2019—2020 学年第一学期高二第一次月考数学试题（文科）
命题人：琚冰源 审题人：王宏伟
【本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟】
第Ⅰ卷（选择题 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。
1．下列命题正确的是( )
A．棱柱的侧面都是长方形 B．棱柱的所有面都是四边形
C．棱柱的侧棱不一定相等 D．一个棱柱至少有五个面
2．下列推理错误的是( )
A ．
B．
C． D．
3．已知正四棱柱 中， , 为 的中点，则异面直线 和
所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4．已知 的平面直观图 是边长为 的正三角形，那么原 的面积为( )
A． B． C． D．
5．已知三角形三个顶点 ，则 边上中线所在直线方程是（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线 过点 ，直线 ，直线 .若
，则实数 的值为（ ）
A． B． C．0 D．8
7．若 是两条不同的直线， 是三个不同的平面：
① ；②
, , ,A l A B l B lα α α∈ ∈ ∈ ∈ ⇒ ⊂
, , ,A A B B ABα β α β α β∈ ∈ ∈ ∈ ⇒ =
,l A l Aα α⊄ ∈ ⇒ ∉ ,A l l Aα α∈ ⊂ ⇒ ∈
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 2AA AB= E 1AA BE
1CD
10
10
3 10
10
1
5
3
5
ABC∆ ' ' 'A B C∆ a ABC∆
23
2 a 23
4 a 26
2 a 26a
( ) ( ) ( )5,0 3, 3 0,2A B C− − BC
13 5 0x y− + = 13 5 0x y− − = 13 5 0x y+ + = 13 0x y+ =
1l ( ) ( )2, ,4A m B m− 和点 2 : 2 1 0l x y+ − = 3 : 1 0l x ny+ + =
1 2 2 3,l l l l∥ ⊥ m n+
10− 2−
,m n , ,α β γ
/ / ,m n m nα α⊥ ⇒ ⊥ / / , , / /m n m nα β α β⊂ ⊂ ⇒③ ；④若 ，则 .
则以上说法中正确的个数为( )
A． B． C． D．
8．已知矩形 的顶点都在半径为 的球 的球面上，且 ， ，则棱锥
的体积为( )
A． B． C． D．
9．圆台的两个底面面积之比为 ，母线与底面的夹角是 ，轴截面的面积为 ，则
圆台的母线长 ( )
A． B． C． D． 12
10．已知平面 平面 ， ，点 ，直线 ，直线 ，直线
，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A． B． C． D．
11．某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为 1，则该几何体的体
积是( )
A．28π
3 B．32π
3 C．52π
3 D．56π
3
12．如图，在正三棱柱 中， , ， ， 分别是棱 ，
的中点， 为棱 上的动点，则 的周长的最小值为( )
/ / , / / ,m n m nα β α β⊥ ⇒ ⊥ , , / /m n m nα γ β γ= = / /α β
1 2 3 4
ABCD 4 O 6AB = 2 3BC =
O ABCD−
8 3 6 4 3 8
4:9 60 180 3
l =
6 3 6 2 12 3
α ⊥ β lα β = ,A A lα∈ ∉ / /AB l AC l⊥
/ / , / /m mα β
/ /AB m AC β⊥ / /AB β AC m⊥
1 1 1ABC A B C− 2AB = 1 2 3AA = D F AB 1AA
E AC DEF∆A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．过点 ，并且在两轴上截距相等的直线方程是___________________.
14．《九章算术》卷 5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔（dǎo）,周四丈八尺，高一丈一尺.问
积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为四丈八尺，高一丈一尺，则它的
体积是_____________立方尺.（取 ， 丈 尺）
15 ． 在 正 三 棱 锥 中 ， 点 是 的 中 点 ， 且 ， 底 面 边 长
，则正三棱锥 的外接球的表面积为____________.
16．如图，在直角梯形 中， , , 分别是 的中点，将
三角形 沿 折起，下列说法正确的是_____________(填上所有正确的序号)
①不论 折至何位置（不在平面 内）
都有 ；
②不论 折至何位置都有 ；
③不论 折至何位置（不在平面 内）
都有 ；
④在折起过程中，一定存在某个位置，使得
.
三、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（10 分）已知两条直线： 。m 为何值时，
：（1）垂直；（2）平行
18．(12 分)如图， 是正方形， 是正方形的中心， 平面 ， 是 的中
点。
（1）求证： ∥平面 ；
2 2 2+ 2 3 2+ 6 2+ 7 2+
( )3,2P
3π = 1 10=
S ABC− M SC SB SAC⊥ 平面
2 2AB = S ABC−
ABCD BC DC⊥ AE DC⊥ ,M N ,AD BE
ADE∆ AE
D ABC
/ /MN DEC平面
D MN AE⊥
D ABC
/ /MN AB
EC AD⊥
( ) 2
1 2: 2 3 0; :3 0l m x y l x my m− − − = − − =
1 2l l与
ABCD O PO ⊥ ABCD E PC
PA BDE
C
E
B
N
A
M
D
（2）求证：平面 ⊥平面 。
19．(12 分)如图，三棱锥 中，底面 是边长为 4 的正三角形， ，
，面 面 。
（1）求证： ；
（2）求三棱锥 的体积.
20．(12 分)如图，长方体 中， ，点 分别在
上， .过点 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个
正方形。
（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值。
21．(12 分)已知斜三棱柱 的侧面 与底面 ABC 垂直， ，
BC=2，AC= ，且 ， = ，求：
（1）侧棱 与底面 ABC 所成角的大小；
（2）求点 的距离.
PAC BDE
P ABC− ABC PA PC=
4PB = PAC ⊥ ABC
AC PB⊥
A PBC−
1 1 1 1ABCD A B C D− 116, 10, 8AB BC AA= = = ,E F
1 1 1 1,A B D C 1 1 4A E D F= = ,E F α
α
1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC 90ABC∠ = °
2 3 1 1AA AC⊥ 1AA 1AC
1AA
1 1 1C ABB A到平面22．(12 分)如图，在正方体 中， 分别是 的中点。
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？请证明你的结论。
1 1 1 1ABCD A B C D− , ,E F G 1, ,AB CC AD
1B E BG
CD T / /AT 1B EF2019—2020 学年第一学期高二第一次月考数学答案（文科）
1~5、DCBCC 6~10、ABADB 11~12、AD
13、 14、 2112 15、12 16、①②④
17、解：直线 ，
（1）由 ，所以 ..............................4 分
（2）由 ，即 ，所以
当 ，此时 ；
当 ，此时 ，符合
综上所述， ..............................10 分
18、解： (1)证明 连接 OE，如图所示．
∵O、E 分别为 AC、PC 的中点，∴OE∥PA.
∵OE⊂面 BDE，PA⊄面 BDE，
∴PA∥面 BDE............................................6 分
(2)证明 ∵PO⊥面 ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形 ABCD 中，BD⊥AC，又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面 PAC.
又∵BD⊂面 BDE，∴面 PAC⊥面 BDE......................12 分
19、解： (1) 取 AC 的中点 D，连接 PD,BD. 在 中，PA=PC, ,在
中，BA=BC, 又 ,
, , ..........................6 分
， ,
由(1)知 ， ,
在 中 , BA=BC=4, , , , 又
, ,在 中, PA=PC, , ,易知, ,
= ........................12 分
2 3 0 5 0x y x y− = + − =或 π
1 1 2l k m= −的斜率 2 2
3l k m
=直线 的斜率
( )1 2 1 2
32 1l l k k m m
⊥ ⋅ = − ⋅ = −得 3
2m =
1 2 1 2l l k k=∥ 得 32m m
− = 3m = 或- 1
1 23 : 3 0, :3 3 9 0m l x y l x y= − − = − − =时， 1 2l l与 重合，不符，舍去
1 21 :3 3 0, :3 1 0m l x y l x y= − + + = + − =时， 1 2l l∥
1m = −
PAC PD AC∴ ⊥ ABC
,BD AC∴ ⊥ PD BD D=
AC PDB∴ ⊥ 面 PB PDB⊂ 面 AC PB∴ ⊥
( )2 PAC ABC⊥面 面 PAC ABC AC=面 面
PD AC⊥ PD ABC∴ ⊥ 面 A PBC P ABCV V− −∴ = 1
3 ABCPD S= ⋅
ABC 2 3,BD∴ = PD ABC⊥ 面 BD ABC⊂ 面 PD BD∴ ⊥
4PB = 2PD∴ = PAC PD AC∴ ⊥ 2 2PC∴ = 4 3ABCS =
A PBC P ABCV V− −∴ = 1
3 ABCPD S= ⋅
1 8 32 4 33 3
× × =20、（1）略.......................6 分.
（2）作 ，垂足为 M，
则 ,因为 EFGH 是正方形，所以 EH=EF=BC=10,于是
故 ,..
.,
因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，
所以其体积的比值为 （或者 ）................................................12 分
21、解：（1）取 ，连接
∵
∴
∴
∵ ∴
∴ 因此 .......................................5 分
（2）取
∵ ∴ ∴ 且
∴ ∴ ∴
在直角三角形 ，得
∴ ∴
设点 ，
∵ ，∴
EM AB⊥
1 1 14, 12, 8AM A E EB EM AA= = = = =
2 2 6, 10, 6MH EH EM AH HB= − = = =
1
1 (4 10) 8 562A EHAS = × + × =四边形
1
1 (12 6) 8 722EB BHS = × + × =四边形
α
9 7： 7 9：
AC M中点 1A M
1 1 1 1,A ACC ABC A ACC ABC AC⊥ ∩ =平面 平面 平面 平面
1 1 1 1,A M AC A M A ACC⊥ ⊂ 平面 1A M ABC⊥ 平面
1 1 1AM A M ABC A AM AA ABC∠为 在平面 上的摄影，因此 为 与平面 所成的角
1 1 1 1,A A AC A A AC⊥ =且 1A AC 为等腰直角三角形
1 4A AM
π∠ = 1 4A A ABC
π与平面 所成的角为
1 1 , ,A B P BC Q中点 中点 , ,PQ MQ PB连接
1PQ A M∥ PQ ABC⊥ 平面 PQ AB⊥ BC AB⊥
AB PBC⊥ 平面 AB PB⊥ 1 1A B BP⊥
2 2 2
1 1 1BPB PB BB+ =中，由BP 2BP =
1 1
2 2 2 4 2A ABBS AB BP= ⋅ = ⋅ =
1 1 1 1
1 2 22AA B A ABBS S= =
1 1 1C A ABB h到平面 得距离为
1 1 1AC A B C∥平面 1 1 1 1 1 1A A B C M A B C到平面 得距离与 到平面 的距离相等∵ ∴ ∴
由 ，得 ……①
， ，
将数据代入①式得 ，即 。.......................12 分
22、解：(1).连接 BD, , ,
因为 E,G 分别为 AB,AD 的中点，所以 ,
又因为 ,所以 为异面直线 EG 与 所成角，
在 中，因为 ,所以 .........4 分
(2).在棱 CD 上取点 T，使得 DT= DC,则 平面 ，.........5 分
证明如下：
延长 BC， 交于 H，连 EH 交 DC 于 K，
因为 ,F 为 的中点，所以 C 为 BH 中点。
因为 ,所以 ,且 KC= ,
因为 DT= DC,E 为 AB 中点，所以 TK//AE
且 TK=AE,即四边形 AEKT 为平行四边形，所以 AT//EK,即 AT//EH,
又 ,所以 平面 ......................12 分
1A M ABC⊥ 平面 1 1 1 1A M B C⊥ 平面A 1 1 1 1A A B C A M到平面 的距离为
1 1 1 1 1 1A A B C C AA BV V− −=
1 1 1 1 11
1 1
3 3A B C AA BS A M S h⋅ = ⋅
1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 2 2 2 22 2A B CS A B B C= ⋅ = ⋅ ⋅ =
1 1 1 1
1 2 22AA B A ABBS S= =
1 3A M =
3h = 1 1 1 3C A ABB到平面 的距离为
1B D 1CD
/ /EG BD
1 1 / /B D BD 1 1CB D∠ 1B C
1 1CB D 1 1 1 1CB B D CD= = 1 1 60CB D∠ =
1
4 / /AT 1B EF
1B F
1 1/ /CC BB 1CC
/ /CD AB / /KC AB 1 1
2 4EB CD=
1
4
1 1,EH B EF AT EF⊂ ⊄面 面B / /AT 1B EF
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