°，∠M+∠ABM＝90°，∠ABM+∠CBE＝90°，
∴∠M＝∠CBE，
∴△AMB∽△CBE，
∴ ＝ ，
∵MB＝6，BE＝4，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵AB＝BC，
∴ ＝ ，
设 CE＝2x，则 BC＝3x，在 Rt△CBE 中，
BE2＝BC2+CE2，即 42＝（3x）2+（2x）2，解得 x＝ ，
∴CE＝ ，AB＝BC＝ ，AM＝ AB＝ ，
∴S 草皮＝S△CBE+S△AMB＝× × + × ×
＝12．
故选：C．
1. 【解答】解：二次函数 y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，将其向右平移 2 个单位，再向上平移
1 个单位得到二次函数 y＝x2． 故选：D．
2. 【解答】解：如图 ，
tanC＝ ＝ ， 故选：A．
3. 【解答】解：连接 OF，交 AC 于点 E，
∵BD 是⊙O 的切线，
∴OF⊥BD，
∵四边形 ABDC 是矩形，
∴AC∥BD，
∴OE⊥AC，EF＝AB，
设圆 O 的半径为 R，在 Rt△AOE 中，AE＝＝ ＝0.75 米，
OE＝R﹣AB＝R﹣0.25，
∵AE2+OE2＝OA2，
∴0.752+（R﹣0.25）2＝R2， 解得 R＝1.25．
1.25×2＝2.5（米）．
答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是 2.5 米． 故选：B．
1. 【解答】解：
∵y＝﹣（x+2）2+3，
∴抛物线开口向下、对称轴为直线 x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，3），故①、②都正确；在 y＝﹣（x+2）2+3 中，令 y＝0 可求得 x＝﹣2+ ＜0，或 x＝﹣2﹣＜0，
∴抛物线图象不经过第一象限，故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为 x＝﹣2，
∴当 x＞﹣2 时，y 随 x 的增大而减小，
∴当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小，故④正确； 综上可知正确的结论有 4 个，
故选：A．
2. 【解答】解：∵sin∠CAB＝ ＝ ＝ ，
∴∠CAB＝45°．
∵ ＝ ＝ ，
∴∠C′AB′＝60°．
∴∠CAC′＝60°﹣45°＝15°， 鱼竿转过的角度是 15°．
故选：C．
11．【解答】解：①∵∠A＝90°，
∴∠A 所对的弦是直径，
∴点 C、O、B 一定在一条直线上，故正确；
②根据相等的弦所对的弦心距也相等可知当点 E、点 D 分别是 CA、AB 的中点时，则 OE
＝OD 正确；
③∵OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，
∵AD＝ AB，AE＝ AC，∠ADO＝∠AEO＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠DAE＝90°，
∴四边形 ADOE 是矩形，
∵AB＝AC，
∴AD＝AE，
∴四边形 ADOE 是正方形，
∴OE＝AE＝CE，
∴△CEO 是等腰直角三角形，故正确， 故选：A．
12. 【解答】解：设长为 xcm，
∵长方形的周长为 40cm，
∴宽为＝（20﹣x）（cm），得 x（20﹣x）＝75．
故选：B．
13. 【解答】解：∵抛物线与 x 轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴 x＝﹣＝1.5＞1，
∴2a+b＞0，故②正确；
∵a＜0，﹣ ＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，故③错误；
∵x＝﹣2 时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④正确
∵x＝1 时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故⑤正确； 故选：C．
12. 【解答】解：如图，
设∠OPN 的角平分线与 y 轴交于 M 点，
∵PM 是角平分线，∴∠1＝∠2，
∵PN⊥x 轴，∴PN∥y 轴，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴OP＝OM，即 OM 等于半径，
∴M 点坐标为（0，﹣1）．故选：D．
13. 【解答】解：∵A 点在双曲线 y＝ （x＞0）上一点，
∴设 A（，m），
∵AB∥x 轴，B 在双曲线 y＝﹣（x＜0）上，
∴设 B（﹣ ，m），
∴OA2＝ +m2，BO2＝ +m2，
∵OA⊥OB，
∴OA2+BO2＝AB2，
∴ +m2+ +m2＝（ + ）2，
∴m2＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ， 故选：C．
12. 【解答】解：如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点 B，M 间的距离大于等于 2﹣小于等于 1， 故选：A．
二．填空题（共 3 小题，满分 10 分）
13. 【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝65°，∠B 与∠D 是对的圆周角，
∴∠D＝∠B＝65°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝25°． 故答案为：25．
14. 【解答】解：（1）当 m﹣1＝0 时，m＝1，函数为一次函数，解析式为 y＝2x+1，与 x 轴
交点坐标为（﹣，0）；与 y 轴交点坐标（0，1）．符合题意．
（2） 当 m﹣1≠0 时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与 x 轴有两个不同的交点，
于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，
解得，（m﹣）2＜，
解得 m＜或 m＞．
将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．
（3） 函数为二次函数时，还有一种情况是：与 x 轴只有一个交点，与 Y 轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，
解得：m＝ ．
故答案为：1 或 0 或．
12. 【解答】解：①∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC，∠HAB＝∠ABC＝90°，
∵CE⊥BH，
∴∠BFC＝∠BCF+∠CBF＝∠CBF+∠ABH＝90°，
∴∠BCF＝∠ABH，
∴△ABH≌△BCE，
∴AH＝BE，
∵E 是正方形 ABCD 边 AB 的中点，
∴BE＝ AB，
∴AH＝ AD＝ BC，
∴ ＝ ，
∵AH∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ；
故①正确；
②tan∠ABH＝tan∠BCF＝ ＝ ， 设 BF＝x，CF＝2x，则 BC＝x，
∴AH＝ x，
∴BH＝ ＝ x，
∵ ＝ ，
∴HG＝ ＝ ，
∴FG＝BH﹣GH﹣BF＝ ﹣ ﹣x＝ ≠BF， 故②不正确；
③∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC＝ AB，
∵ ，
∴ ，
∴AG＝ AC＝ AB， 故③正确；
④∵ ＝ ，
∴ ， ，
∴ ＝ ，
∴ ，
故④正确；
本题正确的结论是：①③④； 故答案为：①③④．
三．解答题（共 7 小题，满分 68 分）
20．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
＝
，
，x2＝
；
∴△＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0， 则 x＝
即 x1＝
（2）原式＝ +3× ﹣2×
＝ + ﹣
＝ ．
21. 【解答】解：设正方形 DEFG 的边长为 x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得，x＝ ．
22. 【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为 A（2，﹣3），
∴可设抛物线解析式为 y＝a（x﹣2）2﹣3， 将 B（0，5）代入，得 4a﹣3＝5，
解得 a＝2，
∴抛物线的解析式为 y＝2（x﹣2）2﹣3 或 y＝2x2﹣8x+5；
23. 【解答】（1）解：∵射线 BM 从与线段 AB 重合的位置起，以每秒 6°的旋转速度绕 B
点按顺时针方向旋转至 BP 的位置，
∴B 一秒 P 转动的圆心角为 12°，
∴每秒走过的弧长为： ＝ πcm∕s；
（2） ①证明：如图所示：
∵点 C 始终为的中点，过 C 作 CD⊥AB 于 D，AE 交 CD、CB 分别于 G、F，过 F 作 FN
∥CD，过 C 作圆的切线交 FN 于 N．
∴∠ACD+∠CAG＝∠CGF，∠ABC＝∠GAC＝∠ACG，
∠MCA＝∠ABC，
∴∠MCA+∠ACG＝∠ACD+∠CAG，
∴CN∥AE；
②证明：∵FN∥CD，CN∥AE；
∴四边形 CGFN 是平行四边形，
∵∠GCF＝90°﹣∠ACG，
∠CFG＝∠EFB＝90°﹣∠EBC，
∵∠EBC＝∠ACD，
∴∠GCF＝∠GFC，
∴CG＝GF，
∴平行四边形 CGFN 为菱形；
③解：连接 EO，CO． 存在，理由如下：
∵∠ACF＝∠ACB，
∠CAF＝∠CBA，
∴△ACF∽△BCA，
∴ ，
∴AC2＝BC•CF，
∵当 t＝10s 时，∠AOC＝∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝60°，
∴△AOC，△BOE 都是等边三角形，且此时全等，
∴AC＝BE，
∴BE2＝BC•CF．
24．【解答】解：（1）∵函数过 A（3，0），
∴﹣18+12+m＝0，
∴m＝6，
∴该函数解析式为：y＝﹣2x2+4x+6，
∴当﹣2x2+4x+6＝0 时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点 B 的坐标为（﹣1，0）；
（2）C 点坐标为（0，6），；
（2） ∵S△ABD＝S△ABC＝12，
∴S△ABD＝ ＝12，
∴|h|＝6，
①当 h＝6 时：﹣2x2+4x+6＝6，解得：x1＝0，x2＝2
∴D 点坐标为（0，6）或（2，6），
②当 h＝﹣6 时：﹣2x2+4x+6＝﹣6，解得：x1＝1+，x2＝1﹣
∴D 点坐标为（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）
∴D 点坐标为（0，6）、（2，6）、（1+，﹣6）、（1﹣，﹣6）．
25. 【解答】（1）证明：连接 OD，如图，
∵∠BAC＝90°，点 D 为 BC 的中点，
∴DB＝DA＝DC，
∵∠B＝60°，
∴△ABD 为等边三角形，
∴∠DAB＝∠ADB＝60°，∠DAC＝∠C＝30°， 而 OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝30°，
∴∠ODB＝60°+30°＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BD 是⊙O 的切线；
（2）解：①∵△ABD 为等边三角形，
∴AB＝BD＝AD＝CD＝ ，
在 Rt△ODC 中，OD＝ CD＝1， 当 DE∥AB 时，DE⊥AC，
∴AD＝AE，
∵∠ADE＝∠BAD＝60°，
∴△ADE 为等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠ADE＝60°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝120°，
∴AB＝BD＝DE＝AE，
∴四边形 ABDE 为菱形，
此时 的长度＝ ＝ π；
②当∠ADE＝90°时，AE 为直径，点 E 与点 F 重合，此时 的长度＝ ＝π； 当∠DAE＝90°时，DE 为直径，∠AOE＝2∠ADE＝60°，此时 的长度＝ ＝ π， 所以当 的长度为 π或π时，△ADE 是直角三角形．
故答案为 π； π或π．
25. 【解答】解：（1）当 10≤x≤50 时，设 y 与 x 的函数关系式为 y＝kx+b，
，得 ，
∴当 10≤x≤50 时，y 与 x 的函数关系式为 y＝﹣0.5x+105， 当 x＞50 时，y＝80，
即 y 与 x 的函数关系式为：y＝；
（2）由题意可得，
w＝（﹣0.5x+105﹣65）x＝﹣0.5x2+40x＝﹣0.5（x﹣40）2+800，
∴当 x＝40 时，w 取得最大值，此时 w＝800，y＝﹣0.5×40+105＝85， 答：批发该种服装 40 件时，服装厂获得利润最大，最大利润是 800 元．
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