1、将选项中所示的三角形绕直线 旋转一周，可以得到下图所示的几何体的是（ ）
A． B． C
D ．
2、以下命题中真命题的序号是（ ）
①若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；
④当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆．
A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
3、如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为 ,假若点 有一只蚂蚁只能
沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线 的中点 处的食物，那么它爬行的最短路程是（ ）
A．6 B． C．4 D．
4、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
① 与 平行② 与 是异面直线
③ 与 成 角 ④ 与 是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5、己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为 2 的等边三角形，
则该三棱锥的体积为（ ）
l
BM ED CN BE
CN BM 60° DM BNA． B． C． D．
6、某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）
A． B． C． D．
7、如图，正方形 的边长为2， 分别为 的中点，沿 将正
方形折起，使 重合于点 ，构成四面体 ，则四面体 的体积为
（ ）
A． B． C． D．
8、已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ， 则
C．若 ， ， ，则 D． ， ， ，则
2 2
3
2 3
3 2 2 2 3
2 3 5 2 2
ABCD ,E F ,BC CD , ,AE EF FA
, ,B C D O A OEF− A OEF−
1
3
2
3
1
2
5
6
,a b α β，
/ /a α / /b α / /a b / /a b / /a α b β/ / / /α β
/ /a α b α⊄ / /a b / /b α / /α β / /a α b β/ / / /a b9、在正方体 中，直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10、如图所示，平面四边形 中， ， ， ，将其沿对角
线 折成四面体 ，使面 面 ，则下列说法中正确的是（ ）
①平面 平面 ABD；② ；
③平面 平面 ACD.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
11、已知三棱锥 中， 两两垂直，且 ，则三棱锥
外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
12、如图，若长方体 的六个面中存在三个面的面积分别是 2,3,6，则该
长方体中线段 的长是（ ）
A． B． C．28 D．
评卷人 得分 二、填空题（注释）
13、如图所示， 是水平放置的平面图形 的直观图（斜二测画法），若
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AC 1 1ABC D
1
3
2
2
2
1
2
ABCD AB=AD AB AD⊥ BD CD⊥
BD A-BCD ABD ⊥ BCD
ACD ⊥ AB AC⊥
ABC ⊥
P ABC− , ,PA PB PC 1PA PB PC= = =
P ABC−
π 3π 2π 3π
1 1 1 1ABCD A B C D−
1BD
14 2 7 3 2
1 1 1A B C∆ ABC∆， ，则 的面积是________.
14、在正方体 中， 分别为棱 的中点，则异面直线
与 所成的角大小为______．
15、已知四棱锥 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱 平面 ABCD，
若在四棱锥 的内部有一个半径为 R 的球，则 R 的最大值为______
16、如图， 为正方体，下面结论中正确的是_______.（把你认为正确的
结论都填上）
① 平面 ；② 平面 ；
③ 与底面 所成角的正切值是 ；
④过点 与异面直线 AD 与 成 角的直线有 2 条.
评卷人 得分 三、解答题（注释）
17、如图所示，在四边形 中， ， ， ， ，
，将四边形 绕 旋转一周所形成的一个几何体．
1 1 2A B = 1 1O C′ = ABC∆
1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1,AD D D MN
AC
P ABCD− PA ⊥
2.PA = P ABCD−
1 1 1 1ABCD-A B C D
1 1AC ⊥ 1BD 1BD ⊥
1ACB
1BD 1 1BCC B 2
1A 1CB 60°
ABCD 90DAB∠ = ° 120ADC =∠ ° 3 3AB = 2CD =
1AD = ABCD AD（Ⅰ）求这个几何体的表面积；
（Ⅱ）求这个几何体的体积．
18 、 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， ， ， ，
， ， ， 分别为棱 ， 的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）证明：平面 平面 .
19、如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，四边形 为矩形，
为 的中点， 为 的中点.
（1）求证： ；
（2）求证： 平面 .
20、如图，直三棱柱 中，点 是棱 的中点，点 在棱 上，已知
P ABCD− 2 2 3AB CD= = 2PD = 7PC =
/ /CD AB PD BC⊥ E F AB PB
PD ⊥ ABCD
/ /PAD CEF
P ABCD− PAD ⊥ ABCD ABCD M
PC N AB
AB PD⊥
MN ∕ ∕ PAD
1 1 1ABC A B C− D BC F 1CC， ，
（1）若点 在棱 上，且 ，求证：平面 平面 ；
（2）棱 上是否存在一点 ，使得 平面 证明你的结论。
21、如图，矩形 的长是宽的 2 倍，将 沿对角线 翻折，使得平面
平面 ，连接 ．
（Ⅰ）若 ，计算翻折后得到的三棱锥 的体积；
（Ⅱ）若 、 、 、 四点都在表面积为 的球面上，求三棱锥 的表面积．
22、如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，对角线 与 交于点 ，
侧面 是边长为 2 的等边三角形， 为 的中点.
AB AC= 1 3AA = 2BC CF= =
M 1BB 1BM = CAM ⊥ ADF
AB E 1 / /C E ADF
ABCD DAC△ AC DAC ⊥
ABC BD
4BC = A BCD−
A B C D 80π D ABC−
S ABCD− ABCD AC BD F
SBC E SB（1）证明: 平面 ；
（2）若侧面 底面 ，求点 到平面 的距离.
//SD AEC
SBC ⊥ ABCD E ASD参考答案
一、单项选择
1、【答案】B
2、【答案】A
3、【答案】B
4、【答案】B
5、【答案】B
6、【答案】C
7、【答案】A
8、【答案】C
9、【答案】D
10、【答案】D
11、【答案】D
12、【答案】A
二、填空题
13、【答案】2
14、【答案】
15、【答案】
16、【答案】①②④
三、解答题
17、【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
试题分析：延长 ，过 作 交 于 ；过 作 交 于 ；过
作 交 于 ；（Ⅰ）利用旋转体求解圆台圆锥的侧面积以及底面积即可；
（Ⅱ）通过 ，利用公式直接求解即可．
【详解】
延长 ，过 作 交 于 ；过 作 交 于 ；过 作
交 于
（Ⅰ）令 ， ， ， ， ，
在 中， ， ，
60°
2 2−
(27 18 3)π+ 25π
AD C CO AD′ ⊥ AD O′ C CE AB⊥ AB E D
DF CE⊥ CE F
O A DOV V V′ ′= −圆台 圆锥
AD C CO AD′ ⊥ AD O′ C CE AB⊥ AB E D DF CE⊥
CE F
1r O C′= 2r AB= 1h O D′= 2h O A′= 1l CD= 2l CB=
120ADC∠ = 30CDF∴∠ =
Rt CDF∆ 2CD = 1CF∴ = 3DF = 1 1h∴ = 1 2l =
2 2h CF DA∴ = + =又
（Ⅱ）几何体体积：
【点睛】
本题考查旋转体的体积以及表面积的求法，关键是能够熟练应用表面积和体积公式，考查
转化思想以及计算能力．
18、【答案】试题分析：（1）由勾股定理得 ，已知 ，故得证；（2）
由题 ，E 为 AB 中点， ，故 ABCD 为平行四边形， ，由 F 为
PB 中点，EF 为三角形 APB 的中位线，故 ，AP 和 AD 相交于 A，EF 和 CE 相交于
E，故得证。
【详解】
证明：（1）因为 ， ， ，所以 ，由
所以 .
因为 ， ，所以 平面 .
（2）因为 为棱 的中点，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，所以 平面 .
因为 ， 分别为棱 ， 的中点，所以 ，所以 平面 .
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 .
【点睛】
本题考查直线和平面垂直的判定，平面和平面平行的判断，比较基础。
19、【答案】试题分析：（1）由矩形的性质可得 AB⊥AD，利用面面垂直的性质可求 AB⊥
平面 PAD，利用线面垂直的性质可证 AB⊥PD（2）取 PD 的中点 E，连接 AE，ME，利用中位
线的性质可证四边形 ANME 为平行四边形，进而可证 MN∥平面 PAD．
【详解】
证明：（1）因为四边形 为矩形，所以 .
因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ；
（2）取 的中点 ，连接 ， ，
2 3EB AB DF= − = 2 2
2 4l CE EB∴ = + =
( ) 2
1 1 1 2 2 2DO O A O AS S S S rl r r l rπ π π′ ′ ′∴ = + + = + + +表 圆锥 侧 圆台 侧 圆台 下底
( ) ( ) ( )2
3 2 3 3 3 4 3 3 27 18 3π π π π= ⋅ + + ⋅ + = +
( )2 1 1 2 2 1 1
1 1
3 3O A DO hV V V S S S S hS′ ′= − = + + −圆台 圆锥
( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 21 12 3 3 3 3 3 3 3 13 23 5π π π ππ= × ⋅ + ⋅ + − ⋅ =
PD DC⊥ PD BC⊥
/ /CD AB 2AB CD= / /AD CE
/ /AP FE
3CD = 2PD = 7PC = 2 2 2CD PD PC+ = / /CD AB
PD DC⊥
PD BC⊥ DC BC C= PD ⊥ ABCD
E AB 1
2AE AB=
2AB CD= AE CD=
/ /CD AB / /AE CD
AECD / /CE AD / /CE PAD
E F AB PB / /EF PA / /EF PAD
CE EF E= CE ⊂ CEF EF ⊂ CEF / /PAD CEF
ABCD AB AD⊥
PAD ⊥ ABCD
PAD ABCD AD=
AB Ì ABCD AB ⊥ PAD
PD ⊂ PAD AB PD⊥
PD E AE ME在 中， 为 的中点， 为 的中点，
所以 是 的中位线，
所以 ，
在矩形 中， ，
所以 ，
因为 为 中点，所以 ，
所以四边形 ANME 为平行四边形.
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【点睛】
本题考查面面垂直的性质，线面垂直的性质，中位线的性质以及线面平行的判定，考查空
间想象能力和推理论证能力，属于中档题．
20、【答案】（1）见解析；（2）见解析
试题分析：（1）通过证明 ， 进而证明 平面 再证明平面
平面 ；（2）取棱 的中点 ，连接 交 于 ，结合三角形重心的
性质证明 ，从而证明 平面 .
【详解】
（1）在直三棱柱 中，由于 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ．（或者得出 ）
由于 ， 是 中点，所以 ．平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ．而 平面 ，于是 ．
因为 ， ，所以 ，所以 ．
与 相交，所以 平面 , 平面
所以平面 平面
（2） 为棱 的中点时，使得 平面 ，
PCD∆ E PD M PC
ME PDC∆
1/ / , 2ME CD ME CD=
ABCD // ,AB CD AB CD=
1/ / , 2ME AB ME AB=
N AB / / ,ME AN ME AN=
/ / ,MN AE MN AE=
AE ⊂ PAD MN ⊄ PAD
/ /MN PAD
CM DF⊥ AD CM⊥ CM ⊥ ADF
CAM ⊥ ADF AB E CE AD O
1/ /OF C E 1 / /C E ADF
1 1 1ABC A B C− 1B B ⊥ ABC 1BB ⊂ 1 1B BCC
1 1B BCC ⊥ ABC 1AD BB⊥
AB AC= D BC AD BC⊥ 1 1B BCC ∩ ABC BC=
AD ⊂ ABC AD ⊥ 1 1B BCC CM 1 1B BCC AD CM⊥
1BM CD= = 2BC CF= = Rt CBM Rt FCD∆ ≅ ∆ CM DF⊥
DF AD CM ⊥ ADF CM ⊂ CAM
CAM ⊥ ADF
E AB 1C E ADF证明：连接 交 于 ，连接 ．
因为 ， 为 中线，所以 为 的重心， ．从而 ．
面 ， 平面 ，所以 平面
【点睛】
本题考查面面垂直的证明和线面平行的证明.面面垂直的证明要转化为证明线面垂直，线
面平行的证明要转化为证明线线平行.
21、【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
试题分析：（Ⅰ）由 ，得 ， ，求出三角形 的面积，再由等
面积法求出三棱锥 的高，利用等体积法求三棱锥 的体积；（Ⅱ）取
中点 ，可知 为三棱锥 的外接球的球心，求得半径 ，得 ,
然后分别求解三角形可得三棱锥 的表面积．
【详解】
（Ⅰ）若 ，则 ， ，
则 ，三棱锥 的高为 ，
故 ；
（Ⅱ）取 中点 ，则在直角三角形 中，
得 ，同理在直角三角形 中， ，
CE AD O OF
CE AD ABC∆ O ABC∆
1
2
3
CF CO
CC CE
= =
1/ /OF C E
OF ⊂ ADF 1C E ⊄ ADF 1 / /C E ADF
16 5
15
32 2132 5
+
4BC = 2AB = 2 5AC = ABC
D ABC− A BCD− AC
O O D ABC− 2 5R = 4 5AC =
D ABC−
4BC = 2AB = 2 5AC =
1 42ABCS AB BC= ⋅ ⋅ =
D ABC− 8 4 5
52 5
AD DC
AC
⋅ = =
1 16 5
3 15A BCD D ABC ABCV V S h− − ∆= = ⋅ ⋅ =
AC O ADC
1
2OA OC OD AC= = = ABC 1
2OA OC OB AC= = =∴球的半径 ，由 ，可得 ，则 ．
又 ，∴ ， ，
∴ ，
过点 作 于 ，再过点 作 于 ，连接 ，得 ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
三棱锥 的表面积为 ．
【点睛】
本题考查多面体体积和表面积的求法，考查等体积法的应用，考查空间想象能力和计算能
力，属于中档题.
22、【答案】(1)见解析.(2) .
试题分析：（1）连接 EF，根据中位线定理，结合线面平行判定定理即可证明 平面 。
（2）根据平面 平面 ，可知 平面 ，进而求得 的值；根据体
积关系 求得 体积，再根据等体积 即
可求得点 到平面 的距离。
【详解】
（Ⅰ）连结 ，由题意得 是 的中位线
∴
∵ 平面 ， 平面
∴ 平面
（Ⅱ）∵平面 底面 ，交线为 ，
∴ 平面
在 中， ，
1
2R AC= 24 80Rπ π= 2 5R = 4 5AC =
2 2AD AB DC= = 4AB DC= = 8AD BC= =
1 4 8 162ADC ABCS S= = × × =
D DE AC⊥ E E EF BC∥ F DF DF AB⊥
32 8 5
54 5
AD DCDE AC
⋅= = = 2 2 16 5
5AE AD DE= − = 4 5
5CE =
AF AE
AB AC
= 16
5
AEAF ABAC
= ⋅ = 2 2 8 21
5DF AD AF= − =
1 1 8 21 16 2142 2 5 5ADB DBCS S AB DF∆= = ⋅ ⋅ = × × =
D ABC− 32 2132 5ADC ABC ADB DBCS S S S S∆ ∆ ∆ ∆= + + + = +
7
21
//SD AEC
SBC ⊥ ABCD AB ⊥ BCS ASDS∆
1 1
2 2E ASD B ASD S ABDV V V− − −= = E ASDV −
1
3 ASD E ASDS d V −=×
E ASD
EF EF BDS∆
/ /EF DS
SD ⊄ AEC ⊂EF AEC
//SD AEC
SBC ⊥ ABCD BC AB BC⊥
AB ⊥ BCS
ASD∆ 2 2AS DS= = 2AD =∴可求得
由
则
∴点 到平面 的距离为 .
【点睛】
本题考查了线面平行的判定，三棱锥等体积法的应用，属于中档题。
1 2 7 72ASDS∆ = × × =
1 1 1 1 3 342 2 2 3 2 3E ASD B ASD S ABDV V V− − −= = = × × × =
1
3 ASD E ASDS d V −=×
3
213
1 1 773 3
E ASD
ASD
Vd
S
−= = =
×
E ASD
7
21
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