湖北省荆门市龙泉中学、宜昌一中2020届高三9月联考数学（理）试题Word版含答案.doc

龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试 理科数学试题 命题学校：宜昌一中 命题人： 审题人：‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合， ，则( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．命题“对任意”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎4．函数在区间上的大致图象为( )‎ ‎5．已知上的单调函数满足，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．电流强度(单位：安)随时间 (单位：秒)变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是(　 　)‎ A．安 B．安 C．安 D．安 ‎7．围棋棋盘共行列，个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即，下列数据最接近的是( ) （）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．如图，四边形是边长为2的正方形，曲线段所在的曲线方程为,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 (　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎9． (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若对任意的，存在实数，使恒成立，则实数的最大值为( )‎ A．9 B．‎10 C．11 D．12 ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.则 ． ‎ ‎14．已知，，，则 ___ _．‎ ‎15．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ． ‎ ‎16．已知函数，对于任意实数，当时，记的最大值为.‎ ‎ ①若，则 ； ‎ ‎②若则的取值范围是 ． ‎ ‎ 三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题12分）‎ 已知 和是方程的两个实根，不等式对任意的恒成立，关于的方程的解集有唯一子集，若或为真，且为假，求实数的取值范围．‎ ‎18． (本小题12分）‎ 已知函数 (其中)，若点是函数图象的一个对称中心．‎ ‎(1)求的解析式，并求的最小正周期；‎ ‎(2) 将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，用 “五点作图法”作出函数在区间上的图象．‎ ‎19．(本小题12分）‎ 自‎2018年9月6日美拟对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战逐步升级，我国某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位：千元)与市场供应量(单位：万件)之间近似满足关系式：，其中均为常数．当关税税率时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．‎ ‎(1)试确定的值；‎ ‎(2)市场需求量(单位：万件)与市场价格近似满足关系式：，当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．‎ ‎20．(本小题12分）‎ 已知抛物线的焦点为，为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点．‎ ‎ (1)若当点的横坐标为，且为等边三角形，求的方程；‎ ‎ (2)对于(1)中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为，交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围．‎ ‎21．(本小题12分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎(1)讨论极值点的个数； ‎ ‎(2)若是的一个极值点，且，证明: .‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，（为参数）．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求．‎ ‎23．（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】‎ 已知函数，．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ 龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试 理科数学试题（参考答案）‎ B C B B C A B A C D D A ‎13． 14． 15． 16． 3； ‎ ‎17．【解析】若真，因为是方程的两个实根，所以,‎ 所以，所以当时，， ……3分 所以由不等式对任意的恒成立，所以或 ……5分 若真，则的解集为空集，， ………………………7分 解得： ………………………8分 因为或为真，且为假，所以与一真一假． ……………………9分 若真假，则有或且， 得 ……………………10分 若假真，则有且， 得 …………………11分 综上知，实数的取值范围是． ……………………12分 ‎18．【解析】(1) ‎ ‎ ………………………1分 因为点是函数图象的一个对称中心，‎ 所以，，所以， .………………………2分 因为，所以，‎ 所以 .………………………4分 最小正周期 ………………………5分 ‎(2)由(1)知，，向左平移个单位得，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 ………………………7分 当时，列表如下： ………………………10分 则函数在区间上的图象如图所示： ………………………12分 ‎19．【解析】（1）由已知得，解得 ‎………………………6分 ‎ (2)当时，，‎ 所以 ，故 ………………………9分 而在上单调递减，‎ 所以当时，有最小值 ‎ 此时，取得最大值， ………………………11分 故，当时，关税税率的最大值为 ………………………12分 ‎20．【解析】(1)由题知，，则，的中点坐标为，‎ ‎ 则，解得，故C的方程为． …………………………4分 ‎ (2)依题可设直线的方程为，，‎ ‎ 则，由消去，得， …………………………5分 因为，所以，‎ ‎ ，， …………………………6分 ‎ 设的坐标为，则，，‎ ‎ 由题知，所以，‎ ‎ 即 ‎， …………………………7分 显然，所以，即证，‎ 由题知为等腰直角三角形，所以，‎ ‎ 即，也即， ‎ ‎ 所以，所以．‎ ‎ 即，， ， …………………………10分 ‎ 又因为，所以，，‎ ‎ 令，，， ‎ ‎ 易知在上是减函数，所以． …………………………12分 ‎21．【解析】（1）的定义域为， ……………………………1分 若，则，所以当时，；当时，，‎ 所以在上递减，在递增 所以为唯一的极小值点，无极大值，故此时有一个极值点．……………2分 若，令，则， ‎ ‎ 当时，，则当时，；当时，‎ ‎；‎ 当时，．‎ 所以分别为的极大值点和极小值点，故此时有2个极值点．…………………3分 当时，, 且恒不为，此时在上单调递增，‎ 无极值点 ……………………………………………4分 当时，，则当时，；当时，；‎ 当时，．‎ 所以分别为的极小值点和极大值点，故此时有2个极值点．…………………5分 ‎ 综上，当时，无极值点；‎ 当时，有1个极值点；‎ 当或时，有2个极值点． …………………6分 ‎(2)证明：若是的一个极值点，由（1）可知 ‎ 又，所以，且， …………………7分 ‎ 则，所以，‎ 令，则，所以 故 …………………‎ ‎10分 又因为，所以，令，得．‎ 当时，，单调递增，当时，，单调递减 所以是唯一的极大值点，也是最大值点，即，‎ 故，即 …………………12分 ‎22．【解析】（1）由，得，‎ 由，得， …………………2分 因为，消去得，所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为． …………………5分 ‎（2）点的直角坐标为，点在直线上，‎ 设直线的参数方程为（为参数），代入，‎ 得， …………………7分 设点对应的参数分别为，则，，‎ 所以 ‎． …………………10分 ‎23．【解析】（1），即，‎ 不等式等价于或或，‎ 解得或， …………………4分 所以的解集为． …………………5分 ‎（2）因为，使得成立，‎ 所以， …………………6分 又，所以，‎ 当，即时，，解得，所以；‎ 当，即时，，解得，所以；‎ 当，即时，‎ 解得或，所以或，‎ 综上，实数的取值范围为． …………………10分