山西省长治市第二中学2019-2020高二上学期第一次月考数学（理）试卷（附答案）.doc

2019—2020 学年第一学期高二第一次月考数学试题（理科） 命题人：琚冰源 审题人：王宏伟 【本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟】 第Ⅰ卷（选择题 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。 1．下列命题正确的是(　　) A．棱柱的侧面都是长方形 B．棱柱的所有面都是四边形 C．棱柱的侧棱不一定相等 D．一个棱柱至少有五个面 2．下列推理错误的是(　　) A． B． C． D． 3．已知正四棱柱 中， , 为 的中点，则异面直线 和 所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． 4．已知 的平面直观图 是边长为 的正三角形，那么原 的面积为(　　) A． B． C． D． 5．如果三点 ， ， 在同一条直线上，则(　　) A． B． C． D． 6．若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面： ① ；② ③ ；④若 ，则 . 则以上说法中正确的个数为(　　) A． B． C． D． 7．已知矩形 的顶点都在半径为 的球 的球面上，且 ， ，则棱锥 的体积为(　　) A． B． C． D． 8．圆台的两个底面面积之比为 ，母线与底面的夹角是 ，轴截面的面积为 ，则圆 台的母线长 (　　) A． B． C． D．12 9．已知平面 平面 ， ，点 ，直线 ，直线 ，直线 ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　) , , ,A l A B l B lα α α∈ ∈ ∈ ∈ ⇒ ⊂ , , ,A A B B ABα β α β α β∈ ∈ ∈ ∈ ⇒ = ,l A l Aα α⊄ ∈ ⇒ ∉ ,A l l Aα α∈ ⊂ ⇒ ∈ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AB= E 1AA BE 1CD 10 10 3 10 10 1 5 3 5 ABC∆ ' ' 'A B C∆ a ABC∆ 23 2 a 23 4 a 26 2 a 26a ( )1,5, 2A − ( )2,4,1B ( ),3, 2C a b + 3, 2a b= = 6, 1a b= = − 3, 3a b= = − 2, 1a b= − = ,m n , ,α β γ / / ,m n m nα α⊥ ⇒ ⊥ / / , , / /m n m nα β α β⊂ ⊂ ⇒ / / , / / ,m n m nα β α β⊥ ⇒ ⊥ , , / /m n m nα γ β γ= =  / /α β 1 2 3 4 ABCD 4 O 6AB = 2 3BC = O ABCD− 8 3 6 4 3 8 4:9 60 180 3 l = 6 3 6 2 12 3 α ⊥ β lα β = ,A A lα∈ ∉ / /AB l AC l⊥ / / , / /m mα βA． B． C． D． 10．某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为 1，则该几何体的体 积是(　　) A．28π 3 B．32π 3 C．52π 3 D．56π 3 11．如图，在正三棱柱 中， , ， ， 分别是棱 ， 的中点， 为棱 上的动点，则 的周长的最小值为(　　) A． B． C． D． 12．如图，已知矩形 中， , 为边 的中点，将 沿直线 翻折 成 ，若 是线段 的中点，则 在翻折过程中，下列命题： ①线段 的长是定值； ②存在某个位置，使 ; ③点 的运动轨迹是一个圆； ④存在某个位置，使得 面 ． 正确的个数是(　　) / /AB m AC β⊥ / /AB β AC m⊥ 1 1 1ABC A B C− 2AB = 1 2 3AA = D F AB 1AA E AC DEF∆ 2 2 2+ 2 3 2+ 6 2+ 7 2+ ABCD 2AB AD= E AB ADE∆ DE 1A DE∆ M 1AC ADE∆ BM 1DE AC⊥ M MB ⊥ 1A DEP A C B A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 90 分） 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“数”字面相对的是“______”字面． 14．《九章算术》卷 5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔（dǎo）,周四丈八尺，高一丈一尺.问积几 何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为四丈八尺，高一丈一尺，则它的体积是 _____________立方尺.（取 ， 丈 尺） 15．已知平面 外两点 到平面 的距离分别是 和 ， 在平面 内的射影之间的 距离为 ，则线段 的长度为_______ 16．在正三棱锥 中，点 是 的中点，且 ，底面边长 ，则 正三棱锥 的外接球的表面积为____________ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（10 分）如图， 是正方形， 是正方形的中心， 平面 ， 是 的中点。 （1）求证： ∥平面 ； （2）求证：平面 ⊥平面 。 18．（12 分）如图，三棱锥 中，底面 是边长为 的正三角 1 2 3 4 3π = 1 10= α ,A B α 2 2 2 ,A B α 6 AB S ABC− M SC AM SB⊥ 2 2AB = S ABC− ABCD O PO ⊥ ABCD E PC PA BDE PAC BDE P ABC− ABC 4形， ， ，面 面 。 （1）求证： ； （2）求三棱锥 的体积． 19．（12 分）如图，长方体 中， ，点 分别在 上， .过点 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正 方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值。 20．（12 分）如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ， 是 的中点． （1）求 和平面 所成的角的大小； （2）求二面角 的正弦值． 21．（12 分）如图，在正方体 中， 分别是 的中点。 PA PC= 4PB = PAC ⊥ ABC AC PB⊥ A PBC− 1 1 1 1ABCD A B C D− 116, 10, 8AB BC AA= = = ,E F 1 1 1 1,A B D C 1 1 4A E D F= = ,E F α α P ABCD− PA ⊥ ABCD AB AD⊥ AC CD⊥ 60ABC °∠ = PA AB BC= = E PC PB PAD A PD C− − 1 1 1 1ABCD A B C D− , ,E F G 1, ,AB CC AD（1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？请证明你的结论。 22．（12 分）如图，在四棱锥 中， 是边长为 2 的菱形，且 ， ， 分别为 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）若二面角 的大小是 ，求点 到平面 的距离。 1B E BG CD T / /AT 1B EF P ABCD− ABCD 60DAB °∠ = , 4PB PC PD= = ,E F ,AD PA AD ⊥ BEF P AD B− − 30° D PBC2019—2020 学年第一学期高二第一次月考数学答案（理科） 1~5．DCBCA 6~10． BADBA 11~12． DB 13.学 14. 2112 15. 16.12 17 (1)证明　连接 OE，如图所示． ∵O、E 分别为 AC、PC 的中点，∴OE∥PA. ∵OE⊂面 BDE，PA⊄面 BDE， ∴PA∥面 BDE.............................................5 分 (2)证明　∵PO⊥面 ABCD，∴PO⊥BD. 在正方形 ABCD 中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面 PAC. 又∵BD⊂面 BDE，∴面 PAC⊥面 BDE......................10 分 18. (1) 取 AC 的中点 D，连接 PD,BD. 在 中，PA=PC, ,在 中， BA=BC, 又 , , , ..........................6 分 ， , 由(1)知 ， , 在 中 , BA=BC=4, , , , 又 , ,在 中, PA=PC, , ,易知, , = ........................12 分 19.(1)交线围成的正方形 EFGH 如图所示： .......................6 分. (2)作 ，垂足为 M， 则 ,因为 EFGH 是正方形，所以 EH=EF=BC=10,于是 故 ,.. 2 2 2 6或 π PAC PD AC∴ ⊥ ABC ,BD AC∴ ⊥ PD BD D=  AC PDB∴ ⊥ 面 PB PDB⊂ 面 AC PB∴ ⊥ ( )2 PAC ABC⊥面 面 PAC ABC AC=面 面 PD AC⊥ PD ABC∴ ⊥ 面 A PBC P ABCV V− −∴ = 1 3 ABCPD S= ⋅  ABC 2 3,BD∴ = PD ABC⊥ 面 BD ABC⊂ 面 PD BD∴ ⊥ 4PB = 2PD∴ = PAC PD AC∴ ⊥ 2 2PC∴ = 4 3ABCS =  A PBC P ABCV V− −∴ = 1 3 ABCPD S= ⋅  1 8 32 4 33 3 × × = EM AB⊥ 1 1 14, 12, 8AM A E EB EM AA= = = = = 2 2 6, 10, 6MH EH EM AH HB= − = = = 1 1 (4 10) 8 562A EHAS = × + × =四边形., 因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为 （或者 ）................................................12 分 20. (1)解　在四棱锥 P—ABCD 中， 因为 PA⊥底面 ABCD，AB⊂平面 ABCD， 故 PA⊥AB.又 AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而 AB⊥平面 PAD， 故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA，从而∠APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角． 在 Rt△PAB 中，AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45°. ................................................4 分 (2)证明　在四棱锥 P—ABCD 中， 因为 PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD， 故 CD⊥PA.由条件 CD⊥AC，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC. 又 AE⊂平面 PAC，∴AE⊥CD. 由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 又 PC∩CD＝C，综上得 AE⊥平面 PCD. ...............................................8 分 过点 E 作 EM⊥PD，垂足为 M，连接 AM，如图所示． 由(2)知，AE⊥平面 PCD，AM 在平面 PCD 内的射影是 EM， 则可证得 AM⊥PD. 因此∠AME 是二面角 A—PD—C 的平面角． 由已知，可得∠CAD＝30°. 设 AC＝a，可得 PA＝a，AD＝2 3 3 a，PD＝ 21 3 a，AE＝ 2 2 a. 在 Rt△ADP 中，∵AM⊥PD，∴AM·PD＝PA·AD， 则 AM＝PA·AD PD ＝ a·2 3 3 a 21 3 a ＝2 7 7 a. 在 Rt△AEM 中，sin∠AME＝AE AM＝ 14 4 . 所以二面角 A—PD—C 的正弦值为 14 4 ........................12 分 21.解：(1).连接 BD, , ,因为 E,G 分别为 AB,AD 的中点，所以 ,又因为 1 1 (12 6) 8 722EB BHS = × + × =四边形 α 9 7： 7 9： 1B D 1CD / /EG BD, 所 以 为 异 面 直 线 EG 与 所 成 角 ， 在 中 ， 因 为 ,所以 .........4 分 (2).在棱 CD 上取点 T，使得 DT= DC,则 平面 ，.........5 分 证明如下： 延长 BC， 交于 H，连 EH 交 DC 于 K，因为 ,F 为 的中点，所以 C 为 BH 中点。因为 ,所以 ,且 KC= ,因为 DT= DC,E 为 AB 中点， 所 以 TK//AE 且 TK=AE, 即 四 边 形 AEKT 为 平 行 四 边 形 ， 所 以 AT//EK, 即 AT//EH, 又 ,所以 平面 ......................12 分 22、（1）取 BC 的中点 G，连接 GD,GP,BD,在 中，BC=CD, , 所以 为正三角形，又因为 G 是 BC 中点， ,因为 ,所以 , 又 , 故 , 因 为 E,F 分 别 为 AD,PA 的 中 点 ， 所 以 , 又 , 所 以 平 面 , 又 , 故 ......................4 分 （2）因为 ，所以 .则 为二面角 P—AD—B 的平面 角 ， 即 ， 因 为 PD=4, 所 以 EF=2, 因 为 AB=2AE=2, 且 , 所 以 ,BF=1,且 ,因为 ，所以 ,所以 , 所以三棱锥 P—BCD 的高为 2. 于是三棱锥 P—BCD 的体积 , ......................6 分 在 中，BF=1,AB=2, ,所以 , , 则在 中， 1 1 / /B D BD 1 1CB D∠ 1B C 1 1CB D 1 1 1 1CB B D CD= = 1 1 60CB D∠ =  1 4 / /AT 1B EF 1B F 1 1/ /CC BB 1CC / /CD AB / /KC AB 1 1 2 4EB CD= 1 4 1 1,EH B EF AT EF⊂ ⊄面 面B / /AT 1B EF BCD 60DCB DAB∠ = ∠ =  BCD BC DG⊥ PB PC= BC PG⊥ DG PG G= BC DGP⊥ 面 / / , / /EF PD BE DG BE EF E= / /BEF PDG面 / /AD BC AD BEF⊥ 面 AD BEF⊥ 面 ,AD EF AD BE⊥ ⊥ FEB∠ 30FEB∠ =  60DAB∠ =  3BE = BF BE⊥ AD BEF⊥ 面 AD BF⊥ BF ABCD⊥ 面 1 1 2 32 3 23 2 3P BCDV − = × × × × = ABF BF AB⊥ 5AF = 2cos 5 FAB∠ = ABP 所以 , 于是 的面积 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d，三棱锥 P—BCD 的体积与三棱锥 D—PBC 的体积相等。 所以 ，故 ........................12 分 ( )2 2 22 2 2 2 5 222 5, 2,cos 25 2 2 5 2 PBAP AB PBAP AB PAB AP AB + −+ −= = ∠ = = =⋅ × × 2 2PB PC= = PBC ( )2 21 2 2 2 1 72PBCS = × × − =  1 2 37 d3 3 × × = 2 21d 7 =