湖南省长沙市明德中学2020届高三上学期第三次阶段检测（9月月考）数学（理）试题扫描版含答案.doc

参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A B C C A D D B A D 二、填空题 13. 14. 210 15. 16. 三、解答题 17.（1） （2）由余弦定理得： ， 所以 ，所以 18. 解答： (1)Sn=2an−2， 当 n=1 时,得 a1=2， 当 n⩾2 时,Sn−1=2an−1−2， 3 ),2 1[]3-- +∞∞ ，（ )1-,4 9-4 9-2 5- （），（  222 cos2 cAMBAMBMAMBM =∠×−+ 222 cos2 bAMBAMCMAMCM =∠×−+ 42 === aCMBM ， 2422 =+ cb 16,cos2 22222 =−+∴=×−+ bccbaAbccb 8=bc 32sin2 1 ==∆ AbcS ABC作差得 an=2an−1，(n⩾2) 所以数列{an}是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列，所以 an=2n. 设等差数列{bn}的公差为 d， 由 a3=b4−2b1，b6=a4， 所以 8=3d−b1，16=5d+b1， 所以 3=d，b1=1， 所以 bn=3n−2. (2)T2n=( )+( )+…+( )=3(b1+b2)+3(b3+b4)+…+3(b2n−1+b2n)， =3(b1+b2+…+b2n)，又因为 bn=3n−2， 所以 T2n=3× 。 19.解（1）证明：因为四边形 ABCD 为直角梯形，且 AB∥DC，AB=AD=2，∠ADC= ， 所以 BD=2 ，又因为 CD=4，∠BDC= ，根据余弦定理得 BC=2 所以 CD2=BC2+BD2，故 BC⊥BD． 又因为 BC⊥PD，PD BD=D， 所以 BC⊥平面 PBD，又因为 BC⊂平面 PBC， 所以平面 PBC⊥平面 PBD． （2） 由（1）得 BC⊥平面 PBD，又 BC⊂平面 ABCD，∴平面 ABCD⊥平面 PBD， 设 E 为 BD 的中点，连结 PE，因为 PB=PD= ，BD=2 ， 所以 PE⊥BD，PE=2，又平面 ABCD⊥平面 PBD，平面 ABCD 平面 PBD=BD， ∴PE⊥平面 ABCD． 如图，以 A 为原点分别以 AD，AB 和垂直平面 ABCD 的方向为坐标轴，建立空间直角坐标系 A-xyz，则 A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，2）， 假设存在 M（a，b，c）满足要求，设 （0≤λ≤1），即 =λ，所以 M（2-λ，4-3λ，2λ），∴ =（0，2，0）， ＝(2−λ，4−3λ，2λ)， 由（1）知平面 PBD 的一个法向量为 =（2，2，0）． 设 =（x，y，z）为平面 ABM 的一个法向量，则 ，即 ，不妨取 ． 2 2 2 1- bb + 2 4 2 3- bb + 2 2 2 12- nn bb +− nnnnbbn n 318]2231[32 )(2 221 −=−×+=+ 2 π 2 4 π 2  6 2  λ= CP CM CPCM λ= AB AM BC n    =⋅ =⋅ 0 0 AMn ABn    =+−+− = 02)34()2( 02 zyx y λλλ ），， 2-02( λλ=n则 cos ，， 因为平面 PBD 与平面 ABM 所成的锐二面角为 ，所以 ，解得 λ＝ ，λ=-2（不合题意舍去）． 故存在 M 点满足条件，且 20. 解答： （1）由题意得， 圆 B 的圆心为 B（-2，0），半径 r= ，|BC|=4， 连接 M，C，由已知得：|MC|=|MA|， ∴|MB|+|MC|=|MB|+|MA|=|BA|= >|BC| 由椭圆的定义知：点 M 的轨迹是以 B，C 为焦点，长轴长为 的椭圆， 即 a= ，c=2，求得 b=2， ∴点 M 的轨迹方程为 ； （2）当直线 EF 不垂直 x 轴时，可设直线 EF 的方程为 y=kx+b， ∵直线 l 与圆 O：x2+y2= 相切， ∴ ，得 3b2=8k2+8， 设 E（x1，y1），F（x2，y2），则 =(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2…（*） 由 得：(1+2k2)x2+4kbx+2b2-8=0， x1+x2＝− ，x1x2＝ ，代入（*）式得 =(1+2k2)× ∴OE⊥OF； 当直线 EF 垂直 x 轴时，验证可知也满足 OE⊥OF， 22 )2(422 4 −+⋅ = ⋅ ⋅>=< λλ λ nBC nBCnBC， 3 π 2 1 )2(422 4 22 = −+⋅ λλ λ 3 2 3 2= CP CM 24 24 24 22 148 22 =+ yx 3 8 3 8 1 2 = + k b 2121 yyxxOFOE +=⋅    += =+ bkxy yx 148 22 221 kb4 k+ 2 2 21 82 k b + − OFOE ⋅ 021 883 21 4 21 82 2 22 2 2 22 2 2 =+ −−=++−+ − k kbbk bk k b综上可知，以 EF 为直径的圆恒过坐标原点． 21. 解答： (1)当 a=1 时,f(x)=x−1−2lnx，f′(x)= ，则函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,在区间 [2,e]上为增函数，又 f(1)=0>f(e)=e−3，则 f(x)max=f(1)=0，f(x)min=f(2)=1−2ln2. (2)∵g′(x)=(1−x)e1−x，则函数 g(x)在区间(0,1]上为增函数,在区间[1，e]上为减函数， 又 g(0)=0