湖北名师联盟2019-2020学年高二上学期第一次月考（9月）精编仿真金卷数学（B卷）试题Word版含解析.doc

2019-2020 学年上学期高二第一次月考精编仿真金卷 数 学（B） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．下列命题正确的是（ ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 C．绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥 D．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 2．下列说法不是线面位置关系的性质定理的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，在四面体中，若直线 和 相交，则它们的交点一定（ ） ,a b a bα α⊥ ⊥ ⇒ ∥ , ,a a b a bα β α β⊂ = ⇒∥ ∥ ,a a b bα α⊥ ⇒ ⊥∥ , , ,a b a b aα β α α β β⊥ ⊂ = ⊥ ⇒ ⊥ EF GH 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A．在直线 上 B．在直线 上 C．在直线 上 D．都不对 4．在正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成的角是（ ） A． B． C． D． 5．过平面 外一点 作 的两条互相垂直的斜线 、 ，它们与面 所成的角分别为 和 ，则 的内角 （ ） A． B． C． D． 6．平面 截球 的球面所得圆的半径为 1，球心 到平面 的距离为 ，则此球的体积为（ ） A． B． C． D． 7．一个几何体的三视图如图，其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ） A． B． C． D． 8．四面体 的棱长 ，其余棱长均为 ，则该四面体外接球半径为（ ） A． B． C． D． 9．在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 是 中点，则平面 分该四棱锥 的两部分的体积比是（ ） A． B． C． D． 10．在三棱锥 中， 面 ， 且 ，过 作截面 交 于 ，则截面 的最小面积为（ ） DB AB CB 1 1 1ABC A B C− 12AB BB= 1C B 1AB 60° 75° 90° 105° α A α AB AC α 15° 75° ABC△ B = 75° 15° 30° 60° α O O α 2 6π 4 3π 4 6π 6 3π (4 π) 3 3 + (8 6 π) 3+ ( )8 π 3 3 + (4 π) 3+ ABCD 6AB CD= = 34 6 5 12 5 13 2 13 P ABCD− ABCD E PC ABE 2:3 2:5 3:5 3:8 P ABC− PA ⊥ ABC AB AC⊥ 1, 2, 3AC AB PA= = = AB PC D ABDA． B． C． D． 11．在正方体 中，点 在侧面 及其边界上运动，并且保持 ， 则动点 的轨迹为（ ） A．线段 B．线段 C． 的中点与 的中点连成的线段 D． 的中点与 的中点连成的线段 12 ． 已 知 空 间 四 边 形 中 ， 和 都 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 ， ，若空间四边形的四个顶点都在半径为 的一个球的表面上， 则三棱锥 的体积为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知 的斜二测直观图如图所示，则 的面积为__________． 14．一个几何体的三视图如图，则它的体积为_______． 10 10 3 5 5 3 10 10 5 5 1 1 1 1ABCD A B C D− P 1 1BCC B 1AP BD⊥ P 1B C 1BC 1BB 1CC BC 1 1B C ABCD DAC△ BAC△ π 2ABC ADC∠ = ∠ = 2 2BD = 2 2 D ABC− 8 6 3 16 6 3 8 2 3 16 2 3 ABC△ ABC△15．已知二面角 为 ， 为二面角内一点， ， ，垂足分别为 和 且 ，则 到棱 的距离为________． 16．在三棱锥 中， ，点 到三个侧面的距离均等于 ，则 _______． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（10 分）如图，在三棱柱 中，侧棱 垂直于底面 ， ， ， ，点 是 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求证： ． 18 ．（ 12 分 ） 在 四 棱 锥 中 ， 面 ， ， ， lα β− − 60° P PA α⊥ PB β⊥ A B 3PA PB= = P l A BCD− 45BAC BAD CAD∠ = ∠ = ∠ = ° P 6 3− PA = 1 1 1ABC A B C− 1A A ABC 3AC = 4BC = 5AB = D AB 1AC ∥ 1CDB 1AC BC⊥ P ABCD− PA ⊥ ABCD 90BAD∠ = ° AB CD∥， 是 中点． （1）求证： 面 ； （2）求证： 面 ． 19．（12 分）如图，在三棱锥 中， ， 与底面 成 角， 的面 积 1． （1）若 ，求证： 在底面 的射影 是 的垂心； （2）当二面角 为多少时， 的面积最大？ 2PA AD AB= = E PC BE∥ PAD BE ⊥ PCD P ABC− PB AC⊥ PB ABC 30° PAC△ PC AB⊥ P ABC H ABC△ P AC B− − ABC△20．（12 分）如图，三棱锥 中， 底面 ， ， ， 为 的中点，点 在 上，且 ． （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的体积． P ABC− PB ⊥ ABC 90BCA∠ = ° 2PB BC CA= = = E PC F PA 2PF FA= BE ⊥ PAC P BEF−21．（12 分）现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 ， 下部的形状是正四棱柱 （如图所示），并要求正四棱柱的高 是正四棱锥的高 的 4 倍． 1 1 1 1P A B C D− 1 1 1 1ABCD A B C D− 1O O 1PO（1）若 ， ，则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱锥的侧棱长为 ，当 为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多 少？ 22 ．（ 12 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 为 菱 形 ， 面 ， ， ． 6 mAB = 1 2 mPO = 6 m 1PO P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 2PA AB= = 60BAD∠ = °（1）求证：面 面 ； （2）求 与 所成角的余弦值； （3）求二面角 的余弦值． PBD ⊥ PAC AC PB D PC B− −2019-2020 学年上学期高二第一次月考精编仿真金 卷 数 学（B）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．【答案】B 【解析】对于 A 选项，几何体可以是棱台，满足有两个面平行，其余各面都是四边形，故 A 不正确； 对于 B，根据棱柱的概念可知是正确的； 对于 C，当绕直角三角形的斜边旋转时构成的几何体不是圆锥，故不正确； 对于 D，用平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故不正 确． 故选 B． 2．【答案】D 【解析】A． ，直线和平面垂直的性质定理； B． ，直线与平面平行的性质定理； C． ，直线与平面垂直的判定定理； D ，利用面面垂直判定线面垂直的性质定理， 故选 D． 3．【答案】A 【解析】依题意有：由于交点在 上，故在平面 上， 同理由于交点在 上，故在平面 上， 故交点在这两个平面的交线 上． 4．【答案】C 【解析】不妨设 ，如图， ,a b a bα α⊥ ⊥ ⇒ ∥ , ,a a b a bα β α β⊂ = ⇒∥ ∥ ,a a b bα α⊥ ⇒ ⊥∥ , , ,a b a b aα β α α β β⊥ ⊂ = ⊥ ⇒ ⊥ EF ABD GH CBD BD 2AB =取 中点 ，连接 ， ∵矩形 中， ， ∴ ，可得 ，∴ ， ∵ 正 三 棱 锥 中 ， 平 面 平 面 ， 平 面 平 面 ， ， ∴直线 平面 ，可得 ， ∵ ，∴ 平面 ， 因此可得 ，即异面直线 与 所成的角是 ，故选 C． 5．【答案】B 【解析】如图， 由题意可知， ，且 ， ， ． ∵ ，∴ ，故选 B． 6．【答案】B 1 1A B D 1,BD C D 1 1AA B B 1 1 2tan tan 2B BD B AB∠ = ∠ = 1 1 90B BD B AB ABD∠ = ∠ = °− ∠ 1 90B AB ABD∠ + ∠ = ° 1AB BD⊥ 1 1 1ABC A B C− 1 1 1A B C ⊥ 1 1AA B B 1 1 1A B C  1 1 1 1BAA B A B= 1 1 1A B DC⊥ 1DC ⊥ 1 1AA B B 1 1AB DC⊥ 1DC BD D= 1AB ⊥ 1BC D 1 1AB C B⊥ 1C B 1AB 90° , ,AH HC AH HB AB AC⊥ ⊥ ⊥ 15ABH∠ = ° 75ACH∠ = ° sin75tan tan15 sin15 AH ACB AHAB °= = = ° ° 0 90B° < < ° 15B = °【解析】因为平面 截球 的球面所得圆的半径为 1，球心 到平面 的距离为 ， 所以球的半径为 ．所以球的体积为 ． 7．【答案】B 【解析】由三视图知：几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，且半圆锥的底面半径为 ， 由俯视图知底面是半圆和正方形， 又正方形的边长为 ，∴侧视图等边三角形的边长为 ，∴半圆锥与四棱锥的高都为 ， ∴几何体的体积 ． 8．【答案】C 【解析】如图， 将四面体还原长方体，其棱长分别为 ， 则该四面体外接球半径 ． 9．【答案】C 【解析】如图所示， ， 则平面 分该四棱锥的两部分的体积比是 ，故选 C． 10．【答案】C 【解析】如图所示，∵ ， ， ， α O O α 2 2( 2) 1 3+ = 34π ( 3) 4 3π3 = 1 2 2 3 2 21 1 1 (8 π) 3π 1 3 2 32 3 3 6V += × × × × + × × = 3 2,3 2,4 2 2 2(3 2) (3 2) 4 132r + += = 3 33 3 4 8P ABEF P AEF A PEF A PCD P ABCDV V V V V− − − − −= = = = ABE 3:5 AB AC⊥ AB PA⊥ PA AC A=∴ 平面 ，∴ ，∴ ， 显然当 时 最短，即 的面积最小， ∵ ，∴ 的最小值为 ． 11．【答案】A 【解析】如图，连接 ， ， ， 在正方体 中，有 平面 ． ∵ ，∴ 平面 ． 又点 在侧面 及其边界上运动， ∴点 的轨迹为平面 与平面 的交线段 ． 12．【答案】A 【解析】如图，∵ 和 都为等腰直角三角形，且 ，取 中点 ，则 为空间四边形 的外接球的球心， ∵外接球的半径为 ，∴ ． 则 ， 又 ，∴ 为边长等于 的等边三角形，易得 ． AB ⊥ PAC AB AD⊥ 1 2ABDS AB AD AD= ⋅ =△ AD PC⊥ AD ABD 2 2 10PC PA CA= + = AD 3 3 10 1010 AC PA PC ⋅ = = AC 1AB 1B C 1 1 1 1ABCD A B C D− 1BD ⊥ 1ACB 1AP BD⊥ AP ⊂ 1ACB P 1 1BCC B P 1ACB 1 1BCC B 1B C DAC△ BAC△ π 2ABC ADC∠ = ∠ = AC O O ABCD 2 2 2 2OA OB OC OD= = = = 4AB AD BC BD= = = = 2 2BD = OBD△ 2 2 2 3OBDS =△又因为 ， ，所以 平面 ， 所以 ． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 【解析】 ， ， ，所以原图形中两条直角边分别为 2，2， 因此 的面积为 ． 14．【答案】 【解析】如图所示，该几何体为一个三棱柱和一个长方体的组合体， 它的体积为 ． 15．【答案】 【解析】如图所示，过 作 ，交 于点 ，连接 ， 由三垂线定理及逆定理得： ， ，∴ ， ， 四点共面， ∴ ，∴ ，∴ 到棱 的距离为 ． OD AC⊥ OB AC⊥ AC ⊥ OBD 1 1 8 62 3 4 2) 3(3 3D ABC A ODB C ODB ODBV V V S OA OC− − −= + = × = × × =× +△ 2 1OA = 2OB = 45AOB∠ = ° ABC△ 1 2 2 22S = × × = 36 1 2 2 6 2 2 6 362V = × × × + × × = 6 A AC l⊥ l C ,BC PC BC l⊥ PC l⊥ 60ACB∠ = ° 90PAC PBC∠ = ∠ = ° , , ,P C B A 30PCA PCB∠ = ∠ = ° 2 6PC PA= = P l 616．【答案】 【解析】分别在 上取点 ，使得 ， 且三棱锥 外切于半径为 的球 ， ． 三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 17．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）设 与 的交点为 ，连接 ， ∵ 是 的中点， 是 的中点，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ． （2）三棱柱 ，底面三边长 ， ， ， ， ， 又侧棱垂直于底面，即 平面 ，∴ ，∴ 平面 ， 又 平面 ，∴ ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）如图，取 中点 ，连接 ， ， 3 , ,AB AC AD , ,M N R AM AN AR a= = = A MNR− 6 3− P 1CB 1C B E DE D AB E 1BC 1DE AC∥ DE ⊂ 1CDB 1AC ⊄ 1CDB 1AC ∥ 1CDB 1 1 1ABC A B C− 3AC = 4BC = 5AB = 2 2 2AC BC AB∴ + = AC BC∴ ⊥ 1CC ⊥ ABC 1AC CC⊥ AC ⊥ 1 1BCC B 1BC ⊂ 1BCC 1AC BC⊥ PD F EF AF则 ． （2）由题意知： ， ． 19．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）证明：由题意知： ， 同理： ，所以 为 的垂心． （2）如图，过 作 于 ，连接 ， 由（1）知： 即为二面角 的平面角，记 ， 在 中， ， ， 当且仅当 时等号成立． 60θ = ° AB CH⊥ H ABC△ B BD AC⊥ D PD PDB∠ P AC B− − PDB θ∠ = PBD△ 30PBD∠ = ° ( ) 1 sin2 2sin 30 21 sin 2 ABC PAC AC BDS BD BPD S PD PBDAC PD θ × × ∠= = = = + ° ≤∠× × △ △ 60θ = °20．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）∵ 底面 ，且 底面 ， ∴ ，由 ，可得 ， 又∵ ，∴ 平面 ， 平面 ，∴ ， ∵ ， 为 中点，∴ ， ∵ ，∴ 平面 ． （2）三棱锥 的体积： ． 21．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由 ，得 ， 则 ， ， 从而仓库的容积 ， 故仓库的容积为 ． （2）设 ，下部分的侧面积为 ， 可得 ， ， ， 则 ， 设 ， 当 ，即 时， ，则 ， 故当 为 时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是 ． 22．【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ． 2 9 PB ⊥ ABC AC ⊂ ABC AC PB⊥ 90BCA∠ = ° AC CB⊥ PB CB B= AC ⊥ PBC BE ⊂ PBC AC BE⊥ PB BC= E PC BE PC⊥ PC AC C= BE ⊥ PAC P BEF− 1 1 1 1 2 3 3 2 3 9P BEF B PEF PEFV V S BE PE AC BE− −= = ⋅ = × × × =△ 3312 m 2288 2 m 1 2 mPO = 1 8 mOO = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 6 2 24(m )3 3P A B C D A B C DV S PO− = ⋅ = × × = 1 1 1 1 2 3 1 6 8 288(m )ABCD A B C D ABCDV S OO− = ⋅ = × = 1 1 1 1 1 1 1 1 3312(m )P A B C D ABCD A B C DV V V− −= + = 3312 m 1 mPO x= ( )S x 1 4 mOO x= 2 1 1 36AO x= − 2 1 1 2 36A B x= ⋅ − 2 2 2 1 1 1( ) 4 16 2 36 16 2 (36 )(0 6)S x A B OO x x x x x= ⋅ = − = ⋅ − < < 2 2 4 2 2 2( ) (36 ) 36 ( 18) 324f x x x x x x= − = − + = − − + 2 18x = 3 2x = max( ) 324f x = max( ) 288 2S x = 1PO 3 2 m 2288 2 m 6 4 1 7 −【解析】（1）证明： ， 又 ． （2）如图，过 作直线 的平行线交 的延长线于点 ， 则 （或补角）就是 与 所成角， 在 中， ， ， 由余弦定理得 ， ∴ 与 所成角为 ． （3）过 作 ，垂足为 ，连接 ，由（1）知： ， 所以 ， 则 即为所求， ． B AC DA E PBE∠ AC PB PBE△ 2 22 2 2 2PB PE= = + = 2 2cos30 2 3BE AC= = × ° = 12 8 8 6cos 42 2 2 2 3 PBE + −∠ = = × × AC PB 6 4 B BF PC⊥ F DF BD PC⊥ BFD∠ 7 7 47 14 4cos2 77 72 2 2 BF DF BFD + − ⇒ ∠ = = − × × = =