2019 年高三教学测试（2019.9）
数学 试题卷
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密
封线内填写学校、班级、学号、姓名;
2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 6 页，全卷满
分 150 分，考试时间 120 分钟．
参考公式：
如果事件 A，B 互斥，那么
．
如果事件 A，B 相互独立，那么
．
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，
那么 次独立重复试验中事件 恰好发
生 次
的概率
．
柱体的体积公式
，
其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的
高．
锥体的体积公式
，
其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的
高．
台体的体积公式
，
其中 分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高．
球的表面积公式
，
其中 R 表示球的半径．
球的体积公式
，
其中 R 表示球的半径．
A
)()()( BPAPBAP +=+
)()()( BPAPBAP ⋅=⋅
n A
k
),,2,1,0()1()( nkppCkP knkk
nn =−= −
ShV =
S h
ShV 3
1=
S h
)(3
1
2211 SSSShV ++=
21 , SS
h
24 RS π=
3
3
4 RV π=第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
1．已知集合 （ 是虚数单位）， ，则
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，函数 （ ）的图象为折线 ，则不等式 的解集为
A． B．
C． D．
4．已知 满足条件 ，则 的最大值为
A．2 B．3
C．4 D．5
5．袋中有形状、大小都相同且编号分别为 1，2，3，4，5 的 5 个球，其中 1 个白球，2 个红
球，2 个黄球．从中一次随机取出 2 个球，则这 2 个球颜色不同的概率为
A． B．
C． D．
6．已知向量 与 不共线，且 ，若 ，则向量 与 的夹角为
A． B．
C． D．0
7．如图，已知抛物线 和圆 ，直线 经过 的焦点 ，自上而
下依次交 和 于 A，B，C，D 四点，则 的值为
}i,i,i,i{ 432=A i }1,1{ −=B =BA
}1{ − }1{ }1,1{ − ∅
ba 22 = ba lnln =
)(xf ]2,1(−∈x ACB )1(log)( 2 +≥ xxf
}01|{ ≤+ βα
βα < 22 βα >
BCDA − E AD P CE
｜｜｜｜ DPBP +
3
61+
3
61+
2
31+
2
31+
R, ∈ba x 1|1| 23 ≤+++ bxaxx ]2,0[∈x b
a
]2,42
3[ 3 −− ]4
3,2[ −−
]4
3,42
3[ 3 −− ]2,2
5[ −−
2cm
3cm
}{ na 2− nS n
12 +a 15 +a 17 +a =1a =n
nS
xxxf 2sin)2cos1()( += R∈x )(xf
]4,0[
π∈x )(xf
6
3
6 )1(
x
x + x
ABC 5=AB 52=AC BC 4=AD D BC H
4
4 3
（第 11 题图）
正视图 侧视图
俯视图的垂心且 （ ），则 ▲ ．
16．已知 是椭圆 （ ）和双曲线 （ ）的一个交
点， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 分别为椭圆和双曲线的离心率，若
，则 的最小值为 ▲ ．
17．已知 ，函数 若函数 恰有 2 个不同的零点，则
的取值范围为 ▲ ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分）
18 ．（本 题 满 分 14 分 ） 已 知 分 别 为 △ 三 个 内 角 的 对 边 ， 且 满 足
．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）当 时，求△ 面积的最大值．
19 ．（ 本 题 满 分 15 分 ） 如 图 , 四 棱 锥 中 ， , ，
，△ 是等边三角形， 分别为 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正切值．
ABC ACyABxAH += R, ∈yx =
y
x
P 12
1
2
2
1
2
=+
b
y
a
x 011 >> ba 12
2
2
2
2
2
=−
b
y
a
x 0,0 22 >> ba
21 , FF 21 , ee
321
π=∠ PFF 21 ee ⋅
R∈λ
ba 32
)0,2(A
C
)1,0(B P C PA y
M PB x N ABNM
baxxf x +−= 2e)( ∈ba ,数）．
（Ⅰ）若 ，求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数 有两个不同的零点 ．
（ⅰ）当 时，求实数 的取值范围；
（ⅱ）设 的导函数为 ，求证： ．
0>a )(xf
)(xf 21 , xx
ba = a
)(xf )(xf ′ 0)2( 21 ′ xf )(xf 0>a
−∞→x +∞→)(xf +∞→x +∞→)(xf
∴ )(xf 21 , xx )(xf )2ln2
1- a，（ ∞ )(xf
)2ln2
1 ∞+，（ a ∴ 0)2ln2
1(
微信/支付宝扫码支付