湖北省荆州中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题（附答案）.doc

荆州中学 2018 级 9 月月考 高二年级数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分） 1. 不等式 的解集为( ) A. B. C. D. , 2. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是 A. “至少有一个黑球 与 都是黑球” B. “至少有一个黑球 与 至少有一个红球” C. “恰好有一个黑球 与 恰好有两个黑球” D. “至少有一个黑球 与 都是红球” 3. 若 且 ,则的终边在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一象限或第三象限 D. 第三象限或第四象限 4. 函数 的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知点 、 ,若向量 与 的方向相反,则 A. 1 B. C. D. 6. 已 知 A,B,C,D 是 同 一 球 面 上 的 四 个 点 , 其 中 是 正 三 角 形 , 平 面 ABC, ,则该球的体积为 A. B. C. D. 7. 如图,正方形 ABCD 中,M、N 分别是 BC、CD 的中点,若 ,则 ( )A. 2 B. C. D. 8. 定义在 R 上的偶函数 满足：对任意的 , ,有 ,且 ,则不等式 解集是( ) A. B. C. D. 9. 已知数列 满足： , ,且 ,则数列 的 前 13 项和为( ) A. B. C. D. 10. 等差数列 的前 n 项之和为 ,已知 , , ,则 , , , , , , 中最 大的是( ) A. B. C. D. 11. 已知 a、b、c 为实常数,数列 的通项 , ,则“存在 ,使得 、 、 成等差数列”的一个必要条件是( ) A. B. C. D. 12. 已知等比数列 的公比是 q,首项 ,前 n 项和为 ,设 , , 成等差数列,若 ,则正整数 k 的最大值是　　 A. 4 B. 5 C. 14 D. 15 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. 一个骰子连续投 2 次,点数积大于 21 的概率______ ．14. 已知正数 x,y 满足 ,则 的最小值为______ ． 15. 已 知 函 数 在 定 义 域 上 是 偶 函 数 , 在 上 单 调 递 减 , 并 且 ,则 m 的取值范围是______． 16. 已知向量 , ,若 ,则 的值为______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. 在 中, ． 求 的大小； 求 的最大值． 18. 已知向量 , ,记 ．Ⅰ求 的单调递减区间； Ⅱ 若 ,求 的 值 ； Ⅲ 将 函 数 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 得 到 的图象,若函数 在 上有零点,求实数 k 的取值范围．19. 如图 1,边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点,将 , 分别 沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 P 如图 2．Ⅰ求证： ； Ⅱ求四棱锥 的体积． 20. 上周某校高三年级学生参加了数学测试,年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从 中随机选取了 40 名学生的成绩作为样本,已知这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分 之间,现将成绩按如下方式分成 6 组：第一组 ；第二组 ； ；第六组 ,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图． Ⅰ估计这次月考数学成绩的平均分和众数；Ⅱ从 成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名,求至少有 1 名学生的成绩在区间 内的 概率． [40,50) [50,60) [90,100] [90,100][ 21. 如图,摄影爱好者在某公园 A 处,发现正前方 B 处有一立柱,测得立柱顶端 O 的仰角和立柱 底部 B 的俯角均为 ,已知摄影爱好者的身高约为 米将眼睛 S 距地面的距离 SA 按 米处 理． Ⅰ求摄影爱好者到立柱的水平距离 AB 和立柱的高度 OB；Ⅱ立柱的 顶端有一长为 2 米的彩杆 MN,且 MN 绕其中点 O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转当 时,求摄影爱好者观察彩杆 MN 的视角 的余弦值． 22. 已知数列 的前 n 项和 ,点 在函数 的图象上 求 的通项公式； 设数列 的前 n 项和为 ,不等式 对任意的正整数恒成立,求实数 a 的取值范围．20190928 数学试卷 CCCBC ADBBC AA 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72.0 分） 21. 在 中, ． 求 的大小； 求 的最大值． 【答案】解： 在 中, ． ． 由正弦定理得 , 又因为 , ； 由 得： ,, , 故当 时, 取最大值 1, 即 的最大值为 1． 【解析】本题考查的知识点是余弦定理,和差角公式,正弦型函数的图象性质,属于中档题．Ⅰ由 已知根据余弦定理,可得 ,进而得到答案．Ⅱ由 得： ,结合正弦型函数的图 象和性质,可得 的最大值． 22. 已知向量 , ,记 ．Ⅰ求 的单调递减区间；Ⅱ 若 ,求 的值；Ⅲ将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象,若函数 在 上有零点,求实数 k 的取值范围． 【答案】解：Ⅰ , 由 ,求得 , 所 以 的 单 调 递 减 区 间 是 , ； Ⅱ 由 已 知 , 得 ,即 ,则 , ． ；Ⅲ 将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象, , ,所以 , ． 若函数 在 上有零点, 则函数 的图象与直线 在 上有交点, 所以实数 k 的取值范围为 【解析】本题考查向量的数量积公式,三角恒等变换,正弦函数的单调性,函数 的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,属于中档题．Ⅰ两个向量的数量积公式,三角恒等变 换,正弦函数的单调性,求 的单调递减区间；Ⅱ由题意 ,求出 , ,代入 可得结果；Ⅲ利用 的图象变换规律,正弦函数的定义域和值域,求 得实数 k 的取值范围． 23. 如图 1,边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点,将 , 分别 沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 P 如图 2．Ⅰ求证： ；Ⅱ求四棱锥 的体积．【答案】证明：Ⅰ 边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点, 将 , 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 P, , , , 平面 PEF, 平面 PEF, ． 解：Ⅱ 24. 上周某校高三年级学生参加了数学测试,年部组织任课教师对这次考试进行成绩分析现从 中随机选取了 40 名学生的成绩作为样本,已知这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分 之间,现将成绩按如下方式分成 6 组：第一组 ；第二组 ； ；第六组 ,并据此绘制了如图所示的频率分布直方图． Ⅰ估计这次月考数学成绩的平均分和众数；Ⅱ从 成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名,求至少有 1 名学生的成绩在区间 内的概 率． 【答案】解：Ⅰ因各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 内的频率为, 所以平均分 , 众数的估计值是 Ⅱ设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名,至少有 1 名学 生 的 成 绩 在 区 间 内 ”, 由 题 意 可 知 成 绩 在 区 间 内 的 学 生 所 选 取 的 有 ： 人,记这 4 名学生分别为 a,b,c,d, 成绩在区间 内的学生有 人,记这 2 名学生分别为 e,f, 则从这 6 人中任选 2 人的基本事件为： , , , , , , , , , , , , , , ,共 15 种, 事件“至少有 1 名学生的成绩在区间 内”的可能结果为： , , , , , , , , ,共 9 种, 所以 ． 故所求事件的概率为： ． 【解析】本题考查了频率分布直方图,考查了古典概型及其概率计算公式,解答的关键是对事件 的列举做到不重不漏,难度适中．Ⅰ由各组的频率和等于 1 直接列式计算成绩在 的学生 频率,再估计这次月考数学成绩的平均分和众数；Ⅱ用列举法求出从成绩大于等于80 分的学生 中随机选 2 名学生的事件个数,列出至少有 1 名学生成绩在 的事件个数,然后直接利用 古典概型概率计算公式求解． 25. 如图,摄影爱好者在某公园 A 处,发现正前方 B 处有一立柱,测得立柱顶端 O 的仰角和立柱 底部 B 的俯角均为 ,已知摄影爱好者的身高约为 米将眼睛 S 距地面的距离 SA 按 米处理．Ⅰ求摄影爱好者到立柱的水平距离 AB 和立柱的高度 OB；Ⅱ立 柱的顶端有一长为 2 米的彩杆 MN,且 MN 绕其中点 O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内 旋转当 时,求摄影爱好者观察彩杆 MN 的视角 的余弦值． 【答案】解：Ⅰ如图,作 于 C, 依题意 , 又 , 故在 中,可求得 , 即摄影爱好者到立柱的水平距离 AB 为 3 米, 在 中, , , , 又 , 故 , 即立柱的高度 OB 为 米；Ⅱ因为 , 所以 , 于是得 , 又 , 从而 ． 【解析】本题考查的是解三角形的应用,解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题,熟知 锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理,属于中档题．Ⅰ摄影者眼部记为点 S,作 于 C, 则有 , ． ,在 中,由三角函数的定义可求 AB；再由 , ,在 中由三角函数的定义可求 OC,进而可求 OB；Ⅱ由题意可得,结合余弦定理可得 ,则有 , 再由 ,可求 的余弦值． 26. 已知数列 的前 n 项和 ,点 在函数 的图象上 求 的通项公式； 设数列 的前 n 项和为 ,不等式 对任意的正整数恒成立,求实 数 a 的取值范围． 【答案】解： 点 在函数 的图象上, , 当 时, , 得 , 当 时, ,符合上式, ； 由 知 ,则, 数列 单调递增, ． 要使不等式 对任意正整数 n 恒成立,只要 , , , ,即 ． 【解析】本题考查数列的通项与求和,着重考查等差关系的确定及数列 的单调性的分析,突 出裂项法求和,突出转化思想与综合运算能力的考查,属于难题． 根据题意可得 ,可得 ,从而即可求 的通项公式； 由 知 , 利 用 裂 项 法 可 求 , 从 而 可 求 得 ,由 ,可判断数列 单调递增,从而可求得 a 的取值范围．