漳平一中 2019-2020 学年第一学期第一次月考高二数学试题
（考试时间：120分钟总分：150分）
第 I 卷（选择题共 60 分）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 已知 的取值如下表所示,若 与 线性相关,且 ,则 （）
x 0 1 3 4
y
A. B. C. D.
2. 随机调查某校 50 个学生的午餐费,结果如下表,这 50 个学生午餐费的平均值和方差分别
是( )
餐费 元 3 4 5
人数 10 20 20
A. 4, B. 4, C. , D. ,
3. 抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，点 在抛物线上，则抛物线的方程为()
A. B. C. D. 或
4. 一个人打靶时连续射击两次，事件“两次都中靶”的对立事件是（ ）
A. 至多有一次中靶 B. 至少有一次中靶
C. 只有一次中靶 D. 两次都不中
5. 连续掷两次骰子，先后得到的点数 为点 的坐标，那么点 在圆
内部的概率是
A. B. C. D.
6. 在△ABC 中，已知 A（-4，0），B（4，0），且 ，则顶点 C 的轨
迹方程是（ ）
A. B. C. D.
yx, y x axy += 5.0 =a
x )52,5(−
xy 22 −= xy 42 −= xy 22 = xy 42 −= xy 362 −=
nm, ),( nmp p 1722 =+ yx
3
1
5
2
9
2
9
4
CBA sin2
1sinsin =−
2 2
14 12
x y =－ )2(1124
22
−>=+ bab
x
a
y
122 =− yx
21,kk 21 kk +漳平一中 2019-2020 学年第一学期第一次月考高二数学试题
参考答案
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B A C B B B C D C A
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13.14014. 15. 616.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.（10 分）解：（1）∵甲班学生的平均分是 85，
∴ ，∴x=5，…………………1 分
乙班学生成绩的中位数是 83， y=3；…………………2 分
(2)甲班 7 位学生成绩的方差为 s2= =40；…5
分
（3）甲班成绩在 90 分以上的学生有两名，分别记为 A，B，
乙班成绩在 90 分以上的学生有三名，分别记为 C，D，E，
从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），
（B，C），（B，D），（B，E），
（C，D），（C，E），
（D，E）
其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），
（B，C），（B，D），（B，E）．
记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生，
甲班至少有一名学生”为事件 M，则 ．
答：从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为 ．…10
分
18.(12 分)解：（1）设区间[75，85]内的频率为 x，则 区间[55，65），[65，75）内的频率分
别为 4x 和 2x，依题意得（0.004+0.012+0.019+0.03）×10+4x+2x+x=1，解得 x=0.05，
2 3
2
+所以区间[75，85]内的频率为 0.05；…………………………5 分
（2）根据题意得，需从年龄在[55，65），[65，75）中分别抽取 4 人和 2 人，
设在[55，65）的 4 人分别为 a，b，c，d，在[65，75）的 2 人分别为 m，n，
则所抽取的结果共有 15 种：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，m），（a，n），
（b，c），（b，d），（b，m），（b，n），
（c，d），（c，m），（c，n），
（d，m），（d，n），（m，n）；
设“这两人在不同年龄组”为事件 A，事件 A 包含的基本事件有 8 种：
（a，m），（a，n），（b，m），（b，n），
（c，m），（c，n），（d，m），（d，n）；
则 ，
所以这两人在不同年龄组的概率为 ．…………………………12 分
19.（12 分）解：（Ⅰ）椭圆方程可设为
且 c=1，又 ，得 a=2，
∴b2=a2-c2=4-1=3，
∴椭圆的方程为 ……………………6 分
（Ⅱ）在△PF1F2 中，由余弦定理可得： ∠F1PF2，
即 2|PF1||PF2|×cos60°，
∴4=16-3|PF1||PF2|，即|PF1||PF2|=4．
∴△F1PF2 的面积 S= |PF1||PF2|sin60°= ．……………………12 分
20.（12 分）解：由已知得点 M 的轨迹是以点 为焦点的抛物线
∴ ∴
所以曲线 的方程为 ……………………5 分
(2)联立 得 ……………………………………………………7 分0842 =−− yy
11 2
2
2
2
2
2
2
2
=+=+
b
x
a
y
b
y
a
x 或
134,134
2222
=+=+ xyyx
12
=p 2=p
c xy 42 =
−=
=
2
42
xy
xy………………………………………………9 分
……………………………………………12 分
21.解：（1）由题意， ，解得 ，c= ．
∴ ．
∴双曲线 C 的方程为 ；…………………………………………6 分
（2）由 ，得 3x2-6mx-3m2-4=0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=2m，又中点在直线 x-y+m=0 上，
∴中点坐标为（m，2m），代入 x2+y2=5 得 m=±1，满足判别式△＞0．
∴m 的值为±1．…………………………………12 分
22.（12 分）解：（1）由题意，可得 e= = ，代入 A（1， ）得 ，
又 a2=b2+c2，解得 a=2，b=c= ，
所以椭圆 C 的方程 ．………………5 分
（2）证明：设直线 BD 的方程为 y= x+m，………………6 分
又 A、B、D 三点不重合，∴m≠0，
设 D（x1，y1），B（x2，y2），
则由 得 4x2+2 mx+m2-4=0………………7 分
所以△=-8m2+64＞0，所以 ＜m＜ ．………8 分
8,4 2121 −==+ yyyy
1 2
1 | | 4 32ABFS OD y y= ⋅ − =x1+x2=- m， ………9 分
设直线 AB、AD 的斜率分别为：kAB、kAD，
则 kAD+kAB=
= ………11 分
所以 kAD+kAB=0，即直线 AB，AD 的斜率之和为定值．………12 分
2
1 2
4
4
mx x
−⋅ =
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