2019-2020 学年上学期高二第一次月考精编仿真金卷
数 学（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．设集合 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．下列各式错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数 （ 为大于 的常数）在 上的最小值为 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图给出的是计算 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）
{ }0,1,2,3,4,5U = { }1,2A = { }2 2 3 0B x x x= ∈ − − 0.5 0.5log 0.5 log 0.6>
0 0.10.7 0.7< ln1.6 ln1.4>
1)( −+=
x
mxxf m 0 ),1( +∞ 3 m
1 2 3 4
1 1 11 3 5 2019
+ + + +
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A． B． C． D．
5．如图是某个几何体的三视图，根据图中数据（单位： ）求得该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
6．对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 的通项公式为 ，设其前 项和为 ，则使 成立的
正整数 有（ ）
A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值
8．平面向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．某函数的部分图象如图所示，则它的函数解析式可能是（ ）
1010i ≤ 1010i > 1011i ≤ 1011i >
cm
29(94 π)cm4
− 227(94 π)cm4
− 29(94 π)cm2
+ 29(94 π)cm2
−
x ( ) 21 2( 1) 4 0a x a x− − − − < a
( ),3−∞ ( ,3]−∞ ( )3,1− ( 3,1]−
{ }na 2
1log ( )n
na nn +
+= ∈N n nS 5nS >
n
64 64 32 32
a b 60° ( )3,0=a 1=b 2+ =a b
3 19 19 2 3A． B．
C． D．
10． 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ．若 、 、 成等比数列且 ，则
（ ）
A． B． C．
D．
11．若函数 的定义域为 ，且是奇函数，则满足
的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列 的通项公式是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．存在 ，使不等式 成立，则 的取值范围是 ．
14．若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 ．
15．若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为 ．
16．已知在三角形 中，角 ， 都是锐角，且 ，则
的最大值为 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
5 3π( )6 5siny x− += 6 2πsin( )5 5y x= −
6 3πsin( )5 5y x= + 5 3πcos( )6 5y x= − +
ABC△ A B C a b c a b c 2c a=
cos B =
3
4
1
4
2
4
2
3
2( ) sin2 1
x
x
mf x x
−= ++ [ 1,1]− (2 1) (2 1)f x f m− < −
x
[0,1) ( 1,0]− [1,2) ( 2, 1]− −
{ }na 2 2 1sin( π)2n
na n
+= 1 2 3 2018a a a a+ + + + =
2017 2018
2
× 2019 2018
2
× 2017 2017
2
× 2018 2018
2
×
x∈R 1 4x x a− − − ≤ a
x y 2 6x y xy+ + = xy
x y
2 3 0
1 0
1 0
x y
x
y
− + ≤
− ≤
− ≥
z x y= − +
ABC A B 0cos)sin(3)sin( =+++ CCACB Atan骤．
17．（10 分）已知向量 ， ，函数 ．
（1）求函数 的解析式及其单调递增区间；
（2）当 时，求函数 的值域．
18．（12 分）在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，
．
（1）求 的大小；
(1,sin )x=a π(cos(2 ),sin )3x x= +b 1( ) cos22f x x= ⋅ −a b
( )f x
π0, 3x ∈ ( )f x
ABC△ CBA ,, cba ,, AA sin32cos32 2 =
BAC
C sinsin2cos
sin3
2
=
A（2）求 的值．
19 ．（ 12 分 ） 已 知 数 列 中 ， ， ， 数 列 中 ， ， 其 中
．
（1）求证：数列 是等差数列；
（2）若 是数列 的前 项和，求 的值．
c
b
{ }na 1 2a = 1
12n
n
a a+ = − { }nb 1
1n
n
b a
= −
n∈ *N
{ }nb
nS { }nb n
1 2
1 1 1
nS S S
+ + +20．（12 分）已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ，且 为 ， 的等差中项，
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
{ }na n nS 1q > 2 1a + 1a 3a
3 14S =
{ }na
2logn n nb a a= ⋅ { }nb n nT21．（12 分）某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加．现对一批该设备进行调查，
得到这批设备自购入使用之日起，前 年平均每台设备每年的维护费用大致如表：
已知 ．
（1）求表格中 的值；
（2）从这 年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有 年多于 万元的概率；
（3）求 关于 的线性回归方程；并据此预测第几年开始平均每台设备每年的维护费用超过 万
元．
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 的系数公式：
， ．
5
2y =
m
5 1 2
y x 5
y bx a= +
1 1
22 2
1 1
( )( )
( )
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
a y bx= − 22．（12 分）已知函数 在 上是奇函数．( ) 1 2 1x
af x = − + R（1）求 ；
（2）对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）令 ，若关于 的方程 有唯一实数解，求实数 的取值
范围．
a
(0,1]x∈ ( ) 2 1xs f x× ≥ − s
1( ) ( ) 1g x f x
= − x (2 ) ( 1) 0g x mg x− + = m2019-2020 学年上学期高二第一次月考精编仿真金
卷
数 学（A）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ．
2．【答案】C
【解析】根据指数函数与对数函数的单调性可知 C 选项错误．
3．【答案】A
【解析】 ，解得 ．
4．【答案】A
【解析】程序运行过程中，各变量值如下表所示：第一次循环： ， ；
第二次循环： ， ；
第三次循环： ， ；
依此类推，第 次循环： ， ，
此时不满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是： ．
5．【答案】A
【解析】由三视图可以看出，该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球
体． ．故选 A．
6．【答案】D
【解析】当 时， ，所以不等式恒成立；
{ } { }1 3, 0,1,2B x x x= − < < ∈ =Z { }1,2A B =
{ }( ) 0,3,4,5U A B =
( ) 1 1 2 ( 1) 1 2 1 31 1 1
m m mf x x x x mx x x
= + = − + + ≥ − ⋅ + = + =− − − 1m =
0 1S = + 2i =
11 3S = + 3i =
1 11 3 5S = + + 4i =
1010 1 1 11 3 5 2019S + + + += 1011i =
1010i ≤
2 21 1 92 (12 15 20) 4π 3 3 π 3 94 π8 4 4
× + + + × × − × × = −
1a = 4 0− =
1 32n + > 31n > 5nS > n 32
2 2 22 ( 2 ) 4 4 9 6 4 19+ = + = + ⋅ + = + + =a b a b a a b b
sin( )( 0)y A x Aω ϕ= + > 1=A
3π π 5π
4 4 3 12
T = − = 2π 6
5T
ω = =
6 3πsin( ) 15 4
ϕ× + = − 9π 3π 2 π( )10 2 k kϕ+ = + ∈Z 3π 2 π( )5 k kϕ = + ∈Z
6 3π 6 3πsin( 2 π) sin( )5 5 5 5y x k x= + + = +
a b c 2b ac=
2c a= 2 22b a= 2 24c a= 2 2 2 3cos 2 4
a c bB ac
+ −= =
( ) ( )f x f x− = − 1m = 2 1 212 1 2 1
x
x xy
−= = −+ + [ 1,1]−在 上是增函数，故 在 是增函数，
∴ ，∴ ．
12．【答案】B
【解析】
．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】令 ，则 ， 的值域为 ，
所以 的取值范围是 ．
14．【答案】
【解析】由条件利用基本不等式可得 ，令 ，
即 ，可得 ，即得到 ，可解得 或
，
又注意到 ，故解为 ，所以 ，当且仅当 ， 时等号成立．
15．【答案】
【解析】作出 ， 满足约束条件 表示的平面区域，得到如图的区域，
siny x= [ 1,1]− 2 1( ) sin2 1
x
xf x x
−= ++ [ 1,1]−
1 2 1 1x− ≤ − < 0 1x≤ <
2 2 3 2 2 2
1 2 3 2018 1 2 3 4 2017 2018a a a a+ + + + = − + − + + − +
2018(1 2018) 2018 20191 2 3 4 2017 2018 2 2
+ ×= + + + + + + = =
[ 3, )− +∞
( ) 1 4f x x x= − − −
3, 4
( ) 2 5, 4 1
3, 1
x
f x x x
x
≥
= − > >
− ≤
)(xf ]3,3[−
a [ 3, )− +∞
18
2 6 2 2 6xy x y xy= + + ≥ + 2xy t=
0t xy= > 2 2 2 6 0t t− − ≥ ( 3 2)( 2) 0t t− + ≥ 2t ≤ −
3 2t ≥
0t > 3 2t ≥ 18xy ≥ 3x = 6y =
2
x y
2 3 0
1 0
1 0
x y
x
y
− + ≤
− ≤
− ≥其中 ，
设 ，将直线 进行平移，当 经过点 时，目标函数 达到最小值，
∴ ．
16．【答案】
【解析】由 ，可得 ，
， ，
等式两边同时除以 ，可得 ，
在三角形 中，
，
当且仅当 时等号成立，故 的最大值为 ．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17 ．【 答 案 】（ 1 ） ， 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为
；（2） ．
【解析】（1）
1( )1,A −
z x y= − + z x y= − + l A z
211min =+=z
4
3
0cos)sin(3)sin( =+++ CCACB 0cossin3)sin( =++ CBCB
sin cos cos sin 3sin cos 0B C B C B C∴ + + = cos sin 4sin cos 0B C B C∴ + =
CBcoscos BC tan4tan −=
ABC
4
3
tan4tan
1
3
tan41
tan3
tantan1
tantan)tan(tan 2
≤
+
=+=−
+−=+−=
BB
B
B
CB
CBCBA
2
1tan =B Atan 4
3
π 1( ) sin(2 )6 2f x x= − + +
π 2π[ π , π ]( )6 3k k k+ + ∈Z 1 ,02
−
2π 1 1 3 1( ) cos(2 ) sin cos2 cos2 sin 2 cos23 2 2 2 2f x x x x x x x= + + − = − − +，令 ，解得 ，
所以函数的单调递增区间为 ．
（2）因为 ，所以 ，即 ，则 ，
则函数 的值域为 ．
18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】 ， ，
， ，故 ， ．
（2） ，由正弦定理可得 ，
，联立可得 ①，
又 ，即 ②，
联立①②可得 ， ，
， ．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【 解 析 】（ 1 ） 数 列 中 ， ， ， 数 列 中 ， ， 其 中
，∴ ，
∵ ， 常数，
π 1sin(2 )6 2x= − + + π π 32 π 2 π 2 π2 6 2k x k+ ≤ + ≤ + π 2ππ π6 3k x k+ ≤ ≤ +
π 2π[ π , π ]( )6 3k k k+ + ∈Z
π0, 3x ∈
π π 5π26 6 6x≤ + ≤ 1 πsin(2 ) 12 6x≤ + ≤ 1 ( ) 02 f x− ≤ ≤
( )f x 1 ,02
−
π
3
3
2
22 3 cos 3sin2
A A=
22 3 cos 6sin cos2 2 2
A A A∴ =
3 cos 3sin2 2
A A∴ = 3tan 2 3
A∴ = π
2 6
A = π
3A =
2sin3 2sin sincos
C A BC
= Cabc cos23 2 =
2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
222 4cba =+
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − bccba −+= 222
032 22 =−− cbcb (2 3 )( ) 0b c b c∴ − + =
2 3b c∴ = 3
2
b
c
∴ =
2
1
n
n +
{ }na 1 2a = 1
12n
n
a a+ = − { }nb 1
1n
n
b a
= −
n∈ *N 1 1b =
1
1
1 1
11 12 1
n
n
n n
n
ab a a
a
+
+
= = =− −− − 1
1 11 1
n
n n
n n
ab b a a+ − = − = =− −∴数列 是等差数列，首项为 ，公差为 ．
（2） ， ， ，
所以 ．
20．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）∵ 是 ， 的等差中项，∴ ，
∴ ， 化为 ， ，解得 ，
∴ ，∴ ．
（2） ，
∴数列 的前 项和 ，
，
∴ ，
解得 ．
21．【答案】（1） ；（2） ；（3） ，第 年开始平均每台设备每年的
维护费用超过 万元．
【解析】（1）由 ，解得 ．
（2） 年中平均每台设备每年的维护费用不超过 万元的有 年，分别编号为 ， ， ，超
过 万元的有 年，编号为 ， ，
随机抽取两年，基本事件为 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，共 个，而且这些基本事件的出现是等可能的，
用 表示“抽取的 年中平均每台设备每年的维护费用至少有 年多于 万元”，
则 包含的基本事件有 ， ， ， ， ， ， ，共 个，
{ }nb 1 1
1 1nb n n= + − = ( 1)
2n
n nS
+= 1 1 12 1nS n n
= − +
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 2 3 1 1n
n
S S S S n n n
+ + + + = − + − +⋅⋅⋅+ − = + +
2n
na = ( ) 11 2 2n
nT n += − ⋅ +
2 1a + 1a 3a 2 1 32( 1)a a a+ = +
2
1 1( 1) 2 2a q a q+ = + 14)1( 2
1 =++ qqa 22 5 2 0q q− + = 1q > 2q =
1 2a = 2n
na =
2log 2n
n n nb a a n= ⋅ = ⋅
{ }nb n 1 2 31 2 2 2 3 2 2n
nT n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
2 3 12 1 2 2 2 2n
nT n += × + ⋅ + + ⋅
2 3 1 12(1 2 )2 2 2 2 2 21 2
n
n n n
nT n n+ +−− = + + + + − ⋅ = − ⋅−
1( 1) 2 2n
nT n += − ⋅ +
2.5 7
10 0.43 0.71y x= + 10
5
1.1 1.6 2 2.8 25
my
+ + + += = 2.5m =
5 2 3 a b c
2 2 D E
( , )a b ( , )a c ( , )a D ( , )a E ( , )b c ( , )b D ( , )b E
( , )c D ( , )c E ( , )D E 10
A 2 1 2
A ( , )a D ( , )a E ( , )b D ( , )b E ( , )c D ( , )c E ( , )D E 7故 ．
（3） ， ， ， ，
， ，
∴ ， ，
所以回归方程为 ，
由题意有 ，
故第 年开始平均每台设备每年的维护费用超过 万元．
22．【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【解析】（1）因为函数 是奇函数，所以 ，
即 ，所以 ．
（2）∵ ，∴ ， ，故 ，
所以 ， ，∴ ．
（3）因为 ， ，
即 ，所以 （*），
因为关于 的方程 有唯一实数解，所以方程（*）有且只有一个实数根，
令 ，则方程（*）变为 有且只有一个正根，
①方程 有且只有一个根且是正根，
7( ) 10P A =
3x = 2y = 2
9x = 6xy =
5
1
1.1 3.2 6 10 14 34.3i i
i
x y
=
= + + + + =∑ 5
2
1
1 4 9 16 25 55i
i
x
=
= + + + + =∑
1
22
1
34.3 30 0.4355 45
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
− −= = =−−
∑
∑
2 0.43 3 0.71a y bx= − = − × =
0.43 0.71y x= +
4.290.43 0.71 5 9.980.43x x+ > ⇒ > ≈
10 5
2 3s ≥ 1m ≥ 1 5
2m
− +=
( ) 1 2 1x
af x = − + ( ) ( )f x f x− = −
1 (1 )2 1 2 1x x
a a
−− = − −+ + 2a =
2 2 1( ) 1 2 1 2 1
x
x xf x
−= − =+ + (0,1]x∀ ∈ ( ) 0f x > 2 1 2 1( )
x
xs f x
−≥ = +
max(2 1)xs ≥ + (0,1]x∈ 3s ≥
1 2 1( ) ( ) 1 2
x
g x f x
+= = −− (2 ) ( 1) 0 (2 ) ( 1)g x mg x g x mg x− + = ⇒ = +
2 12 1 (2 1)x xm ++ = + 22 2 2 1 0x xm m− + − =
x (2 ) ( 1) 0g x mg x− + =
2 ( 0)xt t= > 2 2 1 0t mt m− + − =
2 2 1 0t mt m− + − =则 ，所以 ，
当 时，方程 的根为 满足题意，
当 时，方程 的根为 不满足题意；
②方程 有一正根一负根，则 ，
即 ，所以 ；
③方程 有一正根一零根，则 ，
所以 ，此时 为唯一正根，满足题意，
综上， 的范围为 或 ．
2 24 4 4 4( 1) 0Δ m m m m= + − = + − = 1 5
2m
− ±=
1 5
2m
− += 2 2 1 0t mt m− + − = t m=
1 5
2m
− −= 2 2 1 0t mt m− + − = t m=
2 2 1 0t mt m− + − =
1 2
0
0
Δ
t t
>
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