唐山市2019~2020学年度高三年级摸底考试
文科数学参考答案
一．选择题：
A卷：DACBD CDCCB AA
B卷：DACBD ADCCB AC
二．填空题：
（13）(2，)或(－2，－) （14）0 （15） （16）(，e)
三．解答题：
17．解：
（1）通过茎叶图可以看出，A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中，B选手所得分数比较分散． …6分
（2）A选手直接晋级的概率更大．
用CA表示事件“A选手直接晋级”，CB表示事件“B选手直接晋级”．由茎叶图得
P(CA)的估计值为(5＋3)÷20＝＝，
P(CB)的估计值为(5＋2)÷20＝，
所以，A选手直接晋级的概率更大． …12分
18．解：
（1）由S＝bcsinA＝b2tanA得3csinA＝btanA．
因为tanA＝，所以3csinA＝，
又因为0＜A＜π，所以sinA≠0，
因此b＝3ccosA． …4分
（2）由（1）得b＝3ccosA＝3cosA，所以2bccosA＝30cos2A． …6分
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，
所以8＝45cos2A＋5－30cos2A，
解得cos2A＝， …10分
因此sin2A＝，即tan2A＝4．
由（1）得cosA＞0，所以tanA＞0，
故tanA＝2． …12分
A
B
C
E
D
P
O
19．解：
（1）连接AC交BD于O，连接OE．
由题意可知，PE＝EC，AO＝OC，
∴PA∥EO，又PAË平面BED，EOÌ平面BED，
∴PA∥平面BED． …4分
（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC，
又由题意可知CD⊥BC，且PD∩CD＝D，
∴BC⊥平面PCD，则BC⊥DE．
由PE＝EC，PD＝DC，则PC⊥DE，且PC∩BC＝C，
∴DE⊥平面PBC，所以∠DBE即为直线BD与平面PBC所成的角． …8分
设AD＝x，在Rt△DBE中，DE＝，BD＝，则
sin∠DBE＝＝，解得x＝2． …10分
∴四棱锥P−ABCD的体积V＝×PD×S矩形ABCD＝． …12分
20．解：
（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将l的方程代入C得：x2－12kx－48＝0，
所以x1＋x2＝12k，x1x2＝－48，即y1y2＝＝16，
从而•＝x1x2＋y1y2＝－32． …6分
（2）依题意得F(0，3)，设M(x3，y3)，
因为F为△ABM的重心，所以x1＋x2＋x3＝0，y1＋y2＋y3＝9，
从而x3＝－(x1＋x2)＝－12k，
y3＝9－(y1＋y2)
＝9－
＝9－
＝1－12k2． …10分
因为M(x3，y3)在抛物线C上，
所以(－12k)2＝12(1－12k2)，即k2＝．
故k＝或－． …12分
21．解：
（1）由f()＝＝得a＝1． …2分
f'(x)＝xcosx＋(1－b)sinx，
由f'()＝1－b＝0得b＝1．
所以f(x)＝xsinx＋cosx． …4分
（2）令g(x)＝mx2＋1－f(x)＝mx2－xsinx－cosx＋1，
由g(x)≥0得g(2π)＝4π2m≥0，所以m≥0．
显然g(x)为偶函数，所以只需x≥0时，g(x)≥0． …6分
g'(x)＝2mx－xcosx＝x(2m－cosx)，
当m≥时，g'(x)≥0，即g(x)在[0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(0)＝0，
从而m≥时，f(x)≤mx2＋1成立． …8分
当0≤m＜时，因为y＝2m－cosx在(0，)上单调递增，
又x＝0时，y＝2m－1＜0；x＝时，y＝2m≥0，
所以存在x0∈(0，]，使得2m－cosx0＝0，
因此x∈(0，x0)时，2m－cosx＜0，g'(x)＜0，即g(x)在(0，x0)上单调递减，
所以x∈(0，x0)时，g(x)＜g(0)＝0，与g(x)≥0矛盾，
因此0≤m＜时不成立．
综上，满足题设的m的取值范围是m≥． …12分
22．解：
（1）由圆C：ρ＝4cosθ可得ρ2＝4ρcosθ，
因为x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2，
所以x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4．
直线l：（t为参数，0≤α＜π）． …5分
（2）设A，B对应的参数分别为tA，tB，
将直线l的方程代入C并整理，得t2－6t(sinα＋cosα)＋32＝0，
所以tA＋tB＝6(sinα＋cosα)，tA·tB＝32．
又A为MB的中点，所以tB＝2tA，
因此tA＝2(sinα＋cosα)＝4sin(α＋)，tB＝8sin(α＋)， …8分
所以tA·tB＝32sin2(α＋)＝32，即sin2(α＋)＝1．
因为0≤α＜π，所以≤α＋＜，
从而α＋＝，即α＝． …10分
23．解：
（1）f(x)＝ …3分
y＝f(x)的图象如图所示：
x
y
O
1
1
…5分
（2）一方面，由f(x)≤m|x|＋n得f(0)≤n，解得n≥2．
因为f(x)≥|(2x－1)＋(x＋1)|＝3|x|，所以m|x|＋n≥3|x|．（※）
若m≥3，（※）式明显成立；若m＜3，则当|x|＞时，（※）式不成立． …8分
另一方面，由图可知，当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．
故当且仅当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．
因此m＋n的最小值为5． …10分
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