高二数学（理科）试卷
第 1 卷
评卷人 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题
给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1、将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周 ,所得的几何体包括( )
A. 一个圆柱、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱
C.两个圆柱、一个圆台 D.一个圆台、两个圆锥
2、以 , 为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A. B.
C. D.
3、在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( )
A. B. C. D.
4、斜率为 的直线经过 , , 三点,则、 的值是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
5、已知点 关于点 的对称点为 ,则点 到原点的距离是
( )
A. B. C. D.
6、已知圆 上存在两点关于直线 对称,则实
数 的值为( )
A.8 B.-4 C.6 D.无法确定
7、已知直线 的倾斜角为 ,且 ,则直线 的斜率的取值范围是( )A. B. C. D.
8、某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则
该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
9、已知三条不同的直线 , , ,两个不同的平面 , ,有下列四个命题:（ ）
① , , , ,则 ;
② , , , ,则 ;
③ , , , ,则 ;
④ , ,则 .
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10、若点 到直线 的距离为 ,则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
11、在三棱锥 中, , , . 的
中点为 , 的余弦值为 ,若 都在同一球面上,则该球的表面积为
( )
A. B. C. D.
12、若直线 与圆 有两个不同交点,则点 与圆
的位置关系是( )
A.点在圆上 B.点在圆内 C.点在圆外 D.不能确定
评卷人 得分
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、过点 作圆 的弦,其中最短的弦长为__________.
14、 若直线 过点 且与直线 平行,则直线 的方程为
.
15、已知圆 : ,动点 在直线 上,过点 作圆 的一条切线,
切点为 ,则 的最小值是 .
16、如图 为圆 的直径,点 在圆周上(异于 , 点)直线 垂
直于圆所在的平面,点 为线段 的中点,有以下四个命题:
① 平面 ; ② 平面 ;
③ 平面 ;
④平面 平面 ,
其中正确的命题是 .
评卷人 得分 三、解答题（本大题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤）
17、（本小题满分 10 分）在 中,已知点 、 ,且边 的中点
在 轴上,边 的中点 在轴上。
1.求点 的坐标;
2.求直线 的方程。
18、（本小题满分 12 分）如图,在四棱锥 中,底面 是矩形, 底
面 , 是 的中点.已知 , ,
.
求: 1.三角形 的面积;
2.异面直线 与 所成的角的大小.
19、（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中,曲线 与坐标轴的交
点都在圆上.
1.求圆 的方程;
2.若圆 与直线 交于 两点,且 求的值.
20、（本小题满分 12 分）四棱锥 中,底面 为平行四边形, 侧面
面 ,已知 , , ,
.
1.求证: ;
2.求直线 与面 所成角的正弦值.
21、（本小题满分 12 分）已知以点 为圆心的圆与轴交于点 和
点 ,与 轴交于点 和点 ,其中 为原点.
1.求证: 的面积为定值;
2.设直线 与圆 交于点 , ,若 , 求圆 的方程.
22、（本小题满分 12 分）如图,在四面体 中, 平面 , ,
, . 是 的中点, 是 的中点,点 在线段 上,且
.
1.证明: 平面 ;
2.若二面角 的大小为 ,求 的大小.
高二数学（理科）试题参考
答案
一、选择题
1.A 2. B 3. D 4 C 5. D 6. C 7. D 8. A 9. B 10. D 11. A 12. C
二、填空题
13. 14. 15. 2 16. ②④
三、解答题
17. 1. 设点 ,则 解得 故 .
2. 利用中点公式,得点 , ,
由截距式,得直线 的方程为 ,即 .
18. 1.因为 底面 ,所以 ,
又 ,所以 平面 ,
从而 .
因为 , ,
所以三角形 的面积为 .
2.方法一:取 的中点 ,连接 , ,则 ,
从而 (或其补角)是异面直线 与 所成的角.
在 中 , 由 , , 知 是 等 腰 直 角 三 角 形 ,
,
所以 .因此,异面直线 与 所成的角的大小是 .19. 1. 曲 线 与 轴 的 交 点 为 , 与 轴 的 交 点 为 ,
, 故可设 的圆心为 , 则有 , 解得
. 则 圆 的 半 径 为 所 以 圆 的 方 程 为
.
2.设 ,其坐标满足方程组:
消去 ,得到方程
由已知可得,判别式
因此, 从而
①
由于 ,可得
又 所以
②
由①,②得 ,满足 故 .
20. 1.证明:作 ,垂足为 ,连结 ,
由侧面 底面 ,
得 底面
∵ ,∴ ,
又 ,
∴ 为等腰直角三角形, ,∴由三垂线定理,得 .
2.由 1 知 ,依题设 ,故 ,
由 , , ,
又 ,
作 ,垂足为 ,
则 平面 ,
连接 , 为直线 与平面 所成的角的正弦值
.
21. 1.证明:∵圆 过原点 .
∴ ,
设圆 的方程为 ,
令 ,得 , ;
令 ,得 , .
∴ ,即 的面积为定值.
2.∵ ,
∴ 垂直平分线段 .
∵ ,∴ ,
∴直线 的方程为 ,∴ ,解得 或 .
当 时,圆心 的坐标为 , ,
此时圆心 到直线: 的距离 ,圆 与直线
相交于两点.
符合题意,此时,圆的方程为 .
当 时,圆心 的坐标为 , ,
此时 到直线 的距离 ,
圆 与直线 不相交,
∴ 不符合题意,应舍去.
∴圆心 的方程 .
22. 1.证明:如图,取 的中点 ,在线段 上取点 ,
使得 ,连接 , , .
因为 ,所以 ,且 .
因为 , 分别为 , 的中点,所以 是 的中位线,
所以 ,且 .
又点 为 的中点,所以 ,且 .
从而 ,且 ,
所以四边形 为平行四边形,故 .
又 平面 , 平面 ,所以 平面 .2.如图,作 于点 ,作 于点 ,连接 .
因为 平面 , 平面 ,所以 .
又 , ,故 平面 .
又 平面 ,所以 .
又 , ,故 平面 ,所以 .
所以 为二面角 的平面角,即 .
设 ,
在 中, ,
,
,
.
在 中, .
在 中, .
所以 .
从而 .即 .
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