邻实高 2017 级 19 年秋季第一学月考试数学（理科）试题
出题人：刘露 审题人：周永平
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（共 12 小题，共 60 分）
1．设集合 ，则 A∩B＝（ ）
A．[1，3] B．（1，2）∪（2，3] C．[2，3] D．[﹣1，+∞）
2．求值 ＝（ ）
A．2 B． C．1 D．﹣1
3．复数 z＝﹣m2i+（i+1）m+2i﹣1 对应的点在第二象限，其中 m 为实数，i 为虚数单位，则实
数的取值范围（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1）
C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
4．已知 tan（π﹣θ）＝3，则 ＝（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．1 D．
5．已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ＜π）的部分图象如图所示，将函数
f（x）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，则当 x∈[0，π]时，不等式
g（x）＜1 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC＝3BE，DC＝λDF，若 ＝1，则 λ 的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派 7 名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其
中有 4 名男性党员，3 名女性党员现从中选 3 人去甲村若要求这 3 人中既有男性，又有女
性，则不同的选法共有（ ）
A．35 种 B．30 种 C．28 种 D．25 种
8．“函数 f（x）＝﹣x2+2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是（ ）
A．1＜m＜3 B．1＜m＜4 C．2≤m≤3 D．
9．设 f（x）是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当 0＜x＜1 时，f（x）＝x 2﹣x，则 ＝
（ ）
A． B． C． D．
10．已知等比数列{an}的各项均为正数，且 ， ，a2 成等差数列，则 ＝（ ）
A．9 B．6 C．3 D．1
11．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2 作垂直于
实轴的弦 PQ，若 ，则 C 的离心率 e 为（ ）
A． B． C． D．
12．已知偶函数 f（x），当 x＞0 时满足 2f（x）+xf′（x）＜6，且 f（1）＝2，则 f（x）＞3﹣
的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2 或 x＞2} B．{x|﹣1＜x＜1}
C．{x|x＜﹣1 或 x＞1} D．{x|﹣1＜x＜1}
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共 4 小题，共 20 分）
13． （sinx+3x2）dx＝ ．
14．已知函数 y＝f（x﹣3）的定义域是[﹣2，4]，则 y＝ 的定义域
是 ．15．将函数 f（x）＝cosx﹣ sinx（x∈R）的图象向左平移 α（α＞0）个单位长度后，所得到
的图象关于原点对称，则 α 的最小值是
16．已知函数 f（x）＝ex﹣x，g（x）＝x2﹣bx+4，若对任意 x1∈（﹣1，1），存在 x2∈（3，4），
f（x1）≥g（x2），则实数 b 的取值范围为 ．
三．解答题（共 7 小题，共 70 分）
17．己知函数 f（x）＝sinxcosx+ cos2x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位得到函数 g（x）的图象，若 x∈[﹣
]，求 g（x）的值域．
18．数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝2an﹣n．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）若数列{bn}为等差数列，且 b3＝a2，b7＝a3，求数列{（an+1）•bn}的前 n 项 Tn．
19．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且∠AOC＝120°，PA⊥平面 ABC，AB＝4，PA
＝2 ，D 是 PC 的中点，点 M 是⊙O 上的动点（不与 A，C 重合）．
（1）证明：AD⊥PB；
（2）当三棱锥 D﹣ACM 体积最大时，求面 MAD 与面 MCD 所成二面角的正弦值
20．通过随机询问某地 100 名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下 2×2 列联表：
男生 女生 合计
挑同桌 30 40 70
不挑同桌 20 10 30
总计 50 50 100
（Ⅰ）从这 50 名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，现从
这 5 人中随机选取 3 人做深度采访，求这 3 名学生中至少有 2 名要挑同桌的概率；
（Ⅱ）根据以上 2×2 列联表，是否有 95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同
桌”有关？下面的临界值表供参考：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ，其中 n＝a+b+c+d）
21．已知函数 f（x）＝ ，a∈R
（1）若 f（x）在其定义域上单调递减，求 a 的取值范围；
（2）若 f（x）存在两个不同极值点 x1 与 x2，且 x2≥ex1，求证： ＞2a
选做题
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点为极
点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝sinθ．
（1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，P（﹣1，2），求|PA|•|PB|．
23．已知函数 f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．
（Ⅰ）求 f（x）≥3 的解集；
（Ⅱ）记函数 f（x）的最小值为 M，若 a＞0，b＞0，且 a+2b＝M，求 的最小值．邻实高 2017 级 19 年秋季第一学月考试数学理科试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1．设集合 ，则 A∩B＝（ ）
A．[1，3] B．（1，2）∪（2，3] C．[2，3] D．[﹣1，+∞）
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】可以求出集合 A，B，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x﹣1＞0，且 x﹣1≠1}＝{x|x＞1，且 x≠2}，
∴A∩B＝（1，2）∪（2，3]．
故选：B．
【点评】考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
2．求值 ＝（ ）
A．2 B． C．1 D．﹣1
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．
【分析】由 sin5°＝sin（30°﹣25°），展开两角差的正弦化简求值．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查两角差的正弦，是基础题．
3．复数 z＝﹣m2i+（i+1）m+2i﹣1 对应的点在第二象限，其中 m 为实数，i 为虚数单位，则实
数的取值范围（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，1）C．（﹣1，2） D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件列出不等式组求解即可得答
案．
【解答】解：由复数 z＝﹣m2i+（i+1）m+2i﹣1＝m﹣1+（﹣m2+m+2）i 对应的点在第二象
限，
得 ，即﹣1＜m＜1．
∴实数 m 的取值范围为（﹣1，1）．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基
础题．
4．已知 tan（π﹣θ）＝3，则 ＝（ ）
A．﹣1 B．﹣ C．1 D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】由已知求得 tanθ，再利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【解答】解：由 tan（π﹣θ）＝3，得﹣tanθ＝3，即 tanθ＝﹣3，
则 ＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式与同角三角函数基本关系式的应用，
是基础题．
5．已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ＜π）的部分图象如图所示，将函数 f
（x）的图象向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，则当 x∈[0，π]时，不等式 g
（x）＜1 的解集为（ ）A． B．
C． D．
【考点】HJ：函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由图象可知 A，根据周期求出 ω，将（ ）代入求出 φ 的值，可得 f（x）
的解析式，再利用函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：由图象可知 A＝2，
周期 T＝ ，
∴T＝π，则 ω＝2，
∴f（x）＝2sin（2x+φ），
图象过点（ ）带入可得 2sin（2× +φ）＝2，
∵﹣π＜φ＜π，
∴φ＝ ，
∴f（x）＝2sin（2x﹣ ），
f（x）的图象向左平移 个单位，y＝2sin[2（ ）﹣ ]＝2sin（2x﹣ ），
∴函数 g（x）＝2sin（2x﹣ ），
不等式 g（x）＜1，
即 sin（2x﹣ ） ，
当 x∈[0，π]时，则 2x﹣ ∈[ ， ]，
结合正弦函数图象可得：
≤2x﹣ 或 ＜2x﹣ ，
解得 0 或 ＜x≤π，故选：C．
【点评】本题主要考查由函数 y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数 y＝Asin（ωx+φ）
的图象变换规律，属于基础题．
6．已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC＝3BE，
DC＝λDF，若 ＝1，则 λ 的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【分析】由平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算可得：（1+ ） +
+ ＝1，即﹣2（1+ ）+ + ＝1，解得 λ＝2，得解．
【解答】解：由菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，
所以 ＝2× ，
因为 BC＝3BE，DC＝λDF，
所以 ＝ ， ＝ ，
又 ＝1，
所以（ ） ）＝1，
所以（ ）•（ ）＝1，
所以（1+ ） + + ＝1，
即﹣2（1+ ）+ + ＝1，
解得 λ＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题．
7．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派 7 名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其
中有 4 名男性党员，3 名女性党员现从中选 3 人去甲村若要求这 3 人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ）
A．35 种 B．30 种 C．28 种 D．25 种
【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
【分析】这 3 人中既有男生又有女生，包括 2 男 1 女和 1 男 2 女两种情况，分别求出这两
种情况下的选法的数量，相加即得所求．
【解答】解：这 3 人中既有男性又有女性，包括 2 男 1 女和 1 男 2 女两种情况．
若 3 人中有 2 男 1 女，则不同的选法共有 种，
若 3 人中有 1 男 2 女，则不同的选法共有 ＝12 种，
根据分类计数原理，所有的不同的选法共有 18+12＝30 种，
故选：B．
【点评】本题主要考查组合及两个基本原理，组合数公式的应用，体现了分类讨论的数学
思想．
8．“函数 f（x）＝﹣x2+2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是（ ）
A．1＜m＜3 B．1＜m＜4 C．2≤m≤3 D．
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
【分析】根据二次函数的性质，可得必要不充分条件的定义即可判断．
【解答】解：f（x）＝﹣x2+2m，对称轴 x＝m，若函数 f（x）＝﹣x2+2mx 在区间[1，3]上不
单调，
则 1＜m＜3，所以“函数 f（x）＝﹣x2+2mx 在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条
件是 1＜m＜4．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，二次函数的性质，是一道中档题．
9．设 f（x）是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当 0＜x＜1 时，f（x）＝x 2﹣x，则 ＝
（ ）
A． B． C． D．
【考点】3P：抽象函数及其应用．
【分析】根据题意，分析可得 f（﹣ ）＝f（﹣ ）＝﹣f（ ），结合函数的解析式分析可
得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，
则 f（﹣ ）＝f（﹣ ）＝﹣f（ ），
又由当 0＜x＜1 时，f（x）＝x2﹣x，则 f（ ）＝（ ）2﹣ ＝﹣ ，
故 ＝﹣（﹣ ）＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
10．已知等比数列{an}的各项均为正数，且 ， ，a2 成等差数列，则 ＝（ ）
A．9 B．6 C．3 D．1
【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．
【分析】设各项都是正数的等比数列{an}的公比为 q，（q＞0），由题意可得关于 q 的式子，
解之可得 q，而所求的式子等于 q2，计算可得．
【解答】解：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为 q，（q＞0），
由题意可得 2× ＝ +a2，即 q2﹣2q﹣3＝0，
解得 q＝﹣1（舍去），或 q＝3，
∴ ＝ ＝q2＝9．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础
题．
11．已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2 作垂直于
实轴的弦 PQ，若 ，则 C 的离心率 e 为（ ）
A． B． C． D．
【考点】KC：双曲线的性质．
【分析】首先根据已知条件建立等量关系，进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的
离心率．【解答】解：双曲线的左右焦点分别为 F1、F2，过 F2 作垂直于实轴的弦 PQ，若 ，
则：△F1PQ 为等腰直角三角形．
由于通径 PQ＝ ，
则：2c＝ ，
解得：c2﹣a2﹣2ac＝0，
所以：e2﹣2e﹣1＝0，
解得：e＝1 ；
由于 e＞1，
所以：e＝1+ ，
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应
用．属于基础题型．
12．已知偶函数 f（x），当 x＞0 时满足 2f（x）+xf′（x）＜6，且 f（1）＝2，则 f（x）＞3﹣
的解集为（ ）
A．{x|x＜﹣2 或 x＞2} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＜﹣1 或 x＞1}
D．{x|﹣1＜x＜1}
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】令 g（x）＝x2f（x）﹣3x2，求出函数的导数，根据函数的单调性求出不等式的解
集即可．
【解答】解：令 g（x）＝x2f（x）﹣3x2，
则 g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）﹣6x＝x（2f（x）+xf′（x）﹣6），
x＞0 时，g（x）＜0，x＜0 时，g（x）＞0，
故 g（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，+∞）递减，
而 f（x）是偶函数，故 f（﹣1）＝f（1）＝2，
g（1）＝f（1）﹣3＝﹣1，g（﹣1）＝f（﹣1）﹣3＝﹣1，即 x2f（x）﹣3x2＞﹣1，
即 g（x）＜g（1）或 g（x）＞g（﹣1），
故﹣1＜x＜1，
故选：B．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的奇偶性问题，
考查转化思想，属于中档题．
二．填空题（共 4 小题）
13． （sinx+3x2）dx＝ 2π3 ．
【考点】67：定积分、微积分基本定理．
【分析】直接利用定积分运算法则求解即可．
【解答】解： （sinx+3x2）dx＝
＝（﹣cosπ+π3）﹣[﹣cos（﹣π）+（﹣π）3]＝2π3．
故答案为：
【点评】本题考查了定积分，关键是求解被积函数的原函数，属基础题．
14．已知函数 y＝f（x﹣3）的定义域是[﹣2，4]，则 y＝ 的定义域是 （0，
1] ．
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】根据 y＝f（x﹣3）的定义域是[﹣2，4]可求出 y＝f（x）的定义域为[﹣5，1]，从而
要使得函数 有意义，则需满足 ，解出 x 的范围即
可．
【解答】解：∵y＝f（x﹣3）的定义域是[﹣2，4]；
∴﹣2≤x≤4；
∴﹣5≤x﹣3≤1；
∴y＝f（x）的定义域为[﹣5，1]；
∴要使 有意义，则： ；
解得 0＜x≤1；
∴原函数的定义域是（0，1]．
故答案为：（0，1]．
【点评】考查函数定义域的定义及求法，已知 f[g（x）]的定义域求 f（x）的定义域的方法，
以及已知 f（x）的定义域求 f[g（x）]的定义域的方法．
15．将函数 f（x）＝cosx﹣ sinx（x∈R）的图象向左平移 α（α＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则 α 的最小值是
【考点】HJ：函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：函数 f（x）＝cosx﹣ sinx＝2cos（x+ ）的图象向左平移 α（α＞0）个单
位长度，可得 y＝2cos（x+α+ ）
所得到的图象关于原点对称，即 α+ ＝ ，k∈Z，
∵α＞0，
∴当 k＝0 时，此时 α 的最小值为 ；
故答案为： ．
【点评】本题主要考查函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
16．已知函数 f（x）＝ex﹣x，g（x）＝x2﹣bx+4，若对任意 x1∈（﹣1，1），存在 x2∈（3，4），
f（x1）≥g（x2），则实数 b 的取值范围为 [4，+∞） ．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】利用导数求函数 f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把对任意 x1∈（﹣1，1），存在 x2∈
（3，4），f（x1）≥g（x2）转化为 g（x）在（3，4）上的最小值小于等于 1 求解．
【解答】解：由 f（x）＝ex﹣x，得 f′（x）＝ex﹣1，
当 x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，当 x∈（0，1）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，
∴f（x）min＝f（0）＝1．
对任意 x1∈（﹣1，1），存在 x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），
即 g（x）在（3，4）上的最小值小于等于 1，
函数 g（x）＝x2﹣bx+4 的对称轴为 x＝ ．
当 ≤3，即 b≤6 时，g（x）在（3，4）上单调递增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，
由 13﹣3b≤1，得 b≥4，∴4≤b≤6；
当 ≥4，即 b≥8 时，g（x）在（3，4）上单调递减，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，
由 20﹣4b≤1，得 b≥ ，∴b≥8；当 3＜ ＜4，即 6＜b＜8 时，g（x）在（3，4）上先减后增， ，
由 ≤1，解得 或 b ，∴6＜b＜8．
综上，实数 b 的取值范围为[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想
以及转化思想的应用，考查计算能力，是中档题．
三．解答题（共 7 小题）
17．己知函数 f（x）＝sinxcosx+ cos2x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数 f（x）的图象向右平移 个单位得到函数 g（x）的图象，若 x∈[﹣
]，求 g（x）的值域．
【考点】HJ：函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】（Ⅰ）将已知函数转化为 f（x）＝Asin（ωx+φ）的形式，可以直接得到函数 f（x）
的最小正周期；
（Ⅱ）进一步利用函数图象的平移变换，求得 g（x）的关系式，最后利用函数的定义域求
出函数的值域．
【解答】解：（Ⅰ）因为 f（x）＝sinxcosx+ cos2x
＝ sin2x+ cos2x
＝sin（2x+ ）．
所以函数 f（x）的最小正周期 T＝ ＝π；
（Ⅱ）若将函数 f（x）的图象向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象对应的解析式是：
g（x）＝sin[2（x﹣ ）+ ]＝sin（2x+ ）．
由 x∈[﹣ ]知，﹣ ≤2x+ ．
所以当﹣ ＝2x+ 即 x＝﹣ 时，g（x）取得最小值﹣ ．
当 ＝2x+ 即 x＝ 时，g（x）取得最大值 1．因此 g（x）的值域是[﹣ ，1]．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的图象的变换，
利用函数的定义域求函数的值域，属于基础题型．
18．数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝2an﹣n．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）若数列{bn}为等差数列，且 b3＝a2，b7＝a3，求数列{（an+1）•bn}的前 n 项 Tn．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】（1）求出 a1＝1，通过数列的递推关系式判断数列{an+1}是首项为 2，公比为 2 的
等比数列．
（2）求出 ．设{bn}的公差为 d，求出 bn＝n，得到 ，然后
利用错位相减法求解数列的和即可．
【解答】解：（1）当 n＝1 时，S1＝2a1﹣1，所以 a1＝1
因为 Sn＝2an﹣n①，所以当 n≥2 时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣（n﹣1）②，
①﹣②得 an＝2an﹣2an﹣1﹣1，所以 an＝2an﹣1+1，
所以
所以{an+1}是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
（2）由（1）知， ，所以 ．a2＝3，a3＝7，所以 b3＝a2＝3，b7＝
a3＝7，
设{bn}的公差为 d，则 b7＝b3+（7﹣3）•d，所以 d＝1
所以 bn＝b3+（n﹣3）•d＝n，记 ，
所以 ，
则
以 上 两 式 相 减 得
，
所以 ．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的性质以及数列求和，考查计算能力．19．如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，且∠AOC＝120°，PA⊥平面 ABC，AB＝4，PA
＝2 ，D 是 PC 的中点，点 M 是⊙O 上的动点（不与 A，C 重合）．
（1）证明：AD⊥PB；
（2）当三棱锥 D﹣ACM 体积最大时，求面 MAD 与面 MCD 所成二面角的正弦值
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）计算 AC 可得 PA＝AC，故而 AD⊥PC，证明 BC⊥平面 PAC 可得 BC⊥AD，
于是 AD⊥平面 PBC，故而 AD⊥PB；
（2）棱锥体积最大时，△ACM 面积最大，从而得出 M 的位置，建立空间坐标系，求出平
面 MAD 和平面 MCD 的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．
【解答】（1）证明：∵AB 为圆 O 的直径，∴AC⊥BC，
∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，
∴PA⊥BC，又 PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面 PAC，又 AD⊂平面 PAC，
∴BC⊥AD．
∵∠AOC＝120°，AO＝OC＝ AB＝2，
∴AC＝2 ，又 PA＝2 ，
∴PA＝AC，又 D 是 PC 的中点，
∴AD⊥PC，又 PC∩BC＝C，
∴AD⊥平面 PBC，又 PB⊂平面 PBC，
∴AD⊥PB．
（2）当三棱锥 D﹣ACM 体积最大时，三角形 ACM 的面积最大，取 AC 的中点 E，M 点为 EO
延长线与圆 O 的交点．
∴DE∥AP，EM⊥AC，以 E 为原点，分别以 EC，EMED 为 x 轴、y 轴和 z 轴，建立如图所示空间直角坐标系．
又∵MA＝MC＝AC＝2 ，DE＝ PA＝ ，ME＝3．
∴M（0，3，0），D（0，0， ），A（﹣ ，0，0），C（ ，0，0），
∴ ＝（0，3，﹣ ）， ＝（ ，3，0）， ＝（﹣ ，3，0），
设平面 MAD 的法向量为 ＝（x1，y1，z1），则 ，即 ，
令 y1＝1 可得 ＝（﹣ ，1， ），
设平面 MCD 的法向量为 ＝（x2，y2，z2），则 ，即 ，
令 y2＝1 可得 ＝（ ，1， ），
设面 MAD 与面 MCD 所成二面角为 α，则|cosα|＝|cos＜ ＞|＝ ＝ ，
∴sinα＝ ＝ ．
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档
题．
20．通过随机询问某地 100 名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下 2×2 列联表：
男生 女生 合计
挑同桌 30 40 70
不挑同桌 20 10 30
总计 50 50 100
（Ⅰ）从这 50 名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本，现从
这 5 人中随机选取 3 人做深度采访，求这 3 名学生中至少有 2 名要挑同桌的概率；（Ⅱ）根据以上 2×2 列联表，是否有 95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同
桌”有关？
下面的临界值表供参考：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式： ，其中 n＝a+b+c+d）
【考点】BL：独立性检验．
【分析】（Ⅰ）根据分层抽样原理求出样本中挑同桌有 3 人，不挑同桌有 2 人，
利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值；
（Ⅱ）根据 2×2 列联表计算观测值，对照临界值表得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）根据分层抽样方法抽取容量为 5 的样本，挑同桌有 3 人，记为 A、B、
C，
不挑同桌有 2 人，记为 d、e；
从这 5 人中随机选取 3 人，基本事件为
ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，Ade，BCd，BCe，Bde，Cde 共 10 种；
这 3 名学生中至少有 2 名要挑同桌的事件为概率为
ABC，ABd，ABe，ACd，ACe，BCd，BCe，共 7 种；
故所求的概率为 P＝ ；
（Ⅱ）根据以上 2×2 列联表，计算观测值
K2＝ ≈4.7619＞3.841，
对照临界值表知，有 95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关．
【点评】本题考查了分层抽样原理与列举法求基本事件的概率和 2×2 列联表计算观测值
的问题，是综合题．
21．已知函数 f（x）＝ ，a∈R
（1）若 f（x）在其定义域上单调递减，求 a 的取值范围；
（2）若 f（x）存在两个不同极值点 x1 与 x2，且 x2≥ex1，求证： ＞2a
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出原函数的导函数，由 f（x）在其定义域上单调递减，得 ax+lnx≤0 在
（0，+∞）恒成立，分离参数 a，再由导数求最值得答案；
（2）若 f（x）存在两个不同极值点，x1，x2，且 x2≥ex1＞0，把证 ＞2a，转化
为证 a（x1﹣x2）+ ＞ ．转化为 a（x1﹣x2）+ ＝lnt+ ，利用导数证明即
可．
【解答】（1）解：由 f（x）＝ ax2﹣x+xlnx，得 f′（x）＝ax+lnx（x＞0），
∵f（x）在其定义域上单调递减，
∴ax+lnx≤0 在（0，+∞）恒成立，
即 a≤﹣ ，在（0，+∞）恒成立，
令 g（x）＝﹣ ，则 g′（x）＝ ，
当 x∈（0，e）时，g′（x）＜0，当 x∈（e，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．
∴g（x）min＝g（e）＝﹣ ．
则 a≤﹣ ；
（2）证明：若 f（x）存在两个不同极值点，x1，x2，且 x2≥ex1＞0．
欲证 ＞2a，只需证 2a（x12﹣x22）＞3x2﹣x1，
只需证 2a（x12﹣x22）＞2（x2﹣x1）+（x1+x2），
只需证 a（x1﹣x2）+ ＞ ．
∵f′（x1）＝f′（x2）＝0，ax1＝﹣lnx1，ax2＝﹣lnx2，
∴a（x1﹣x2）＝lnx2﹣lnx1＝ln∴a（x1﹣x2）+ ＝ln + ．
令 ＝t，则 t≥e，则 a（x1﹣x2）+ ＝lnt+ ．
设 h（t）＝lnt+ ，则 h′（t）＝ ＞0，
可知 h（t）在[e，+∞）上单调递增．
∴h（t）＝lnt+ ＞h（e）＝1+ ＝ ＞ ＝ ．
∴ ＞2a．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查数学转
化思想方法，是难题．
22．在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点为极
点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝sinθ．
（1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，P（﹣1，2），求|PA|•|PB|．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转
换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．
【解答】解：（1）直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数），
转换为直角坐标方程为：x+y﹣1＝0．
曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝sinθ．
转化内直角坐标方程为：y＝x2，（2）把直线 l 的参数方程为 ，（t 为参数），代入 y＝x2，
得到： （t1 和 t2 为 A、B 对应的参数），
所以：t1•t2＝﹣2，
则：|PA|•|PB|＝|t1•t2|＝2．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二
次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
23．已知函数 f（x）＝|x﹣1|+|x+1|．
（Ⅰ）求 f（x）≥3 的解集；
（Ⅱ）记函数 f（x）的最小值为 M，若 a＞0，b＞0，且 a+2b＝M，求 的最小值．
【考点】R4：绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）对 f（x）去绝对值，然后分别解不等式即可；
（Ⅱ）根据绝对值三角不等式求出 f（x）的最小值，然后利用基本不等式求出 的最小
值．
【解答】解：（Ⅰ）由 f（x）≥3 得
或 或
即 或 或
解得 或
∴解集为
（Ⅱ）∵f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|（x﹣1）﹣（x+1）|＝2
∴f（x）的最小值 M＝2∴a+2b＝2∵a＞0，b＞0
∴ ＝ ＝
≥
当且仅当 即 时等号成立∴ 的最小值为 ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属基础题．
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