福建省永安市第一中学、漳平市第一中学2020届高三上学期第一次联考试题数学（理）（附答案）.doc

“永安一中”、“漳平一中”两校联考 2019-2020 学年第一学期第一次月考 高三数学（理科）试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.已知集合 ，则 （　　） A. B. C. D. 2.“ ”是“ ”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列说法错误的是（　　） A. “ ”是“ ”的充分不必要条件 B. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ” C. 若 为假命题，则 均为假命题 D. 命题 ，使得 ，则 ，使得 4. 已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 5.函数 的图象大致是( ) 6. 已知 ，则 （　　） A. B. C. D. 7.已知 ,则实数 的大小关系是( 　 ) A. B. C. D. 2{ 1 0}, { 0}xM x x N x x −= − ≤ = ≤ ( )RC M N∩ = (0,1) (0,2] (1,2] [1,2] sin cosα α= cos2 0α = 0x > 0x ≥ 2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ p q∧ ,p q :p x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + < :p x R¬ ∃ ∈ 2 1 0x x+ + ≥ 1cos( ) 3 π θ+ = − sin(2 )2 πθ + = 7 9 7 9 − 4 2 9 4 2 9 − 3( ) 2 xy x x= − ⋅ 4( , ),tan( )2 4 3 π πθ π θ∈ − = − sin( )4 πθ + = 3 5 4 5 4 5 − 3 5 − 1 1 3 2 0 12 , 3 , sin4a b c xdx π− −= = = ∫ , ,a b c a c b> > a b c> > b a c> > c b a> >8.将甲桶中的 升水缓慢注入空桶乙中, 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 .假设过 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过 分钟甲桶中的水只有 升,则 的值为( ) (A)5 (B)8 (C)9 (D)10 9.已知 ，则 的值是（　　） A. B. C. D. 10.已知定义在 R 上的偶函数 满足：当 时 则（ ） A. B. C. D. 11.已知函数 是定义在R上奇函数，且满足 ,当 时 则当 时 的最大值为（ ） A. B. C. D. 12.已知函数 当 时 有解，则 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置． 13.计算 ______________. 14.函数 的图象恒过点 ，且点 在角 的终边 上，则 15.如图,已知正方形ABCD的边长为 平行于 轴,顶点 分别在函数 的图象上,则实数 的值为 . 16.已知函数 ，若 在区间 上没有 零点，则 的取值范围是 . 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． a nty ae= m 4 a 1sin( )6 3 πα + = 2cos(2 )3 πα − 5 9 7 9 − 1 3 − 8 9 − )(xf 0 )()3(9)2(4 2 efeff −>−>− )()2(4)3(9 2 efeff −>> )3(9)2(4)(2 −>−> ffefe ( )y f x= ( 2) ( ) 0f x f x+ + = [ ]2,0x∈ − xxxf 2)( 2 −−= [ ]2018,2020x∈ )(xfy = 8− 1− 1 0 2 1( ) ( 2 ) xf x x x e −= − 1x > ( ) 1 0f x mx m− + + ≤ m 1m ≤ 1m < − 1m ≥ − 1m > − 1 2 1 ( 1 )x x dx− − + =∫ log ( 4) 2( 0 1)ay x a a= + + > ≠且 A A α sin 2α = 2, BC x , ,A B C 1 2 33log , 2log , log ( 1)a a ay x y x y x a= = = > a 2 3( ) cos sin 1( 0, )2 2 xf x x x R ω ω ω= + − > ∈ ( )f x ( ,2 )π π ω17.（12 分） 在 中，角 的对边分别是 ，且满足 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的面积． 18.（12 分） 已知二次函数 满足 ，且在R上的最小值为 （1）求函数 在 处的切线方程； （2）当 时，求函数 的极值.. 19.（12 分） 已知函数 （1）若 ，求函数 的单调递减区间； （2）若把 向右平移 个单位得到函数 ，求 在区间 上的最值． 20.（12 分） 已知函数 其中 . （1）若 在定义域内恒成立，求实数 的取值范围； （2）设 且 在 上为单调函数，求实数 的取值范围. 21.（12 分） 已知函数 . （1）求证：函数 的图像恒在函数 图像的上方； ABC∆ , ,A B C , ,a b c (2 )cos cosa c B b C− = B 3, 2 3b a c= + = ABC∆ 2( )f x ax bx= + ( 1) ( 1)f x f x− = − − ( )f x 0x = [ ]2,1x∈ − ( ) ( ) xg x xf x e= ⋅ 2( ) 1 2 3sin cos 2sin , .f x x x x x R= + − ∈ [0, ]x π∈ ( )f x ( )f x 6 π ( )g x ( )g x [ ,0]2 π− ( ) ln( )f x x ax= ⋅ 0a > ( )tf x x≤ a ( )( ) sinf xg x a xx = + ( )g x ( ]0,π a 3( ) ( 1)ln , ( ) lnf x x x g x x x e = − = − − ( )y f x= ( )y g x=（2）当 时，令 的两个零点 .求证： . （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分． 22．［选修 4—4：坐标系与参数方程］（10 分） 在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 ．以坐标原点 为极 点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ． 与 交 于 两点． （Ⅰ）求曲线 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 ，求 的值． 23．［选修 4—5：不等式选讲］（10 分） 已知函数 ． （1）解关于 的不等式 ； （2）记 的最小值为 ，已知实数 都是正实数，且 ，求证： ． 漳平一中 2019-2020 学年第一学期第一次月 考 高三数学（理科）答案 一、选择题 0m > ( ) ( ) ( )h x mf x g x= + 1, 2 1 2( )x x x x< 2 1 1x x e e − < − C 5 cos ( sin x y α α α  = = 为参数） O x l cos( ) 24 πρ θ + = l C ,A B C (0, 2)P − PA PB+ ( ) 1 5f x x x= − + − x ( ) 6f x > ( )f x m , ,a b c 1 1 1 2 3 4 m a b c + + = 2 3 9a b c+ + ≥1—5，CACBB，6—10，ABABA，11—12，CD 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17. 解：（1）∵A+B+C=π，即C+B=π-A， ∴sin（C+B）=sin（π-A）=sinA，………………………………………………1 分 将（2a-c）cosB=bcosC利用正弦定理化简得： （2sinA-sinC）cosB=sinBcosC..........................................3 分 ∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，………………………..4 分 在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB= ， 又 0＜B＜π，则B= ...................................................6 分 （2）∵b= ，cosB=cos = ， 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=3 ∵a+c=2 . ∴ac=3……………………………………………………………...9 分 又sinB=sin = ， ∴S= acsinB= ac= ，即△ABC的面积为 ，……………………………….12 分 18.解（1）依题意得：二次函数 且 ，.................3 分 解得 ..............................................4 分 故 切点（0,0）， ................5 分 所求切线方程为： ....................................6 分 （2） .................7 分 .................8 分 令 得 （舍去）......................9 分 在[-2,-1]为增函数，[-1,0]为减函数，[0,1]为减函数......10 分 .......................12 分 19. 解：（1） =1+2 sinxcosx-2sin2x= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ），……2 分 2 π 12 13 − 2 1 2(0, ] [ ,1]3 3 ∪令 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z， 得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，…………………………………………………….4 分 又 ，∴ 可得函数 的单调减区间为[ ， ]．……………………………………..6 分 （2）若把函数f（x）的图像向右平移 个单位， 得到函数 = 的图像，…………..8 分 ∵x∈[- ，0]， ∴2x- ∈[- ，- ]，…………………………………………………………..9 分 ∴ ∈[-2，1]．………………………………………..11 分 故g（x）在区间 上的最小值为-2，最大值为 1．………………….12 分 20.解：（1）依题意 在定义域 上恒成立， 构造 在定义域 上恒成立，..............1 分 只需 .....................................2 分 而 令 得 ...................................3 分 所以 在 为增函数，在 为减函数，.............4 分 ............................5 分 得 ..........................................6 分 （2）由 在 上为单调函数， 而 其中 ..............7 分 在 为减函数， ............8 分 0 x π≤ ≤ 2 6 3x π π≤ ≤在 恒成立......................9 分 得 ........................11 分 故 .......................................12 分 21.（1）证明：构造函数 .................1 分 则 令 得 ............................2 分 时 时 在（0,1）为减函数，在（1， ）为增函数，...................3 分 所以 ，即 ..................4 分 故函数 的图像恒在函数 图像的上方....................5 分 （2）证明：由 有两个零点， 当 时 ....................6 分 则 在 为增函数，且 ，..................7 分 则当 时 为减函数，当 时 ， 为增函数， ................................8 分 又 ......9 分 ...............................10 分 在 和 上各有一个零点 ，.........11 分故 ..........................................12 分 22. （Ⅰ）曲线 C 的参数方程为 （α 为参数），普通方程为 C： x2+y2=1； 直线 l 的极坐标方程为 ρcos（θ+ ）= ，即 ρcosθ-ρsinθ=2， 直线 l 的直角坐标方程：y=x-2． …………………………………………….5 分 （Ⅱ）点 P（0，-2）在 l 上，l 的参数方程为 （t 为参数）， 代入 x2+y2=1 整理得，3t2-10 t+15=0， 由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|= ………………………………………….10 分 23. 解：（1）∵f（x）=|x-1|+|x-5|＞6， ∴ 或 或 ， 解得 x＜0 或 x＞6． 综上所述，不等式 f（x）＞6 的解集为（-∞，0）∪（6，+∞）．……………5 分 （2）由 f（x）=|x-1|+|x-5|≥|x-1-（x-5）|=4（当且仅当（x-1）（x-5）≤0 即 1≤x≤5 时取等 号）． ∴f（x）的最小值为 4，即 m=4，∴ =1， ∴a+2b+3c=（a+2b+3c）（ ）=3+（ + ）+（ + ）+（ + ）≥9． 当且仅当 = ， = ， = 即 a=2b=3c 即 a=3，b= ，c=1 时取等号．………..10 分