广东省化州市2020届高三上学期高考第一次模拟考试数学（文）试题（附答案）.doc

2020 年高考化州市第一次模拟考试 数学试卷（文科）参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 答案 C C A A A B B A C D B B 【提示】12、【详解】定义在 上的函数 满足：函数 的图象关于直线 对称，可知函数是 偶函数， 是减函数， 当 时， 成立（ 是函数 的导函数），可知函数 在 时是减函数， 时 是减函数； 故 在 上是减函数， 所以 ．即 ，故选：B． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. (13) ＜ (14) ； (15) ； (16)． ； 【提示】16、【详解】△ABC 是边长为 的正三角形，可得外接圆的半径 2r 2，即 r＝1． ∵PA⊥平面 ABC，PA＝h，球心到底面的距离 等于三棱锥的高 PA 的一半即 ， 那么球的半径 R ,解得 h=2,又 由 知 ，得 故点 到平面 的距离为 ． 三、解答题 （17）（本小题满分 12 分） 解：（1）设等差数列 的公差为 ， --------------------------------------1 分 由 可得 R ( )y f x= ( 1)y f x= + 1x = ( )f x ( )xf x ( ,0)x∈ −∞ ( ) ( ) 0f x xf x′+ < ( )f x′ ( )f x ( )y xf x= ( ,0)x∈ −∞ 0x > ( )xf x ( )xf x R 0.6 6 0.76 1 0.7 0 6log ＞ ＞ ＞ ＞ ( ) ( ) ( ) ( )6 6 0.6 0.6 0.7 0.7log 6 log 6 0.7 0.7 6 6f f f> > b a c> > xoeRx ，∈∃ 0 10 +x y x= 31 32 6 5 3 a sin60 = =° d h 2 2 2hr 2 （ ）= + = 2 5 3 4PBCS∆ = P ABC A PBCV V− −= '1 3 1 5 3× ×3 2=3 4 3 4 d× × × ' 6 5d = A PBC 6 5--------------------------------------------3 分 解得 ， -------------------------------------------------5 分 所以 的通项公式为 ---------------------------------------6 分 （2） , -----------------------------------9 分 所以 -------------------------12 分 18．解：（1）根据题意可得 列联表如下： 爱付费用户 不爱付费用户 合计 年轻用户 非年轻用户 合计 ------------------3 分 由表中数据可得 ，---5 分 所以有 的把握认为“爱付费用户”和“年轻用户”有关． --------------------6 分 （2）由分层抽样可知，抽取的 人中有 人为“年轻用户”，记为 ， ， ， ， 人 为“非年轻用户”，记为 ．------------------------------------------------7 分 则从这 人中随机抽取 人的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 个基本事件．---9 分 其中满足抽取的 人均是“年轻用户”的事件有： ， ， ， ， ， ，共 个． -------------------------------------------11 分 所以从中抽取 人恰好都是“年轻用户”的概率为 ．----------------12 分 19．证明：（1）取 的中点 ，连结 ， 因为 为等边三角形， 所以 .-----------------------------------------------------------1 分 又因为 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 ， 2 2× 24 40 64 6 30 36 30 70 100 ( ) ( )( )( )( ) ( )2 2 2 100 24 30 40 6 4.76 3.84130 70 64 36 n ad bcK a b c d a c b d − × × − ×= = ≈ >+ + + + × × × 95% 5 4 1A 2A 3A 4A 1 B 5 2 ( )1 2,A A ( )1 3,A A ( )1 4,A A ( )1,A B ( )2 3,A A ( )2 4,A A ( )2 ,A B ( )3 4,A A ( )3,A B ( )4 ,A B 10 2 ( )1 2,A A ( )1 3,A A ( )1 4,A A ( )2 3,A A ( )2 4,A A ( )3 4,A A 6 2 6 3P 10 5 = = PD O AO PAD∆ AO PD⊥ AO ⊂ PAD PAD ∩ PCD PD= PAD ⊥ PCD所以 平面 .--------------------------2 分 因为 平面 ， 所以 因为底面 为正方形， 所以 .-----------------------------3 分 因为 ， 所以 平面 ，------------------------4 分 又因为 平面 ， 所以平面 平面 .-----------------5 分 （2）由（1）得 平面 ， 所以 到平面 的距离 .---------------------------------6 分 因为底面 为正方形， 所以 .-----------------------------------------------------------7 分 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 .-----------------------------------------------------8 分 所以 ， 两点到平面 的距离相等，均为 . 又 为线段 的中点， 所以 到平面 的距离 .----------------------------------10 分 由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，所以 ，------11 分 所以 .-------------------------12 分 20．解：（1）椭圆 的离心率 ， ，--------------2 分 又点 在椭圆上， ，得 ， ，-----------------4 分 椭圆 的标准方程为 .-----------------------------------------5 分 （2）由题意得，直线 的方程为 ，---------------------------------6 分 由 ，消元可得 ，-------------------7 分 AO ⊥ PCD CD ⊂ PCD AO CD⊥ ABCD CD AD⊥ AO AD A= CD ⊥ PAD CD ⊂ ABCD PAD ⊥ ABCD AO ⊥ PCD A PCD 3d AO= = ABCD / /AB CD AB ⊄ PCD CD ⊂ PCD / /AB PCD A B PCD d Q PB Q PCD 3 2 2 dh = = CD ⊥ PAD PD ⊂ PAD CD PD⊥ 1 1 1 3 32 23 3 2 2 3Q PCD PCDV S h− ∆= × × = × × × × = D 2 2 2 2 a be a −= = 2a b∴ = ( )2, 1− 2 2 2 1 1a b ∴ + = 2a = 2b = ∴ D 2 2 14 2 x y+ = l y kx t= + 2 2 14 2 x y y kx t  + =  = + ( )2 2 22 1 4 2 4 0k x ktx t+ + + − =设 ， ，则 ， ，----------------8 分 ， 由 ，得 ，即 ，-----------------------10 分 又 ， ， . --------------------------------12 分 21．解：（1）由题可得 ， 当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；---------------2 分 当 时，令 得 ；令 ，得 ， ---------------3 分 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．-------------4 分 综上，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单 调递减，在 上单调递增．----------------------------------------5 分 （2） 即 ，即 ，------------6 分 令 ，则 ． 易得 ， -----------------------------------------7 分 令 ，则 ， 所以函数 在 上单调递减， ，--------------------------8 分 ①当 时， ，则 ，所以 ， 所以函数 在 上单调递减，所以 ，满足 ；---9 分 ②当 时， ， ， ， ， 所以存在 ，使得 ， 所以当 时， ；当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，-----------------10 分 又 ，所以 ，所以 不满足 ．-----------------11 分 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2 4 2 1 ktx x k −+ = + 2 1 2 2 2 4 2 1 tx x k −= + 1 2 1 2 OA OB y yk k x x + = + 1 2 1 2 kx t kx t x x + += + = ( )1 2 1 2 2 t x xk x x ++ = 2 2 2 4 2 12 2 1 2 4 kt kk t k t − ++ ⋅ ⋅+ − 2 4 2 k t −= − OA OBk k kλ+ = 2 4 2t λ− =− 2 42t λ= − [ ]2,4λ ∈ [ ]2 0,1t∴ ∈ [ ]1,1t∴ ∈ − ( ) xf x e a′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x R 0a > ( ) 0f x′ < lnx a< ( ) 0f x′ > lnx a> ( )f x ( ),lna−∞ [ )ln ,a +∞ 0a ≤ ( )f x R 0a > ( )f x ( ),lna−∞ [ )ln ,a +∞ ( ) ( )f x g x≤ 2 3x xe ax xe− + ≤ + ( )1 1 0xx e ax− − − ≤ ( ) ( ) ( )1 1 0xt x x e ax x= − − − ≥ ( )max 0t x ≤ ( ) ( )0xt x xe a x′ = − − ≥ ( ) ( )0xh x xe a x= − − ≥ ( ) ( )1 0x x xh x e xe x e= − − = − − 1ae− > ( )0 0h a= − > ( ) ( )1 0a ah a ae a a e− −− = − = − < ( )0 0,x a∈ − ( )0 0h x = ( )00,x x∈ ( ) 0t x′ > ( )0 ,x x a∈ − ( ) 0t x′ < ( )t x [ )00, x ( )0 ,x a− ( )0 0t = ( )0 0t x > 0a < ( )max 0t x ≤综上可得 ，故 的取值范围为 ．-------------------------------12 分 22．解：(1)曲线 的极坐标方程为 ， 将 代入上式可得 直角坐标方程为 ， 即 ，所以曲线 为直线． ------------------------------2 分 又曲线 是圆心为 ,半径为 的圆， 因为圆 与直线 恰有一个公共点， 所以 ， ------------------------------------------------3 分 所以圆 的普通方程为 ，------------------------------------4 分 把 代入上式可得 的极坐标方程为 ， 即 .-----------------------------------------------------------5 分 (2)由题意可设 ， -----------------------6 分 ----------------7 分 ----------------------------------------------------8 分 所以当 时， 的面积最大，且最大值为 .----------10 分 23．解：（1）由 可化为： 或 或 --------------3 分 不等式解集为： --------------------------------------------5 分 （2）因为 ， （3）所以 ， ---------------------------------------------6 分 即 的最小值为 ； -------------------------------------------------7 分 要使不等式 解集非空，需 ---------------8 分 0a ≥ a [ )0,+∞ 2C 3 1sin( ) sin cos 36 2 2 πρ θ ρ θ ρ θ+ = + = sin , cosy xρ θ ρ θ= = 2C 3 1 32 2y x+ = 3 6 0x y+ − = 2C 1C (2,0) | |r 1C 1C | 2 6 || | 22r −= = 1C 2 2 4 0x y x+ − = 2 2 2 , cosx y xρ ρ θ+ = = 1C 2 4 cos 0ρ ρ θ− = 4cosρ θ= ( )2 1 21 ( , ), 0, 0, 4( ), BA πθ ρρ ρθ ρ+ > > 1 2 1 2| | sin 4 2 cos cos2 4 4 4MONS OA OB π πρ ρ θ θ∆  = = = +    ‖ ( )2 1 cos2 sin 24 cos sin cos 4 2 2 θ θθ θ θ + = − = −   2 2 2 cos 2 4 πθ = + +   cos 2 14 πθ + =   AOB∆ 2 2 2+从而 ，解得 或 -----------------------------9 分 所以 的取值范围为 -----------------------------10 分)5()1( ∞+−∞ ，，U