第2课时 利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题
知识要点分类练 夯实基础
知识点1 利用二次函数解决与最大值或最小值有关的实际问题
1．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数表达式h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( )
A．1米 B．5米 C．6米 D．7米
2．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt，其图象如图1－5－10所示．若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( )
图1－5－10
A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒
3．若销售一种服装的盈利y(万元)与销售量x(万件)满足函数表达式y＝－2x2＋4x＋5，则盈利的最大值是________．
4．2017·仙桃飞机着陆后滑行的距离s(单位：米)关于滑行的时间t(单位：秒)的函数表达式是s＝60t－t2，则飞机着陆后滑行的最长时间为________秒．
5．教材例题变式某超市销售一种品牌的牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．当售价为每箱36元时，每月可销售60箱．经市场调查发现，这种品牌牛奶的售价每降低1元，每月的销售量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销售量为y箱．
(1)写出y与x之间的函数表达式和自变量x的取值范围；
(2)问超市如何定价，才能使每月销售牛奶获得的利润最大？最大利润是多少元？
6．2017·德州随着新农村的建设和对旧城区的改造，我们的家园越来越美丽．小明家附近的广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池的中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，如图1－5－11，它喷出的抛物线形水柱在与池中心水平距离为1米处达到最高，水柱落地处与池中心的距离为3米．
(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线形水柱满足的函数表达式；
(2)求水柱的最大高度是多少？
图1－5－11
知识点2 利用二次函数解决其他问题
7. 公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形．水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的函数表达式为h＝30t－5t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )
A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s
8. 心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y的值越大，表示学生的接受能力越强．
(1)若用10分钟提出概念，则学生的接受能力y的值是多少？
(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．
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9．2017·临沂足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线．不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝4.5；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m．其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．2017·沈阳某商场购进一批单价为20元/个的日用商品，如果以30元/个的价格出售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，半月内销售量减少20件．当销售单价是________元/件时，该商场才能在半月内获得最大利润．
11．2018·滨州如图1－5－12，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：米)与飞行时间x(单位：秒)之间的函数关系为y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题．
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15米时，飞行的时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球的飞行高度何时最大？最大高度是多少？
图1－5－12
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12．2018·仙桃绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图1－5－13，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价格y1(元)、生产成本y2(元)与产量x(千克)之间的函数关系．
(1)求该产品销售价格y1(元)与产量x(千克)之间的函数表达式；
(2)直接写出生产成本y2(元)与产量x(千克)之间的函数表达式；
(3)当产量为多少时，销售这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？
图1－5－13
教师详解详析
1．C [解析] ∵高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数表达式h＝－5(t－1)2＋6，∴当t＝1时，小球距离地面的高度最大，最大高度为6米．
2．C
3．7万元 [解析] y＝－2x2＋4x＋5＝－2(x2－2x)＋5＝－2[(x－1)2－1]＋5＝－2(x－1)2＋7，则盈利的最大值为7万元．
4．20 [解析] s＝60t－t2＝－(t－20)2＋600，∴当t＝20时，s取得最大值．故答案为20.
5．解：(1)根据题意，得y＝60＋10x，
由36－x≥24，得x≤12，
∴1≤x≤12，且x为整数．
(2)设所获利润为W(元)，
则W＝(36－x－24)(60＋10x)＝－10x2＋60x＋720＝－10(x－3)2＋810，
∴当x＝3时，W取得最大值，最大值为810.
答：超市将牛奶的售价定为每箱33元时，才能使每月销售牛奶获得的利润最大，最大利润是810元．
6．解：(1)答案不唯一，如图所示，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，喷水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线的函数表达式为y＝a(x－1)2＋h，
将(0，2)和(3，0)代入，得
解得
∴抛物线的函数表达式为y＝－(x－1)2＋，
即y＝－x2＋x＋2(0≤x≤3)．
(2)由(1)，得y＝－(x－1)2＋(0≤x≤3)，
∴当x＝1时，y最大＝，
即水柱的最大高度为米．
7．A [解析] 水流回落到地面时的高度h为0，把h＝0代入h＝30t－5t2，得30t－5t2＝
0，解得t1＝0(舍去)，t2＝6.故水流从喷出至回落到地面所需要的时间是6 s．故选A.
8．解：(1)当x＝10时，y＝－0.1×102＋2.6×10＋43＝59.
(2)当x＝8时，y＝－0.1×82＋2.6×8＋43＝57.4，
∴用8分钟来提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；
当x＝15时，y＝－0.1×152＋2.6×15＋43＝59.5，
∴用15分钟提出这一概念，与用10分钟相比，学生的接受能力增强了．
9．B [解析] 由题意，得抛物线的函数表达式为h＝at(t－9)，把(1，8)代入可得a＝－1，∴h＝－t2＋9t＝－(t－4.5)2＋20.25，∴足球距离地面的最大高度为20.25 m，故①错误；∴足球飞行路线的对称轴是直线t＝4.5，故②正确；∵当t＝9时，y＝0，∴足球被踢出9 s时落地，故③正确；∵当t＝1.5时，y＝11.25，故④错误．∴正确的有②③，故选B.
10．35 [解析] 设销售单价为x元/件，销售利润为y元．根据题意，得y＝(x－20)[400－20(x－30)]＝(x－20)·(1000－20x)＝
－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500.∵－20＜0，∴当x＝35时，y有最大值，故答案为35.
11．解：(1)当y＝15时，有－5x2＋20x＝15，化简得x2－4x＋3＝0，因式分解，得(x－1)(x－3)＝0，故x＝1或x＝3，即飞行时间是1秒或者3秒．
(2)飞出和落地的瞬间，小球的高度都为0，
即y＝0，所以0＝－5x2＋20x，
解得x＝0或x＝4，
所以小球从飞出到落地所用时间是4－0＝4(秒)．
(3)当x＝－＝－＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米．
12．解：(1)设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b，
∵图象过点(0，168)与点(180，60)，
∴
解方程组，得
∴y1＝－0.6x＋168(0≤x≤180)．
(2)y2与x之间的函数表达式为
y2＝
(3)设产量为x千克时，销售这种产品获得的利润为W元．
①当0≤x≤50时，
W＝x(－0.6x＋168－70)＝－0.6x2＋98x.
∵该函数图象的对称轴为直线x＝，
∴当0≤x≤50时，W随x的增大而增大，
∴当x＝50时，W的值最大，最大值为3400.
②当50
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