*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
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知识点 不共线三点确定二次函数的表达式
1．若抛物线过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)，求此抛物线表示的函数的表达式．
解：(1)设抛物线表示的函数的表达式为__________________________________；
(2)将A，B，C三点的坐标代入得方程组___________________________________；
(3)解方程组得
(4)抛物线表示的函数的表达式为____________．
2．某二次函数的图象经过点A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)，则这个二次函数的表达式是( )
A．y＝－10x2＋x B．y＝－10x2＋19x
C．y＝10x2＋x D．y＝－x2＋10x
3．已知一个二次函数，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝－4；当x＝－2时，y＝5，则这个二次函数的表达式是( )
A．y＝4x2＋3x－5 B．y＝2x2＋x＋5
C．y＝2x2－x＋5 D．y＝2x2＋x－5
4．如图1－3－1，该抛物线表示的二次函数的表达式是( )
图1－3－1
A．y＝x2－x＋2 B．y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2－x＋2 D．y＝－x2＋x＋2
5．2017·百色经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线表示的函数的表达式是________．
6．已知三个点的坐标，是否存在一个二次函数的图象经过这三个点？若存在，请求出这个函数表达式；若不存在，请说明理由．
(1)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，0)；
(2)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，－4)．
7．一条抛物线经过点(1，－2)，(－1，2)，(3，2)．
(1)求这条抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)用配方法把函数表达式化为顶点式，并写出抛物线的顶点坐标．
8．已知某二次函数的图象经过点A(－1，－5)，B(0，－4)和C(1，1)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)判断点D(－2，－1)是否在此抛物线上．
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9．已知抛物线经过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2，则这条抛物线表示的二次函数的表达式为( )
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2＋x＋2
C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
10．如图1－3－2，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交点的坐标是(0，5)，且经过两个长、宽分别为4和2的相同的长方形的顶点，则这条抛物线表示的二次函数的表达式是__________________．
图1－3－2
11．如图1－3－3，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．
(1)求抛物线表示的二次函数的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，求此时抛物线所表示的函数的表达式．
图1－3－3
12．如图1－3－4，已知直线y＝－x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点C(－1，0)．
(1)求点A，B的坐标．
(2)求抛物线表示的二次函数的表达式．
(3)抛物线在x轴上方的部分是否存在一点P，使得△ACP的面积是△ABO面积的2倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由，并求出能使△ACP的面积最大的点P的坐标．
图1－3－4
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13．2018·永州如图1－3－5，抛物线的顶点A的坐标为(1，4)，抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点E(0，3)．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)已知点F(0，－3)，在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG＋FG的值最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．
(3)如图②，连接AB，若P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB，抛物线交于点M，N(点M，N都在对称轴的右侧)，当MN的长度最大时，求△PON的面积．
图1－3－5
教师详解详析
1．(1)y＝ax2＋bx＋c (2)
(3)a＝1 b＝－4 c＝3 (4)y＝x2－4x＋3
2．D 3.A
4．D [解析] 根据题意，设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，因为抛物线过点(－1，0)，(0，2)，(2，0)，所以
解得故抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2.
5．y＝－x2＋x＋3 [解析] 根据题意设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)(x－4)，把C(0，3)代入，得－8a＝3，即a＝－，则抛物线的表达式为y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋x＋3.
6．解：(1)存在．设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组解得
因此二次函数y＝2x2＋x－1的图象经过A，B，C三点．
(2)不存在．理由：设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组解得
因此一次函数y＝3x－1的图象经过A，B，C三点，这说明不存在一个二次函数的图象经过A，B，C三点．
7．解：(1)设抛物线表示的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c.将点(1，－2)，(－1，2)，(3，2)代入，得解得
因此这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝x2－2x－1.
(2)根据抛物线表示的函数的表达式，可知y＝(x－1)2－2，因此抛物线的顶点坐标为(1，－2)．
8．解：(1)设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
∵二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)，(1，1)，
∴解得
∴二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
(2)当x＝－2时，y＝－2，
∴点D不在此抛物线上．
9．C [解析] 抛物线与y轴交于点C，且OC＝2，所以点C的坐标是(0，2)或(0，－2)．当点C的坐标是(0，2)时，图象经过A，B，C三点，可以设函数表达式为y＝a(x－2)(x＋1)，把C(0，2)代入函数表达式，得－2a＝2，a＝－1，则函数表达式为y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2.同理可得当点C的坐标是(0，－2)时，函数表达式为y＝x2－x－2.故这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2＋x＋2或y＝x2－x－2.
10．y＝－x2－x＋5 [解析] 根据题意，得抛物线经过点(0，5)，(－4，2)，(2，4)．设抛物线表示的二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，
则，解得
故抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2－x＋5.
11．解：(1)把点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)代入y＝ax2＋bx＋c，得
解得，
所以抛物线表示的二次函数的表达式为y＝x2－4x＋3.
(2)因为y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2.
(3)由(1)得y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.平移后抛物线的顶点落在x轴上，此时抛物线所表示的函数的表达式为y＝(x－2)2.
12．解：(1)当x＝0时，y＝－×0＋2＝2，则B(0，2)；
当y＝0时，－x＋2＝0，解得x＝4，则A(4，0)．
(2)设抛物线表示的二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－4)，
把B(0，2)代入，得a×1×(－4)＝2，解得a＝－，
所以函数表达式为y＝－(x＋1)(x－4)，即y＝－x2＋x＋2.
(3)不存在．
理由：假设存在点P(t，－t2＋t＋2)(－1＜t＜4)，使得△ACP的面积是△ABO面积的2倍，所以×(4＋1)×(－t2＋t＋2)＝2××2×4，
整理，得5t2－15t＋12＝0，Δ＝(－15)2－4×5×12＜0，所以方程没有实数解，
即抛物线在x轴上方的部分不存在点P，使得△ACP的面积是△ABO面积的2倍．
当P为抛物线的顶点时，△ACP的面积最大．
因为y＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋，
所以此时点P的坐标为(，)．
13．解：(1)设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋4，把点E(0，3)代入，得a(0－1)2＋4＝3，解得a＝－1，∴y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.
(2)存在．如图①，点E关于对称轴直线x＝1的对称点为E′(2，3)，连接E′F，与对称轴直线x＝1交于点G，连接EG，此时EG＋FG的值最小．设过点E′，F的直线的函数表达式为y＝mx＋n，把E′，F两点坐标代入，得解得∴直线E′F的函数表达式为y＝3x－3，把x＝1代入，得y＝0，因此点G的坐标为(1，0)．
(3)连接AN，BN.要使MN的长度最大，即要使△ABN的面积最大，过点N作NK⊥x轴，交直线AB于点H，交x轴于点K.在y＝－x2＋2x＋3中，令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，即B(3，0)，过A(1，4)，B(3，0)两点的直线的函数表达式为y＝－2x＋6.设N(t，－t2＋2t＋3)，则H(t，－2t＋6)，∴NH＝－t2＋4t－3.当NH的长度最大时，△ABN的面积最大．∵NH＝－t2＋4t－3＝－(t－2)2＋1，∴t＝2时，△ABN的面积最大，此时N(2，3)．过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q，∴AQ＝4，OQ＝1，BQ＝BO－OQ＝3－1＝2.设直线PN交x轴于点D，∵PN⊥AB，∴∠BMD＝90°，∴∠ABD＋∠BDN＝90°.∵NK⊥x轴，∴∠DKN＝90°，∴∠DNK＋∠BDN＝90°，∴∠ABD＝∠DNK.在△ABQ和△DNK中，∠AQB＝∠DKN＝90°，∠ABD＝∠DNK，∴△ABQ∽△DNK，∴＝，∴＝，∴DK＝6，∴DO＝DK－OK＝6－2＝4，∴D(－4，0)．设直线PN的函数表达式为y＝kx＋c，把点D(－4，0)，N(2，3)代入，得解得∴直线PN的函数表达式为y＝x＋2，与y轴的交点P的坐标为(0，2)，∴S△PON＝×2×2＝2.
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