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长治市 2019 年高三年级九月份统一联考（理科）数学答案
1--5 C B A D D 6----10 A B A B C 11,12 A A
13.0 14.1 15.42 16. 13
17
17.解：（Ⅰ）
( ) sin cos cos
cossin
sin cos
f x x x x
xx
xx
2 13 2
3 1 2 122 2 2
312222
sin x
2 6 ……………………………………4 分
又因为 xx21的最小值为
2
，所以
22
T ,即 2
2T ，
所以 1 ，即 sin 2 6f x x
……………………………6 分
（Ⅱ）
1 2 3sin sin cos2 3 3 6 2 5f
…………………7 分
1 5 5 5sin sin sin2 12 6 6 13f
所以 5sin 13 ，…………………8 分
又因为 , ( , ) 0 2 所以 4 12sin ,cos5 13，…………………10 分
所以 3 12 4 5 56cos cos cos sin sin 5 13 5 13 65 .…………………12 分
18.解：(1)证明 方法一 如图(1)，
过 E 作 EO⊥BC，垂足为 O，连接 OF.
由题意得⊥ABC⊥⊥DBC，
可证出⊥EOC⊥⊥FOC.
所以⊥EOC＝⊥FOC＝ ，
即 FO⊥BC.
又 EO⊥BC，EO∩FO＝O， 共 7 页，第 2 页
因此 BC⊥平面 EFO.
又 EF⊥平面 EFO，所以 EF⊥BC.……………………………6 分
方法二 由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直于 BC 的直线为 x 轴，BC 所
在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图(2)所示的空间直角
坐标系，易得 B(0,0,0)，A(0，－ 1， )，D( ，－ 1,0)，C(0,2,0)，因而 E(0， ， )，
F( ， ，0)，所以 ＝( ，0，－ )， ＝(0,2,0)，
因此 · ＝0.
从而 ⊥ ，所以 EF⊥BC.……………………………6 分
(2)解 方法一 如图(1)，过 O 作 OG⊥BF，垂足为 G，连接 EG.
由平面 ABC⊥平面 BDC，
从而 EO⊥平面 BDC.
又 OG⊥BF，
由三垂线定理知 EG⊥BF.
因此⊥EGO 为二面角 E－BF－C 的平面角．
在⊥EOC 中，
EO＝ EC＝ FC＝ BC.
BC·cos 30°＝ ，
由⊥BGO⊥⊥BFC 知，OG＝ ·FC＝ ，
因此 tan⊥EGO＝ ＝2，
从而 sin⊥EGO＝ ， 共 7 页，第 3 页
即二面角 E－BF－C 的正弦值为 .……………………………12 分
方法二 如图(2)，平面 BFC 的一个法向量为 n1＝(0,0,1)．
设平面 BEF 的法向量为 n2＝(x，y，z)，
又 ＝( ， ，0)， ＝(0， ， )，
由 得其中一个 n2＝(1，－ ，1)．
设二面角 E－BF－C 的大小为 θ，且由题意知 θ 为锐角，则 cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝
＝ .
因此 sinθ＝ ＝ ，即二面角 E－BF－C 的正弦值为 ..…………………12 分
19.解：（Ⅰ）焦点到准线的距离为 2，即 2p .，所以求抛物线 C 的方程为 2 4xy …2 分
（Ⅱ）抛物线的方程为 2 4xy ，即 21
4yx ，所以 1
2yx ……………3 分
设 11,A x y ， 22,B x y ，
2
11
11: 42
xxl y x x
2
22
22: 42
xxl y x x
由于 12ll ，所以 12 122
xx ，即 12 4xx ……………5 分
设直线 l 方程为 y kx m，与抛物线方程联立，得
2 4
y kx m
xy
所以 2 4 4 0x kx m
216 16 0km ， 1 2 1 24 , 4 4x x k x x m ，所以 1m ……………7 分
即 :1l y kx 共 7 页，第 4 页
联立方程
2
11
2
22
24
24
xxyx
xxyx
得 2
1
xk
y
，即： 2 , 1Mk ……………8 分
M 点到直线 l 的距离
2
22
212 1 1
11
kkkd
kk
……………9 分
222
1 2 1 21 4 4 1AB k x x x x k ……………10 分
所以
2 3
222
2
211 4 1 4 1 42 1
k
S k k
k
……………11 分
当 0k 时， M A B 面积取得最小值 4. ……………12 分
20. （1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为 ，
.……………………………2 分
一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C3
1푝(1 − 푝)2[1 − (1 −
푝)2]， .……………………………3 分
所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为
. ……5 分
（2）设每篇学位论文的评审费为 元，则 的可能取值为 900，1500.
，
， .……………………………7 分
所以
. .……………………………8 分
令 共 7 页，第 5 页
..……………………………9 分
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减,
所以 的最大值为 . .……………………………11 分
所以实施此方案，最高费用为 （万元）.
综上，若以此方案实施，不会超过预算. ……12 分
21.解：（ 1）
2
2
'( ) (2 1) [ ( 1) 1]
[ ( 1) ] ( )( 1)
xx
xx
f x x a e x a x e
x a x a e x a x e
…………1 分
当 1a 时， ' ( ) 0fx ，解得 1,x x a 或 ， ' ( ) 0fx ，解得 1ax ，
∴f(x)在( , ),( 1, )a 上是增函数，在( , 1)a上是减函数；
…………2 分
当 1a 时， ' ( ) 0fx ，解得 ,1x a x 或 ， ' ( ) 0fx ，解得 1 xa ，
∴f(x)在( , 1),( , )a 上是增函数，在 ( 1, ) a 上是减函数；
…………3 分
当 1a 时， ' ( ) 0fx 恒成立，且只在 1x 时 ' ( ) 0fx ，∴f(x)在 R 上是增函数.
…4 分
（2） R、 时，sin [ 1,1]、cos ，
若要 R、 使得 (sin ) (cos ) 1gf 成立，
只需 [ 1,1]x 时， max min( ) ( ) 1g x f x 成立，
…………5 分
由（1）知当 1a 时，f(x)在[ 1,1] 上是增函数， min
3( ) ( 1) af x f e
，
…………6 分
当 11a 时，f(x) 在[ 1, ]a 上是减函数，在[ ,1]a 上是增函数，
min
1( ) ( ) a
af x f a e
，
…………7 分
当 1a 时，f(x)在[ 1,1] 上是减函数， min( ) (1) ( 1)f x f a e ，
…………8 分
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2( ) 2 2g x x a x a ，对称轴 xa ，
当 1a 时，g(x)在 [ 1,1] 上是增函数， max( ) (1) 4 1g x g a ，
max min
3( ) ( ) 4 1 1ag x f x a e
，解得 3
41a e
∴ 1a
…………9 分
当 11a 时，g(x) 在 [ 1, ] a 上是增函数，在 [ ,1]a 上是减函数，
2
max( ) ( ) 2g x g a a a ， 2
max min
1( ) ( ) 2 1a
ag x f x a a e
整理得 (1 )[(1 ) 1] 0
a
a
a a e
e
，∵ 11a ，∴只需 (1 ) 1 0 aae ，
令 ( ) ( 1 ) 1 xh x x e ， ' ( ) (2 ) xh x x e ，当 11x 时， ' ( ) 0hx ， ()hx 在 ( 1,1) 上
是增函数，又 (0 ) 0h ，∴ 0a 时， ( ) 0ha ，∴ 01a
…………11 分
当 1a 时，g(x)在 [ 1,1] 上是减函数， max( ) ( 1 ) 1g x g ，
max min( ) ( ) 1 ( 1) 1g x f x a e ，解得 1a
综上所述， 0a 或 1a
…………12 分
22.解：（1）由题意：曲线 的直角坐标方程为 ．.……………4 分
（2）设直线 的参数方程为 cos
1 sin
xt
yt
（ 为参数）代入曲线 的方程有：
，.……………………6 分
设点 对应的参数分别为 ，则 ，
则 ， ，.…………………8 分
∴ ，∴直线 的方程为 ．.……………………………10 分
23.解：(1)当 a＝－3 时，f(x)＝
－2x＋5，x≤2，
1，2
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