湖北省荆门市龙泉中学、宜昌一中2020届高三9月联考数学（文）试题Word版含答案.doc

龙泉中学、宜昌一中 2020 届高三年级 9 月联合考试 数 学（文科） 试 题 命题学校：宜昌一中 命题人： 审题人： 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第 I 卷选择题（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知 为虚数单位，若复数 ,则 （ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．若 ，则 的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 4．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知 是定义在 上的偶函数，且 在 内单调递减，则（ ） A． B． C． D． 6．已知 ，则 =( ) A． B． C． D． 7. 若函数 的图象关于 轴对称，则实数 的值为（ ） A．2 B． C．4 D． i 2)1(1 iz −+= =|| z 2 5 { } { }1 2 , 1A x x B x x= − < < = > A B = ( )1,1− ( )1,2 ( )1,− +∞ ( )1,+∞ ( ) 2 2 4lnf x x x x= − − ( )f x ( )2,+∞ ( ) ( )1,0 2,− +∞ ( )1,+∞ ( )0,2 ,m n R∈ m n< 1 12 m n−  >   ( )f x R ( )f x [ )0,+∞ 2 3( log 3) (log 2) (0)f f f− < < 3 2(log 2) (0) ( log 3)f f f< < − 3 2(0) (log 2) ( log 3)f f f< < − 3 2(log 2) ( log 3) (0)f f f< − < (0, ),2sin 2 cos2 12 πα α α∈ = + sinα 1 5 5 5 3 3 2 5 5 2( ) sin ln( 1 4 )f x x ax x= ⋅ + + y a 2± 4±8.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数 的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数 的图象大致是（ ） 9. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 约为 ，而可观测宇宙中普通物质的原子 总数 约为 ，则下列各数中与 最接近的是（　 ） （参考数据： ） A． B． C． D． 10.如图，点 为单位圆上—点， ，点 沿单位圆逆时针方向旋转角 到点 ，则 （ ） A. B. C. D. 11.若存在两个正实数 使得等式 成立（其中 是以 为底的 对数），则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 21)( x exxf −= M 3613 N 8010 M N lg3 0.48≈ 3310 5310 7310 9310 A 3 π=∠xOA A α B )2 2,2 2(− sinα = 4 62 +− 4 62 − 4 62 + 4 62 +− ,x y (1 ln ) lnx x x y ay+ = − ln ,lnx y e a 2 1, e  −∞   10, e      2 10, e      1, 3  −∞  12.高斯函数 （ 表示不超过实数 的最大整数），若函数 的 零点为 ，则 =（ ） A． B．-2 C． D． 第 II 卷非选择题（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分） 13.已知函数 ，若 ，则实数 的值是 ． 14.函数 的图象在点 处的切线方程为 ． 15. 的值为________． 16．定义函数 ，若存在常数 ，对于任意 ，存在唯一的 ，使得 ， 则 称 函 数 在 上 的 “ 均 值 ” 为 ， 则 函 数 的“均值”为 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 为必考题，每 个考生都必须作答．第 22、23 题选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17．(本小题满分 12 分） 已知命题 ，命题 关于 的不等式 在 上 恒成立． （1）若 为真命题，求实数 的取值范围； （2）若 为假命题，求实数 的取值范围． 18．(本小题满分 12 分） 已知函数 . （1）求 的值； [ ]( )f x x= [ ]x x ( ) 2x xg x e e−= − − 0x [ ]0( )g f x 1 2ee − − 1 2e e − − 2 2 1 2e e − − [ (0)] 2f f = a |1|)( −+= xexf x (0, (0))f 1 3 sin10 sin80° − ° ( ),y f x x I= ∈ M 1x I∈ 2x I∈ 1 2( ) ( ) 2 f x f x M + = ( )f x I M 2020 2( ) log , 1,2f x x x  = ∈  : 0, ,1 tan3p x x m π ∀ ∈ + ≤   :q x 2 ( 1) 4 0x m x+ − + > R p q∧ m p q∨ m 1( =cos ( 3sin cos )+ 2f x x x x−） π( )3f（2）将函数 的图像向左平移 后得到函数 ，若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 19. (本小题满分 12 分） 已知幂函数 为偶函数，且在区间 上是单调递增函数． (1)求函数 的解析式； (2)设函数 ，其中 .若函数 仅在 处 有极值，求 的取值范围 ． 20. (本小题满分 12 分） 已知抛物线 经过点 ,过点 的直线 与抛物线 有两个不同的交点 ,且直线 交 轴于 ,直线 交 轴于 . (1)求直线 的斜率的取值范围； (2)设 为坐标原点, ,求证: 为定值. 21.(本小题满分 12 分） 已知函数 . (1)证明: 在区间 上存在唯一零点； (2)令 ，若 时 有最大值，求实数 的取值范围. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题计分. 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程： 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，其中 为 的倾斜角， 且其中 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐 ( )y f x= 6 π ( )y g x= π[0, ]2x∈ ( ) 2c g x c< < + c 2 2 3( ) ( )m mf x x m Z− + += ∈ (0, )+∞ ( )f x 3 21 9( ) ( ) ( )4 2g x f x ax x b x R= + + − ∈ ,a b R∈ ( )g x 0x = a 2: 2C y px= (1,2)P (0,1)Q l C ,A B PA y M PB y N l O ,QM QO QN QOλ µ= =    1 1 λ µ+ xxxxxxgxxxxf sincos3sin3)(,sincos2)( 2++−=+= )(xf )0,( π− )0>)(()()( axgxafxh −= ),( ππ−∈x )(xh a xoy l 2 cos sin x t y t α α = − +  = t α l 0, 2 πα  ∈   x 1C标方程 ，曲线 的极坐标方程 . (1)求 的直角坐标方程； (2)已知点 ， 与 交于点 ，与 交于 两点，且 ，求 的 普通方程. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 ： 已知 为正数,且 ,证明: (1) ； (2) . )(2 R∈= ρπθ 2C 82cos2 =θρ 1C、 2C ( 2,0)P − l 1C Q 2C ,A B 2|||||| PQPBPA =⋅ l cba ,, 2=++ cba 4 3≤++ acbcab 8222 ≥−⋅−⋅− a c c b b a龙泉中学、宜昌一中 2020 届高三年级 9 月联合考试 文 科 数 学 试 题答案 命题学校：宜昌一中 命题人： 审题人 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C A B B C D C A B 13. 14. 15. 4 16. 1010 12．解：因为 ，所以 在 上恒成立， 即函数 在 上单调递增；又 ， 所以 在 上必然存在零点，即 ，因此 ，所以 .故选 B 17.解：若 真，不等式 对 恒成立，又 在 上为增函数，所以 ， 即： 若 真， ，解得 ……………………………4 分 （1） 由 为真，则 均为真命题，…………………5 分 即 ，所以 …………………8 分 （2） 由 为真，则 均为假命题，…………………9 分 即 ，所以 …………………………12 分. 18.解：（1） ，4 分 所以 . ………………………………………5 分 （2） ，……………………6 分 ，……………….8 分 P 1 tan x m+ ≤ 0, 3x π ∀ ∈   1 tany x= + 0, 3 π     ( )max1 tan 1 3x+ = + 1 3m ≥ + q ( )21 16 0m∆ = − − < 3 5m− < < p q∧ ,p q p q∨ ,p q 2 2 0y − = R R ( )g x (0,1) 0 (0,1)x ∈ 1 3 3 5 m m  ≥ +− < ∴ ∴− < < − < − c 1( 1, )2 − − ( )f x ( )0,+∞ 2 2 3 0m m∴− + + > 2 2 3 0m m− − < 1 3m∴− < < m Z∈ 0,1,2m = 0,2m = 3( )f x x= 1m = 4( )f x x= 4( )f x x∴ = 4 3 21 9( ) 4 2g x x ax x b= + + − 2( ) ( 3 9)g x x x ax′ = + + 0x = 2 3 9 0x ax+ + = ( )g x 0x = 2 3 9 0x ax+ + ≥ 29 36 0a∆ = − ≤ [ ]2,2a∈ − (0)g b= − [ ]2,2a∈ − 2 2y px= (1,2)P 2p = 2 4y x= l l 1( 0)y kx k= + ≠ 2 4 1 y x y kx  =  = + 2 2 (2 4) 1 0k x k x+ − + = 2 2(2 4) 4 0k k= − − > 0k < 0 1k< < ,PA PB y l (1, 2)− 3k ≠ − l ( ) ( )( , 3) 3,0 0,1−∞ − −  1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 22 2 2 4 1,kx x x xk k −+ = − = 1 1 22 ( 1)1 yy xx −− = −− 0x = M 1 1 1 1 2 12 21 1M y kxy x x − + − += + = +− −同理得点 的纵坐标为 ………………………8 分 由 ，得 , ………………9 分 所 以 = + = = .所以 为定值 2……………………………12 分. 21.解：（1） 易知 在 上恒成立，则 在 单调递减，………2 分. 所以 ，则 在 单调递增， 又 则 在 必存在唯一零点……………5 分. （2） ， ，…………………………………………7 分. ，则 ， 由（1）知，则 在 单调递增，又 ，即 在 上有唯一零点 ……………………………………8 分 当 时，由 得 ，所以 在 单调递增，在 单调递减， 此时 存在最大值 ，满足题意； 当 时，由 有两个不同零点 及 ，所以 在 单调递减，在 单调递增，此时 有极大值 ， 由 有 最 大 值 ， 可 得 ， 解 得 ， 即 ；…………………………………………………11 分 综上所述，当 时， 在 有最大值。…………………………12 分 22.解：(1)曲线 的直角坐标方程为 ， 方程 可化为 ， N 2 2 1 21N kxy x − += +− ,QM QO QN QOλ µ= =    1 Myλ = − 1 Nyµ = − 1 1 λ µ+ 1 1 My− 1 1 Ny− 1 2 1 2 1 1 ( 1) ( 1) x x k x k x − −+ =− − 1 2 1 2 1 2 2 ( )1 1 x x x x k x x − +⋅− 2 2 2 2 2 4 1 211 k k k k k −+ ⋅ =− 1 1 λ µ+ ( ) sin cos , ( ) sin ,f x x x x f x x x′ ′′= − + = − ( ) 0f x′′ < ( ),0π− ( )f x′ ( ),0π− ( ) (0) 0f x f′ ′> = ( )f x ( ),0π− ( ) 2 0, (0 =2 0,f fπ− = − < >） ( )f x ( ),0π− 2( ) ( ) ( ) (2cos sin ) 3sin 3 cos sinh x af x g x a x x x x x x x x= − = + + − − ( ) ( )(sin cos )h x x a x x x′∴ = − − ( ) sin cosx x x xϕ = − ( ) sin cos ( )x x x x f xϕ ′= − = − ( )xϕ ( ),π π− (0) 0ϕ = ( )xϕ ( ),π π− 0x = 1 α π≥ ( ) 0h x′ = 0x = ( )h x ( ),0π− ( )0,π ( )h x (0) 2h a= 2 0 α π< < ( ) 0h x′ = 0x = ( 0)x a a= > ( )h x ( )0,a ( ) ( ),0 , ,aπ π− ( )h x (0) 2h a= ( )h x (0) 2 ( ) 3 2h a h aπ π= ≥ = − 3 4a π≥ 3 4 a π π≤ < 3 4a π≥ ( )h x ( ),π π− 1C 0x = 2 cos2 8ρ θ = 2 2 2(cos sin ) 8ρ θ θ− =将 代入上式，得 ，……………………………………5 分. （ 2 ） 直 线 的 参 数 方 程 为 （ 其 中 为 参 数 ， 为 的 倾 斜 角 ， 且 ），则点 对应的参数值为 ，即 ， 代入 得 ， 整理得 . 设 对应的参数分别为 ， 则 ， ，解得 ，……………… ……8 分 又因为 ，由题意 ， 所以 即 ， 解得 ，故 的普通方程为 ……………………………………………10 分 23.解：（1）将 平方得： ， 由基本不等式知： 三式相加得： 则 ， 所以 ，当且仅当 时等号成立………………….…..5 分 （2）由 ，同理 则 即 当且仅当 时等号成立。……………10 分. cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 8x y− = l 2 cos , sin x t y t α α = − +  = t α l 0, 2 πα  ∈   Q 2 cost α= 2 cosPQ α= 2 2 8x y− = ( ) ( )2 22 cos sin 8t tα α− + − = ( )2 2 2cos sin 4 cos 4 0t tα α α− − − = ,A B 1 2,t t 1 2 1 22 2 2 2 4cos 4,cos sin cos sint t t t α α α α α −+ = =− − ( )2 2 216cos 16 cos sin 0α α α= + − > tan 2α < 2PA PB PQ= 1 2PA PB t t= − 2 2 2 4 4 cos sin cosα α α −− =− 2 2 2 1 1 cos sin cosα α α=− tan 0α = l 0y = 2a b c+ + = 2 2 2 2 2 2 4a b c ab bc ac+ + + + + = 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2 ,a b ab b c bc a c ac+ ≥ + ≥ + ≥ 2 2 2 ,a b c ab bc ac+ + ≥ + + 2 2 24 2 2 2 3 3 3a b c ab bc ac ab bc ac= + + + + + ≥ + + 4 3ab bc ac+ + ≤ 2 3a b c= = = 2 2a b c bc b b b − += ≥ 2 2 2 2, ,b a c ac c b a ba c c c a a a − + − += ≥ = ≥ 2 2 2 2 2 2 8,a b c bc ac ba b c a b c a − − − ≥ =    2 2 2 8,a b c b c a − − − ≥  2 3a b c= = =