2019-2020 学年度第一学期高三 9 月份考试
文科数学试题
命题人: 审题人:
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1.函数 的定义域为 ,值域为 ,全集 ,则集合 ( )
A. B. C. D.
2.在复平面内,复数 (其中 是虚数单位)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象
限
3. 已知等差数列 的前 n 项和为 ,若 ,则 =( )
A.28 B.32 C.56 D.24
4.一个几何体三视图所示,侧视图上的数值是对应线段的长度,则该几何
体的体积为( )
A. B.
C. D.
5.已知 ,过 作 的两条切线 ,其中 为切点,则经
过 三点的圆的半径为
A. B. C. D.
6、在 中,角 , , 所对的边分别是 , , , , , ,
则 ( )
A. 或 B. C. D.
7、 , 是定义在 R 上的函数, ,则“ , 均为偶函数”
是“ 为偶函数”的( )
ABC∆ A B C a b c 60A = ° 4 3a= 4b =
B =
30B = ° 150B = ° 150B = ° 30B = ° 60B = °
2ln(1 )y x= − A B U R= UA B =
( 1, )− +∞ ( ,0]−∞ (0,1) [0,1)
1
2 i+ i
}{ na nS 3 5 8a a+ = 7S
3π 7
3
π
7
2
π
4 6π +
1a > ( ,0)P a 2 2: 1O x y+ = ,PA PB ,A B
, ,P A B
2 1
2
a − 1
2
a + a
2
a
( )f x ( )g x ( ) ( ) ( )h x f x g x= + ( )f x ( )g x
( )h x
5
2
1A.充要条件 B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件
8、设 分别为 的三边 的中点,则 ( )
A. B. C. D.
9 已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
10、已知 是定义域为 的奇函数,满足 ,若 ,则
( )
A. B. C. D.
11、将函数 的图象向右移 个单位后,所得图象关于 轴对称,
则 的最小值为
A.2 B.1 C. D.
12、已知函数 ,若 ,
则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13、若命题“ ”是假命题,则 的取值范围是__________.
14、曲线 在点(1,2)处的切线方程为______________.
15.《九章算术》中研究盈不足问题时,有一道题是“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一
尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”题意即为 “有厚墙五尺,两
只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进
一尺,以后每天减半,问几天后两鼠相遇?”荆州古城墙某处厚 33 尺,两硕鼠按上述方式打
洞,相遇时是第 天.(用整数作答)
FED ,, ABC∆ ABCABC ,, EB FC+ =
AD 1
2 AD 1
2 BC
BC
( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )1 2f =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2020f f f f+ + + + =
2020− 2 0 2020
2sin( )( 0)6y x
πω ω= + > 2
3
π y
ω
1
2
1
4
( ) ( ) 3 2ln 3,= + + = −af x x g x x xx
( ) ( )1 2 1 2
1, ,2 , 03x x f x g x ∀ ∈ − ≥
a
[ )0,+∞ [ )1,+∞ [ )2,+∞ [ )3,+∞
2
0 0 0, 2 0x x x m∃ ∈ − + ≤R m
2 1y x x
= +16、如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直
线 CC1 的距离的最小值为__________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分 12 分)17.(12 分)
已知 .
(1)求 的最大值、最小值;
(2) 为 的内角平分线,已知 , ,
求 .
18、(本小题满分 12 分)设数列 的前 项和为 ,已知 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
19、(本小题满分 12 分)
如图,四棱锥 中,底面 是边长为 2 的正方形,
其它四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形, 为 的中点.
(1)在侧棱 上找一点 ,使 ∥平面 ,
并证明你的结论;
(2)在(1)的条件下求三棱锥 的体积.
20 、( 本 小 题 满 分 12 分 )已 知 过 原 点 的 动 直 线 与 圆
相交于不同的两点 , .
l
2 2
1 : 6 5 0C x y x+ - + = A B
1D
1B
P
D
1C
C
E
BA
1A
( ) 12sin( )cos 3, 0,6 4f x x x x
π π = + − ∈
( )f x
CD ABC∆ max min( ) , ( )AC f x BC f x= = 2 2CD =
C∠
}{ na n nS )(12 *NnaS nn ∈−=
}{ na
*Nn∈ 92)1( −≥+ nSk n k
V ABCD− ABCD
5 E AB
VC F BF VDE
E BDF−(1)求圆 的圆心坐标;(2)求线段 的中点 的轨迹 的方程;
(3)是否存在实数 ,使得直线 与曲线 只有一个交点:若存在,求出 的
取值范围;若不存在,说明理由.
21、已知函数 .
(1)当 时,试求 的单调区间;
(2)若 在 内有极值,试求 的取值范围.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做
的第一个题目计分.
22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点
为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求 的直角坐标方程;
(2)已知 , 与 的交点为 ,求 的值.
23、已知函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 时不等式 成立,求实数 的取值范围.
1C AB M C
k : ( 4)L y k x= - C k
( ) ( )ln
xef x a x xx
= − −
0a ≤ ( )f x
( )f x ( )0,1 a
xoy 1C
3 101 10
103 10
x t
y t
= −
= +
t
x 2C 8sin 6cosρ θ θ= +
2C
( )1,3P 1C 2C ,A B PA PB⋅
( ) 2 2 ( )f x x a x a R= − + − ∈
2a = ( ) 2f x >
[ 2,1]x∈ − ( ) 3 2f x x≤ − a2019-2020 学年度第一学期高三 9 月份考试
文科数学试题
命题人:杨建楠 审题人:赵瑞杰
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
第Ⅰ卷
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的)
1.函数 的定义域为 ,值域为 ,全集 ,则集合 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
2.在复平面内,复数 (其中 是虚数单位)对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象
限
【答案】D
3. 已知等差数列 的前 n 项和为 ,若 ,则 =( )
A.28 B.32 C.56 D.24
解析:S7=7 × (a1+a7)
2 =7 × (a3+a5)
2 =28.故选 A.
答案:A
4.一个几何体三视图所示,侧视图上的数值是对应线段的长度,则该几何体的体积为
A. B.
C. D.
【答案】A
5.已知 ,过 作 的两条切线 ,其中
为切点,则经过 三点的圆的半径为
A. B. C. D.
【答案】D6、在 中,角 , , 所对的边分别是 , , , , , ,
则 ( )
A. 或 B.
C. D.
【答案】C
7、 , 是定义在 R 上的函数, ,则“ , 均为偶函数”
是“ 为偶函数”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件
【答案】:B
8、设 分别为 的三边 的中点,则
A. B. C. D.
【答案】A
9、已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( )
A.(-∞,-1]
B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.[3,+∞)
D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
答案:D
10、已知 是定义域为 的奇函数,满足 ,若 ,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
11、将函数 的图象向右移 个单位后,所得图象关于 轴对称,
则 的最小值为
A.2 B.1 C. D.
【答案】B
12、已知函数 ,若 ,
则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
第Ⅱ卷
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13、若命题“ ”是假命题,则 的取值范围是__________.
【答案】
14、曲线 在点(1,2)处的切线方程为______________.
【答案】
15.《九章算术》中研究盈不足问题时,有一道题是“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一
尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢?”题意即为“有厚墙五尺,两
只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进
一尺,以后每天减半,问几天后两鼠相遇?” 荆州古城墙某处厚 33 尺,两硕鼠按上述方式
打洞,相遇时是第 天.(用整数作答)
【答案】6
16 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在线段 D1E 上,点 P 到直
线 CC1 的距离的最小值为__________.【答案】
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分 12 分)17.(12 分)
已知 .
(1)求 的最大值、最小值;
(2) 为 的内角平分线,已知 , ,
求 .
【答案】17.(1) ………………4 分
在 上↑, 上↓
………………6 分
△ 中,
△ 中
………………8 分
△ 中,△ 中,
, ………………12 分
18、(本小题满分 12 分)设数列 的前 项和为 ,已知 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
试题解析:(1)令 ,解得 .
由 ,有 ,
两式相减得 ,化简得 (n≥2),
∴ 数列 是以首项为 1,公比为 2 的等比数列,
∴ 数列 的通项公式 .
(2)由 ≥ ,整理得 k≥ ,
令 ,则 ,
n=1,2,3,4,5 时, ,∴ .
n=6,7,8,…时, ,即 .
∵b5= < , ∴ 的最大值是 .
∴实数 k 的取值范围是 .
19、(本小题满分 12 分)
如图,四棱锥 中,底面 是边长为 2 的正方形,其它四个侧面都是侧棱
长为 的等腰三角形, 为 的中点.
(1)在侧棱 上找一点 ,使 ∥平面 ,
并证明你的结论;
(2)在(1)的条件下求三棱锥 的体积.【答案】(1) 为 的中点 ………………1 分
取 的中点为 ,连
为正方形, 为 的中点
平行且等于 ,
又
平面
平行平面 ………………6 分
(2) 为 的中点,
为正四棱锥
在平面 的射影为 的中点
………………12 分
20、(本小题满分 12 分)已知过原点的动直线 与圆 相交于不同的两点
, .
(1)求圆 的圆心坐标;
(2)求线段 的中点 的轨迹 的方程;
(3)是否存在实数 ,使得直线 与曲线 只有一个交点:若存在,求出 的
取值范围;若不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2) ;(3)
.
【解析】(1)由 得 ,∴ 圆 的圆心坐标为 ;
(3)由(2)知点 的轨迹是以 为圆心 为半径的部分圆弧 (如下图所示,
不包括两端点),且 , ,又直线 : 过定点 ,
当直线 与圆 相切时,由 得 ,又
,结合上图可知当 时,直线
: 与曲线 只有一个交点.
21、已知函数 .
(1)当 时,试求 的单调区间;
(2)若 在 内有极值,试求 的取值范围.【解析】(Ⅰ) ,
.
当 时,对于 , 恒成立,
所以 ⇒ ; ⇒ 0.
所以 单调增区间为 ,单调减区间为 .
(Ⅱ)若 在 内有极值,则 在 内有解.
令 ⇒ ⇒ .
设 ,
所以 , 当 时, 恒成立,
所以 单调递减.
又因为 ,又当 时, ,
即 在 上的值域为 ,
所以 当 时, 有解.
设 ,则 ,
所以 在 单调递减.
因为 , ,
所以 在 有唯一解 .
所以有:0
0
极小值
所以 当 时, 在 内有极值且唯一.
当 时,当 时, 恒成立, 单调递增,不成立.
综上, 的取值范围为 .
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做
的第一个题目计分.
22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点
为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求 的直角坐标方程;
(2)已知 , 与 的交点为 ,求 的值.
【答案】(1) ;(2)20
【解析】
(1)由 ,得 ,
∴ ,即 .
(2)设 ,
把 代入 ,得 ,则 是该方程的两个实数根,
∴ ,故 .
23、已知函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)若 时不等式 成立,求实数 的取值范围.
【答案】(1) 或 ;(2)空集.
【解析】
解:(1)不等式 ,即 .
可得 ,或 或 ,
解得 或 ,所以不等式的解集为 .
(2)当 时, ,所以 ,
由 得 ,即 ,
则 ,该不等式无解,
所以实数 的取值范围是空集(或者 ).