邻实高 2017 级 19 年秋季第一学月考试 文科数学
出题人：杨雪 审题人：周永平
一、选择题（本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分）
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， ，若 ∥ ，则实数 a 的值为
A． B．2 或 C． 或 1 D．
4．函数 的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯
三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一
层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯多少（ ）
A．281 盏 B．9 盏 C．6 盏 D．3 盏
6．函数 f(x)＝ ·sinx 的图象大致为( )
A． B．
C． D．
7．定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数， 是钝角
三角形的两个锐角，则下列结论正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
8．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列
函数：
① ②
③ ④
其中“互为生成”函数的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
9． 若 分别是 的中点，则 的值
为（ ）
{ }2 1 2 3A = − ，，， { }2B x x n n N= = ∈，
{ }2− { }2 { }2 2− ， ∅
i1 3 i
− +
9 3 i10 10
− 1 3 i10 10
+ 9 3 i10 10
+ 1 3 i10 10
−
( ),2m a= ( )1,1n a= + ( )
2
3
− 1− 2− 2−
( ) 23sin 23f x x
π = −
7 13,12 12
π π
7,12 12
π π
,2 2
π π −
5 ,6 6
π π −
2 11 xe
− +
R ( )f x (2 ) ( )f x f x− = [ 3, 2]− − ,α β
(sin ) (cos )f fα β> (cos ) (cos )f fα β<
(cos ) (cos )f fα β> (sin ) (cos )f fα β<
( ) sin cosf x x x= + ( ) 2(sin cos )f x x x= +
( ) sinf x x= ( ) 2 sin 2f x x= +
2, 2 3,ABC AB AC BC∆ = = =在 中， ,D E ,AC ABA． B． C． D．
10．已知直线 y＝3x﹣1 与曲线 y＝ax+lnx 相切，则实数 a 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，在四边形 中， ， ，
，则 的值为
A． B． C． D．
12．定义在 上的函数 满足 为自然对数的底数），其中 为
的导函数，若 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 是虚数单位，复数 ，则在复平面上复数 对应的点坐标______.
14．“a2＝b2”是“a＝b”成立的______条件（填充要、充分不必要，必要不充分或既不充分也不
必要）．
15．如图所示，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75°的方向航行 n mile 到达海岛 B，
然后从 B 出发，沿北偏东 15°的方向航行 4 n mile 到达海岛 C．则 AC 的长为______________n
mile；
16．等差数列 的前 项和为 ，且 ，若对任意
，总有 ，则 的值是__________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题 12 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
13
2 2 13
2
− -2
ABCD 4=++ DCBDAB 4AB BD BD DC⋅ + ⋅ =
0AB BD BD DC⋅ = ⋅ = ( )AB DC AC+ ⋅
2 2 2 4 4 2
R ( )f x '( ) ( ) 2 (xf x f x e e− < '( )f x
( )f x 2(2) 4f e= ( )
2
xf x xe>
( ),1−∞ ( )1,+∞ ( ),2−∞ ( )2,+∞
i 2
1
iz i
= − z
(2 3 2)−
{ }na n nS ( )2 *16 15 2,n na S n n n n N− = − + ≥ ∈
*n N∈ n kS S≤ k
{ }na n nS 4 724, 63S S= =
{ }na
( )2 1n na
n nb a= + − ⋅ { }nb n nT18．（本小题 12 分） 大学就业指导中心对该校毕业生就业情况进行跟踪调查，发现不同的
学历对就业专业是否为毕业所学专业有影响，就业指导中心从 届的毕业生中，抽取了本
科和研究生毕业生各 名，得到下表中的数据.
就业专业
毕业学历 就业为所学专业 就业非所学专业
本科
研究生
（1）根据表中的数据，能否在犯错概率不超过 的前提下认为就业专业是否为毕业所学专
业与毕业生学历有关；
（2）为了进一步分析和了解本科毕业生就业的问题，按分层抽样的原则从本科毕业生中抽取
一个容量为 的样本，要从 人中任取 人参加座谈，求被选取的 人中至少有 人就业非毕
业所学专业的概率.
附： ,
0 0
H
2018
50
30 20
45 5
0.01
5 5 2 2 1
( )( )( )( )
2
2 (ad bc)nK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2(K k)P ≥ 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879邻实 2017 级 2019 年第一学月考试数学文科答案
评卷人 得分
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．复数 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．已知向量 ， ，若 ，则实数 a 的值为
A． B．2 或 C． 或 1 D．
【答案】C
4．函数 的一个单调递增区间是
A． B． C． D．
【答案】A
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下
一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯：
A．281 盏 B．9 盏 C．6 盏 D．3 盏
【答案】D
6．函数 f(x)＝ ·sinx 的图象大致为()
{ }2 1 2 3A = − ，，， { }2B x x n n N= = ∈， A B =
{ }2− { }2 { }2 2− ， ∅
i1 3 i
− +
9 3 i10 10
− 1 3 i10 10
+ 9 3 i10 10
+ 1 3 i10 10
−
( ),2m a= ( )1,1n a= + / /m n ( )
2
3
− 1− 2− 2−
( ) 23sin 23f x x
π = −
7 13,12 12
π π
7,12 12
π π
,2 2
π π −
5 ,6 6
π π −
2 11 xe
− + A． B．
C．
D．
【答案】A
7．定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数， 是钝角
三角形的两个锐角，则下列结论正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
8．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列
函数：
① ②
③ ④
其中“互为生成”函数的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
9． 若 分别是 的中点，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
10．已知直线 y＝3x﹣1 与曲线 y＝ax+lnx 相切，则实数 a 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
R ( )f x (2 ) ( )f x f x− = [ 3, 2]− − ,α β
(sin ) (cos )f fα β> (cos ) (cos )f fα β<
(cos ) (cos )f fα β> (sin ) (cos )f fα β<
( ) sin cosf x x x= + ( ) 2(sin cos )f x x x= +
( ) sinf x x= ( ) 2 sin 2f x x= +
2, 2 3,ABC AB AC BC∆ = = =在 中， ,D E ,AC AB CE BD
13
2 2 13
2
− -2【答案】B
11．如图，在四边形 中， ， ，
，则 的值为
A． B． C． D．
【答案】C
12．定义在 上的函数 满足 为自然对数的底数），其中 为
的导函数，若 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
评卷人 得分
二、填空题
13．已知 是虚数单位，复数 ，则在复平面上复数 对应的点坐标______.
【答案】
14．“a2＝b2”是“a＝b”成立的______条件（填充要、充分不必要，必要不充分或既不充分也不
必要）．
【答案】必要不充分
15．如图所示，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75°的方向航行 n mile 到达海岛 B，
然后从 B 出发，沿北偏东 15°的方向航行 4 n mile 到达海岛 C．则
（1）AC 的长为______________n mile；
（2）如果下次航行直接从 A 出发到达 C，∠CAB 的大小为______________．
ABCD 4AB BD DC+ + = 4AB BD BD DC⋅ + ⋅ =
0AB BD BD DC⋅ = ⋅ = ( )AB DC AC+ ⋅
2 2 2 4 4 2
R ( )f x '( ) ( ) 2 (xf x f x e e− < '( )f x
( )f x 2(2) 4f e= ( )
2
xf x xe>
( ),1−∞ ( )1,+∞ ( ),2−∞ ( )2,+∞
i 2
1
iz i
= − z
(1,1).
(2 3 2)−【答案】 . .
16．等差数列 的前 项和为 ，且 ，若对任意
，总有 ，则 的值是__________．
【答案】7
评卷人 得分
三、解答题
17．已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
18． 大学就业指导中心对该校毕业生就业情况进行跟踪调查，发现不同的学历对就业专业
是否为毕业所学专业有影响，就业指导中心从 届的毕业生中，抽取了本科和研究生毕业
生各 名，得到下表中的数据.
就业专业
毕业学历
就业为所学专业 就业非所学专业
本科
研究生
（1）根据表中的数据，能否在犯错概率不超过 的前提下认为就业专业是否为毕业所学专
2 6 45°
{ }na n nS ( )2 *16 15 2,n na S n n n n N− = − + ≥ ∈
*n N∈ n kS S≤ k
{ }na n nS 4 724, 63S S= =
{ }na
( )2 1n na
n nb a= + − ⋅ { }nb n nT
2 1na n= +
( ) ( )
( ) ( )
*
*
8 4 1
2 ,3{
8 4 1
2 2 1,3
n
n n
n n k k N
T
n n k k N
−
+ = ∈
=
−
− − = − ∈
H
2018
50
30 20
45 5
0.01业与毕业生学历有关；
（2）为了进一步分析和了解本科毕业生就业的问题，按分层抽样的原则从本科毕业生中抽取
一个容量为 的样本，要从 人中任取 人参加座谈，求被选取的 人中至少有 人就业非毕
业所学专业的概率.
附： ,
【答案】（1）能在犯错概率不超过 的前提下认为就业专业是否为毕业生所学专业与毕业
生学历有关，详见解析（2）
19．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ．
（Ⅰ）求角 的大小．
（Ⅱ）若函数 ， ，在 处取到最大值 ，
求 的面积．
【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ）
20．某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘
的中轴线 上设计一个观景台 （ 与 不重合），其中 段建设架空木栈
道，已知 ，设建设的架空木栈道的总长为 .
5 5 2 2 1
( )( )( )( )
2
2 (ad bc)nK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2(K k)P ≥ 0.1 0.05 0.025 0.010 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
0.01
7
10
ABC△ A B C a b c tan 21 tan
A c
B b
+ =
A
2 π( ) 2sin 3 cos24f x x x = + −
π π,4 2x ∈ x B= a
ABC△
3A
π= 9 3 3
4
+
OC D D ,O C , ,AD BD CD
2AB km= ykm（1）设 ，将 表示成 的函数关系式，并写出 的取值范围；
（2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短.
【答案】（1） ；（2）见解析
21．已知函数 为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若 ，证明：关于 的不等式 在 上恒成立．
【答案】（Ⅰ） 的单调递增区间为 和 ，
单调递减区间为 ；（Ⅱ）证明见解析.
22．在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.直线 的方程为
，以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；
（2）若直线 交曲线 于 ， 两点，求 的值.
【答案】（1） 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为
（2）
(rad)DAO θ∠ = y θ θ
2 1 tan 0,cos 4
πy θ θθ
= + − ∈ ，
( )2( ) (xf x x mx e e= −
( )f x
2,2 1 0m n= + x ( ) 1 xnf x e+ ( ,0]−∞
( )f x
22 4, 2
m m − − +−∞
22 4 ,2
m m − + + +∞
2 22 4 2 4,2 2
m m m m − − + − + +
C
2 cos ,
2 sin
x
y
θ
θ
= +
= +
θ l
3 0x y− = O x
C l
l C P Q OQ OP
OP OQ
+
C 2 4 2 sin 7 04
πρ ρ θ − + + = l
( )
3 R
πθ ρ= ∈ 2 8 3
7
+
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