2019-2020 学年度第一学期高三 9 月份考试
理科数学试题
命题人： 审题人：
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1、已知集合 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2、“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要
条件
3、在等比数列 中，若 ，则 ( )
A． B． C． D．
4、已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
5、已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6、在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， ， ， ，
则 （ ）
A． 或 B． C． D．
7、将函数 的图象向右平移 个周期后得到的函数为 ，则
的图象的一条对称轴可以是（ ）
52log 2=b 1ln 3c =
a b c> > a c b> > b a c> > b c a> >
ABC∆ A B C a b c 60A = ° 4 3a= 4b =
B =
30B = ° 150B = ° 150B = ° 30B = ° 60B = °
2( ) 2sin 3 3f x x
π = +
1
2
( )g x ( )g x
{ }2| 4 5 , { | 2}A x x x B x x= − < = <
1.2 A− ∈ 15 B∉ B A⊆ { | 5 4}A B x x= − < 0y > lg 2 lg8 lg 2x y+ = 1 1
3x y
+
2 2 2 3
( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )1 2f =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2020f f f f+ + + + =
2020− 2 0 2020
( ) ( ) 3 2ln 3,af x x x g x x xx
= + + = − ( ) ( )1 2 1 2
1, ,2 , 03x x f x g x ∀ ∈ − ≥
a
[ )0,+∞ [ )1,+∞ [ )2,+∞ [ )3,+∞
2
0 0 0, 2 0x x x m∃ ∈ − + ≤R m
πsin 3y x = +
30, 2
x sin 3 cos 1y x x= + +
3 3×填入 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正
方形叫做 阶幻方.记 阶幻方的对角线上的数字之和为 ，如图三阶幻方的 ，那么
的值为 .
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分 12 分）假设某种设备使用的年限 （年）与所支出的维修费用 （万元）
有以下统计资料：
使用年限 2 3 4 5 6
维修费用 2 4 5 6 7
若由资料知 对 呈线性相关关系.试求：
（1）求 ；（2）线性回归方程 ；（3）估计使用 10 年时，维修费用是多少？
附：利用“最小二乘法”计算 的值时,可根据以下公式：
18、（本小题满分 12 分）在 中，角 的对边分别为 ，且
.
（1）求 的大小；
（2）若 的外接圆的半径为 ，面积为 ，求 的周长.
19、（本小题满分 12 分）如图四棱锥 中，底面 是正方形，
，且 ， 为 中点.
（1）求证： 平面 ；
x y
x
y
y x
,x y
1
2 2
1
( )
ˆ
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x n x
=
=
− ⋅
=
−
∑
∑
ˆˆa y bx= −
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
2 cos 2a B c b= +
A∠
ABC∆ 2 3 3 3 ABC∆
21,2,3, ,n n n×
n n nN 3 15N =
9N
ˆ ˆy bx a= +
ˆˆ,a b
P ABCD− ABCD
,PB BC PD CD⊥ ⊥ PA AB= E PD
PA ⊥ ABCD（2）求二面角 的正弦值.
20、（本小题满分 12 分）已知抛物线 C： 的焦点为 F，抛物线 C 与直线 ：
的一个交点的横坐标为 8.
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)不过原点的直线 与 垂直，且与抛物线交于不同的两点 A，B，若线段 AB 的中点为 P，且
|OP|＝|PB|，求△FAB 的面积．
21、（原创题）（本小题满分 12 分）已知函数
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）若 恒成立，求 的取值范围；
（3）已知 ，证明
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，
则按所做的第一个题目计分．
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求 的直角坐标方程；
（2）已知 ， 与 的交点为 ，求 的值．
23、已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求实数 的取值范围．
A BE C− −
2 2 ( 0)y px p= > 1l
y x= −
2l 1l
( ) lnf x x ax= −
=1a ( )f x
( ) 0f x ≤ a
b a e> > b aa b>
xoy 1C
3 101 10
103 10
x t
y t
= −
= +
t
x 2C 8sin 6cosρ θ θ= +
2C
( )1,3P 1C 2C ,A B PA PB⋅
( ) 2 2 ( )f x x a x a R= − + − ∈
2a = ( ) 2f x >
[ 2,1]x∈ − ( ) 3 2f x x≤ − a2019-2020 学年度第一学期高三 9 月份考试
理科数学答案
1、【答案】C
【解析】 ，
2、【答案】B
【解析】试题分析： 为实数；复数 为纯虚数
，所以“ ”是“复数 为纯虚数”的必要不充分
条件，选 B.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若 p 则 q”、“若 q 则 p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒
q”为真，则 p 是 q 的充分条件．
2．等价法：利用 p⇒q 与非 q⇒非 p，q⇒p 与非 p⇒非 q，p⇔q 与非 q⇔非 p 的等价关系，对于
条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若 A⊆B，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A＝B，则 A 是 B 的充要条
件．
3、【答案】D
【解析】 ，则 故选：D
4、【答案】C
【解析】因为 ， ，所以由根的存在性定理可知，故选 B.
5、【答案】A
【解析】 ， 且
，即 本题正确选项：
6、【答案】C
【解析】解： ， ，
1.2 12 2 2a = > = 5 5 52log 2 log 4 log 5 1b = = < = 5 5log 4 log 1 0b = > =
1ln ln3 ln 13c e= = − < − = − 1 0 1 2c b a< − < < < < < a b c∴ > > A
60A = ° 4 3a= 4b =
{ } { }1 5 , 0 4A x x B x x= − < < = ≤ (2) 2 0f = − 60B∴ < ° 30B∴ = °
2( ) 2sin 3 3f x x
π = +
2
3
π 1
2
( )g x ( ) 22sin 3 2sin 33 3 3g x x x
π π π = − + = − 3 3 2x k
π ππ− = +
k Z∈ 5
3 18
kx
π π= + k Z∈ 0k = 5
18x
π=
1 13 3n n n n nS S a a a+ += + + ⇒ − = ⇒ { }na
4 5 23a a+ = 1 1 8
12 7 23 1, 8 8 7 3 922a d a S+ = ⇒ = = + × × × =
4 5 1 8a a a a+ = +
∥a b 4 18x = 9
2x =
a b 9
2x ≠ 3 24x⋅ = +a b a b
0⋅ >a b 3 24 0x + > 8x > − 9
2x ≠ 9 98, ,2 2x ∈ − +∞
( )1 1 1 133 3x yx y x y
+ = + + =
3 32 23 3
y x y x
x y x y
+ + ≥ + ⋅ =
1
2
=【解析】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，
可得 f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有 f（x+2）=f（﹣x），
即 f（x+2）=﹣f（x），进而得到 f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
f（x）是周期为 4 的函数，若 f（1）=2，可得 f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，
可得 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=505×0=0。故选：C．
12、【答案】B
【解析】由题意 得
， 所以 在 单调递减，在 单调递增，所
以
，则 得 令
， ， ，在 上 ，
则 单 调 递 减 ， 又 ， 所 以 在 单 调 递 增 ， 在 单 调 递 减 ，
，所以 ，故选
13、【答案】
【解析】因为命题“ ”是假命题，所以
为真命题，即 ，故答案为 .
14、【答案】
【解析】 ，所以斜率为 ，切线方程为
( ) ( )1 2 1 2
1, ,2 , 03x x f x g x ∀ ∈ − ≥
( ) ( )min maxf x g x≥
( ) 3 2g x x x= − ( )´
23 2g x x x= − ( )g x 1 2
3 3
， 2 23
，
( ) ( ) ( )1 2 2 43maxg x max g g g
= = =
， ( ) ln 3 4af x x x x
= + + > 2a x x lnx≥ −
( ) 2h x x x lnx= − ( ) ( ) 1 2t x h x xlnx x′= = − − ( ) 2 3t x lnx′ = − − 1,23
( ) 0t x′ <
( )h x′ ( )1 0h = ( )h x 1 13
， [ ]1 2，
( ) ( )1 1manh x h= = 1a ≥ B
( )1,+∞
2
0 0 0, 2 0x x x m∃ ∈ − + ≤R 2, 2 0x x x m∀ ∈ − + >R
4 4 0, 1m m∆ = − < > ( )1,+∞
2 3 0x y− + =
πcos 3y x′ = +
π 1cos 0 3 2
+ =
3 1 , 2 3 0.2 2y x x y− = − + =15、【答案】
【解析】因为 为三角形中的最小角，所以 ，因此
考点：三角函数值域
16、【答案】369
【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，
，
，
，
．
故 .
17、【答案】（1） (2) （3）维修费用为 12 万元
【解析】试题分析：（1）利用 的计算公式即可得出；（2）利用 的计算公式得出结果，
再求 ；
（3）利用第（2）问得出的回归方程，计算 x=10 时的结果.
（3）当 x=10 时，y=12，所以该设备使用 10 年，维修费用的估计值为 12 万元.
4, 4.8x y= = 1.2y x=
x y， b
Λ
a
Λ
3 1,3 +
x (0, ]3x
π∈
sin 3 cos 1 2sin( ) 1 [ 3 1,3]3y x x x
π= + + = + + ∈ +
3
1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9) 153N = + + + + + + + + =
4
1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16) 344N = + + + + + + + + + + + + + + + =
5
1(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25) 655N = + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + =
…
2 2 2
21 1 (1 ) ( 1)(1 2 3 4 5 ) 2 2n
n n n nN nn n
+ +∴ = + + + + +…+ = × =
2
9
9(9 1) 9 41 3692N
+= = × =18、【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得， ，
由三角形内角和定理和诱导公式可得，
，
代入上式可得， ，
所以 .
因为 ，所以 ，即 .由于 ，所以 .
（2）因为 的外接圆的半径为 ，由正弦定理可得，
.又 的面积为 ，所以 ，即
，所以 .
由余弦定理得 ，则 ，
所以 ，即 .所以 的周长 .
19、【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）证明：∵底面 为正方形，∴ ，
又 ，∴ 平面 ，∴ .
同理 ，∴ 平面 .
（2）建立如图的空间直角坐标系 ，不妨设正方形的边长为 2
则 ，设 为平面 的一个法向量，
又 ，
，令 ，得 .
同理 是平面 的一个法向量，
2
3
π
6 4 3+
2 cos 2a B c b= + 2sin cos 2sin sinA B C B= +
sin sin( ( )) sin( )C A B A Bπ= − + = + sin cos cos sin= +A B A B
2sin cos 2sin cos 2cos sin sinA B A B A B B= + +
2cos sin sin 0A B B+ =
sin 0B > 2cos 1 0A+ = 1cos 2A = − 0 A π< < 2
3A = π
ABC∆ 2 3
34 3sin 4 3 62a A= = × = ABC∆ 3 3 1 sin 3 32 bc A =
1 3 3 32 2bc× = 12bc =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 236 ( ) ( ) 12b c bc b c bc b c= + + = + − = + −
2( ) 48b c+ = 4 3b c+ = ABC∆ 6 4 3a b c+ + = +
15
5
ABCD BC AB⊥
,BC PB AB PB B⊥ ∩ = BC ⊥ PAB BC PA⊥
,CD PA BC CD C⊥ ∩ = PA ⊥ ABCD
A xyz−
( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 2,2,0 , 0,1,1 , 2,0,0A C E B ( ), ,m x y z = ABE
( ) ( )0,1,1 , 2,0,0AE AB= =
0
2 0
n AE y z
n AB x
⋅ = + =
⋅ = =
1, 1y z= − = ( )0, 1,1m = −
( )1,0,2n = BCE则 .
∴二面角 的正弦值为 .
20、【答案】（1） （2） .
【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， 2 分
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为 y2＝8x. 4 分
(2)直线 l2 与 l1 垂直，故可设直线 l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线 l2
与 x 轴的交点为 M. 6 分
由Error!得 y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，
∴x1x2＝y21y22
64
＝m2. 8 分
由题意可知 OA⊥OB，即 x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8 或 m＝0(舍)，
∴直线 l2：x＝y＋8，M(8,0). 10 分
故 S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝1
2·|FM|·|y 1－y2|
＝3 (y1＋y2)2－4y1y2＝24 5. 12 分
[规律方法]
1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，
可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而
不求”“整体代入”等方法．
3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
21、【答案】（1）当 时，函数 在区间 单调递增， 单调递减；（2）
；（3）证明过程见解析
【解析】：由题意可知，函数 的定义域为： 且
2 10cos< , 52 5
m nm n m n
⋅>= = =
×
A BE C− − 15
5
2 8y x= 24 5
=1a ( )f x ( )0 1， ( )1 +∞，
1a e
≥
( ) lnf x x ax= − ( )0 +∞， 1( )f x ax
′ = −（1）当 时， ，
若 ，则 ； 若 ，则
所以函数 在区间 单调递增， 单调递减。
（2）若 恒 成 立 ， 则 恒 成 立 ， 又 因 为 所 以 分 离 变 量 得
恒成立，设 ，则 ，所以 ，当 时，
；当 时， ，即函数 在 上单调递增，在
上单调递减。当 时，函数 取最大值， ，所以
（3）欲证 ，两边取对数，只需证明 ，由
（2）可知 在 上单调递减，且 所以 ，命题得证。
22．【答案】（1） ；（2）20
【解析】（1）由 ，得 ，
∴ ，即 .
（2）设 ，
把 代入 ，
得 ，则 是该方程的两个实数根，
∴ ，故 ．
23、【答案】（1） 或 ；（2）空集.
【解析】（1）不等式 ，即 .
可得 ，或 或 ，
=1a 1 1( ) 1= xf x x x
−′ = −
( ) 0f x′ > 0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x >
( )f x ( )0 1， ( )1 +∞，
( ) 0f x ≤ ln 0x ax− ≤ ( )0 +x∈ ∞，
ln xa x
≥ ln( ) xg x x
= max( )a g x≥
2
1 ln( ) xg x x
−′ = ( ) 0g x′ ≤
( )+x e∈ ∞， ( ) 0g x′ ≥ (0, )x e∈ ln( ) xg x x
= (0, )e ( )+e ∞，
=x e ln( ) xg x x
= max
1( ) = ( )g x g e e
= 1a e
≥
b aa b> ln lnb aa b> ln lnb a a b⇐ > ln lna b
a b
⇐ >
ln( ) xg x x
= ( )+e ∞， b a e> > ( ) ( )g a g b>
( ) ( )2 23 4 25x y− + − =
8sin 6cosρ θ θ= + 2 8 sin 6 cosρ ρ θ ρ θ= +
2 2 6 8 0x y x y+ − − = ( ) ( )2 23 4 25x y− + − =
1 1
3 10 101 ,310 10A t t
− + 2 2
3 10 101 ,310 10B t t
− +
3 101 10
103 10
x t
y t
= −
= +
( ) ( )2 23 4 25x y− + − =
2 10 20 0t t+ − = 1 2,t t
1 2 20t t = − 1 2 20PA PB t t⋅ = =
2{ | 3x x < ( ) 4cos(2 )6f x x
π= −
( ) 2f x > 2 2 2 2x x− + − >
2
2 2 2 2
x
x x
≥
− + − >
1 2
2 2 2 2
x
x x
<
1
2 2 2 2
x
x x
≤
− − + >解得 或 ，所以不等式的解集为 .
（2）当 时， ，所以 ，
由 得 ，即 ，
则 ，该不等式无解，所以实数 的取值范围是空集（或者 ）.
2
3x < 2x > 2{ | 2}3x x x< >或
[ 2,1]x∈ − 2 2 0x − < ( ) 2 2f x x a x= − + −
( ) 3 2f x x≤ − 1x a− ≤ 1 1a x a− ≤ ≤ +
1 2
1 1
a
a
− ≤ −
+ ≥
a ∅
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