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启慧·衡阳市八中 ２０２０ 届高三月考试题（三）理科数学参考答案 一、选择题：本大题共 １２ 小题，每小题 ５ 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 ． 题 　 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答 　 案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ａ Ａ Ｃ Ｂ １ư 【答案】Ｄ 【解析】注意集合中的元素的互异性 ư ２ư 【答案】Ｂ ３ư 【答案】Ｃ 【解析】 ｚ ＝ １ ３ ＋ ４ｉ ＝ ３ － ４ｉ ２５ ＝ ３ ２５ － ４ ２５ ｉ ，所以 ｚ 的实部为 ３ ２５ ，虚部为 － ４ ２５ ， ｚ 的共轭复数为 ３ ２５ ＋ ４ ２５ ｉ ，模为 （ ３ ２５） ２ ＋ （ ４ ２５） ２ ＝ １ ５ ，故选 Ｃư ４ư 【答案】Ｂ 【解析】Ａ 中，∀ｘ∈Ｒ，ｅｘ ＞ ０ư Ｂ 中，∃ｘ ＝ ２，ｘ ＝ ４，２ ｘ ＝ ｘ２ ，∃ｘ，２ ｘ ＜ ｘ２ ư Ｃ 中， ａ ＋ ｂ ＝ ０ｂ≠０ { 的充要条件是 ａ ｂ ＝ － １ư Ｄ 中，ａ ＞ １，ｂ ＞ １ 可以得到 ａｂ ＞ １，当 ａｂ ＞ １ 时，不一定可以得到 ａ ＞ １，ｂ ＞ １ư ５ư 【答案】Ａ 【解析】原式 ＝ １ ＋ ｔａｎ １７° ＋ ｔａｎ ２８° ＋ ｔａｎ １７°·ｔａｎ ２８° ＝ １ ＋ ｔａｎ ４５°（１ － ｔａｎ １７°·ｔａｎ ２８°） ＋ ｔａｎ １７°·ｔａｎ ２８° ＝ １ ＋ １ ＝ ２ư 故选 Ａư ６ư 【答案】Ｃ 【解析】数列｛ａｎ ｝的前 ｎ 项和 Ｓｎ ＝ ２ ｎ － １，可得 ａ １ ＝ Ｓ １ ＝ ２ － １ ＝ １；当 ｎ≥２ 时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ２ ｎ － １ － （２ ｎ － １ － １） ＝ ２ ｎ － １ ，对 ｎ ＝ １ 也成立 ư 所以 ａｎ ＝ ２ ｎ － １ （ｎ∈Ｎ∗ ） ｌｏｇ２ ａｎ ＝ ｌｏｇ２２ ｎ － １ ＝ ｎ － １， 则数列｛ｌｏｇ２ ａｎ ｝的前 １１ 项和等于 ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ … ＋ ９ ＋ １０ ＝ １ ２ × （１ ＋ １０） × １０ ＝ ５５ư 故选 Ｃư ７ư 【答案】Ｃ 【解析】由题意可知椭圆是焦点在 ｘ 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到｜ＢＦ ２ ｜ ＋ ｜ＡＦ ２ ｜ ＝８ － ｜ＡＢ｜，再 由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当 ＡＢ 垂直于 ｘ 轴时 ｜ ＡＢ ｜ 最小，把 ｜ ＡＢ ｜ 的最小值 ｂ２ 代入｜ ＢＦ ２ ｜ ＋ ｜ ＡＦ ２ ｜ ＝ ８ － ｜ ＡＢ ｜ ，由｜ ＢＦ ２ ｜ ＋ ｜ ＡＦ ２ ｜ 的最大值等于 ５ 可求 ｂ 的值． 【详解】由 ０ ＜ ｂ ＜ ２ 可知，焦点在 ｘ 轴上，∴ ａ ＝ ２， ∵ 过 Ｆ １ 的直线 ｌ 交椭圆于 Ａ，Ｂ 两点，∴ ｜ ＢＦ ２ ｜ ＋ ｜ ＡＦ ２ ｜ ＋ ｜ ＢＦ １ ｜ ＋ ｜ ＡＦ １ ｜ ＝ ２ａ ＋ ２ａ ＝ ４ａ ＝ ８ ∴ ｜ ＢＦ ２ ｜ ＋ ｜ ＡＦ ２ ｜ ＝ ８ － ｜ ＡＢ ｜ ． １当 ＡＢ 垂直 ｘ 轴时｜ ＡＢ ｜ 最小，｜ ＢＦ ２ ｜ ＋ ｜ ＡＦ ２ ｜ 值最大， 此时｜ ＡＢ ｜ ＝ ２ｂ２ ａ ＝ ｂ２ ，∴ ５ ＝ ８ － ｂ２ ，解得 ｂ ＝ ３，故选 Ｃư ８ư 【答案】Ｄ 【解析】结合三角函数平移原理，得到 ｇ（ｘ）的解析式，计算结果，即可 ư 【详解】化简，得到 ｆ（ｘ） ＝ ２ｓｉｎ（２ｘ － π ６ ），根据三角函数平移性质可知，当将 ｆ（ｘ）的图像上的 所有点的横坐标缩短到原来的 １ ２ ，纵坐标保持不变，得到函数解析式为 ｆ（ｘ） ＝ ２ｓｉｎ（４ｘ － π ６ ），当把所得图像向上平移 １ 个单位长度，得到 ｇ（ｘ） ＝ ２ｓｉｎ（４ｘ － π ６ ） ＋ １，故 ｇ（ｘ） ｍａｘ ＝ ３， 要使得 ｇ（ｘ １ ）·ｇ（ｘ ２ ） ＝ ９，则要求 ｘ １ － ｘ ２ ＝ ｎＴ ＝ ｎ·２π ｗ ＝ ｎ· π ２ ，故选 Ｄư ９ư 【答案】Ａ 【解析】如 ｘ 为有理数，则 ｆ（ｆ（ｘ）） ＝ ｆ（１） ＝ １，如 ｘ 为无理数，ｆ（ｆ（ｘ）） ＝ ｆ（０） ＝ １，故①正确；如 ｘ 为有理数，则 － ｘ 为有理数，则ｆ（ － ｘ） ＝ １ ＝ ｆ（ｘ），如 ｘ 无有理数，则 － ｘ 为无理数，则 ｆ（ － ｘ） ＝ ０ ＝ ｆ（ｘ），故②正确；如 ｘ 为有理数，则 Ｔ ＋ ｘ 为有理数，则 ｆ（Ｔ ＋ ｘ） ＝ １ ＝ ｆ（ｘ），如 ｘ 无有理数，则 Ｔ ＋ ｘ 为无理数，则 ｆ（Ｔ ＋ ｘ） ＝ １ ＝ ｆ（ｘ），故③正确，令 ｘ １ ＝ － ３ ３ ，ｘ ２ ＝ ３ ３ ，ｘ ３ ＝ ０， 则 ｆ（ｘ １ ） ＝ ｆ（ｘ ２ ） ＝ ０，ｆ（ｘ ３ ） ＝ １，此时三角形 ＡＢＣ 为等边三角形，所以④正确；故选 Ａư考点：１ư 函数的奇偶性；２ư 函数的周期性；３ư 分段函数的表示与求值 ư １０ư 【答案】Ａ １１ư 【答案】Ｃ 【解析】法一：由已知得ｓｉｎα ｃｏｓα ＝ １ ＋ ｓｉｎβ ｃｏｓβ ， 所以 ｓｉｎαｃｏｓβ ＝ ｃｏｓα（１ ＋ ｓｉｎβ），即 ｓｉｎ（α － β） ＝ ｃｏｓαư 结合诱导公式得 ｓｉｎ（α － β） ＝ ｓｉｎ（ π ２ － α）ư 因为 α∈（π，３π ２ ），β∈（０， π ２ ），所以 α － β∈（π，３π ２ ）， π ２ － α∈（ － π， － π ２ ）ư 由诱导公式可得 ｓｉｎ（α － β） ＝ ｓｉｎ［２π ＋ （ π ２ － α）］，易知 ２π ＋ （ π ２ － α）∈（π， ３ ２ π）， 因为 ｙ ＝ ｓｉｎｘ 在（ π ２ ， ３ ２ π）上单调递减，所以 α － β ＝ ２π ＋ （ π ２ － α），即 β ＝ ２α － ５ ２ πư 法二：由 ｔａｎα ＝ １ ＋ ｓｉｎβ ｃｏｓβ 得 ｔａｎα ＝ ｓｉｎ β ２ ＋ ｃｏｓ β ２ ｃｏｓ β ２ － ｓｉｎ β ２ ＝ ｔａｎ β ２ ＋ １ １ － ｔａｎ β ２ ＝ ｔａｎ（ β ２ ＋ π ４ ）， 所以 ｔａｎα ＝ ｔａｎ（ β ２ ＋ π ４ ）ư 　 因为 α∈（π，３π ２ ），β∈（０， π ２ ），所以 β ２ ＋ π ４ ∈（ π ４ ， π ２ ）ư 由诱导公式可得 ｔａｎ（α － π） ＝ ｔａｎα，即 ｔａｎ（α － π） ＝ ｔａｎ（ β ２ ＋ π ４ ） 因为 ｙ ＝ ｔａｎｘ 在（０， π ２ ）上单调递增，所以 α － π ＝ β ２ ＋ π ４ ，即 β ＝ ２α － ５ ２ πư １２ư 【答案】Ｂ ２【解析】由题意设 ｇ（ｘ） ＝ ｆ（ｘ）ｅｘ ，则 ｇ ′（ｘ） ＝ ｆ（ｘ） － ｆ（ｘ）ｅｘ ＝ １ｘ ，所以 ｇ（ｘ） ＝ ｌｎｘ ＋ ｃ（为常数）ư ∵ ｆ（１） ＝ － ｅ，∴ ｇ（１） ＝ ｆ（１）ｅ ＝ － １ ＝ ｃ，∴ ｆ（ｘ） ＝ ｇ（ｘ）·ｅｘ ＝ ｅｘ （ － １ ＋ ｌｎｘ）， ∴ ｆ（ｘ） ＝ ｅｘ （ｌｎｘ ＋ １ｘ － １），令 ｈ（ｘ） ＝ ｌｎｘ ＋ １ｘ － １，则 ｈ（ｘ） ＝ １ｘ － １ｘ２ ＝ ｘ － １ｘ２ ， 故当 １ ２ ＜ ｘ ＜ １ 时，ｈ ′（ｘ） ＜ ０，ｈ（ｘ）单调递减，当 ｘ ＞ １ 时，ｈ ′（ｘ） ＞ ０，ｈ（ｘ）单调递增 ư ∴ ｈ（ｘ）≥ｈ（１） ＝ ０，从而当 ｘ∈ １ ２ ， ＋ ∞[ ö ø ÷时，ｆ（ｘ）≥０，∴ ｆ（ｘ）在区间 １ ２ ， ＋ ∞[ ö ø ÷上单调递 增，设 φ（ａ） ＝ ａ３ － ３ａ － ２ － ｅ，ａ∈［ － ２，１］，则 φ ′（ａ） ＝ ３ａ２ － ３ ＝ ３（ａ ＋ １）（ａ － １），故 φ（ａ）在（ － ２， － １）上单调递增，在（ － １，１）上单调递减，所以 φ（ａ） ｍａｘ ＝ φ（ － １） ＝ － ｅ， ∴ 存在 ａ［２，１］，使不等式 ｆ ２ － １ｍ æ è ç ö ø ÷ ≤ａ３ － ３ａ － ２ － ｅ 成立等价于 ｆ ２ － １ｍ æ è ç ö ø ÷ ≤ － ｅ ＝ ｆ（１）， ∴ ２ － １ｍ ≤１ ２ － １ｍ ≥ １ ２ ì î í ïï ïï ，解得 ２ ３ ≤ｍ≤１，故 ｍ 的取值范围为 ２ ３ ，１[ ]，选 Ｂư 点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构 造函数 ｇ （ ｘ） ＝ ｆ（ｘ）ｅｘ ，并进一步求得函数 ｆ（ ｘ） 的解析式，从而得到函数 ｆ （ ｘ） 在区间 １ ２ ， ＋ ∞[ ö ø ÷上的单调性，然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为 ｆ（２ － １ｍ ）≤ｆ（１）， 最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可 ư二、填空题：本大题共 ４ 小题，每小题 ５ 分． １３ư 【答案】１ ＋ ５ ２ ư １４ư 【答案】ｙ ＝ ± ３ ３ ｘư 【解析】依题意椭圆ｘ２ ａ２ ＋ ｙ２ ｂ２ ＝ １（ａ ＞ ｂ ＞ ０）与双曲线ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １ ２ （ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）即ｘ２ ａ２ ２ － ｙ２ ｂ２ ２ ＝ １ （ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０）的焦点相同，可得：ａ２ － ｂ２ ＝ １ ２ ａ２ ＋ １ ２ ｂ２ ，即 ａ２ ＝ ３ｂ２ ， ∴ ｂ ａ ＝ ３ ３ ，可得 ｂ ２ａ ２ ＝ ３ ３ ，∴ 双曲线的渐近线方程为：ｙ ＝ ± ｂ ２ａ ２ ｘ ＝ ± ３ ３ ｘư ３１５ư 【答案】３０ 【解析】 设 ＣＤ ＝ ｘ ， 在 △ＡＥＤ 中， ＡＥ ＝ １０ ６， ＤＥ ＝ＤＣ ｓｉｎ６０° ＝ ｘ ｓｉｎ６０°，∠ＤＡＥ ＝ ４５°，∠ＡＥＤ ＝ １０５°， ∴ ∠ＡＤＥ ＝ ３０° 由正弦定理得 ＤＥ ｓｉｎ∠ＤＡＥ ＝ ＡＥ ｓｉｎ∠ＡＤＥ，∴ ｘ ｓｉｎ６０° ｓｉｎ４５° ＝ １０ ６ ｓｉｎ３０°， ∴ ｘ ＝ ３０ １６ư 【答案】 π ３ ＋ ３ ８ ư 【解析】分析可知：两个函数均是单调函数且都关于点 ０， １ ２ æ è ç ö ø ÷对称，又由 Ａ、Ｂ、Ｃ 三点的关 系得：点 Ａ、Ｃ 关于点 Ｂ 对称，而点 Ｂ 就是两个函数的公共对称中心 ０， １ ２ æ è ç ö ø ÷ ，所以 ａ ＝ ０ ， ｂ ＝ ３ ２ ，作图可得所求的积分值为 π ３ ＋ ３ ８ ư 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １７ư 【答案】（１）由 ｍ→ ＝ （ ３ｓｉｎｘ，ｃｏｓ（ｘ ＋ π ３ ）），ｎ→ ＝ （ｃｏｓｘ，ｓｉｎ（ｘ ＋ ５π ６ ））得： ｆ（ｘ） ＝ ｍ→ ·ｎ→ ＝ （ ３ｓｉｎｘ，ｃｏｓ（ｘ ＋ π ３ ））·（ｃｏｓｘ，ｃｏｓ（ｘ ＋ π ３ ）） ＝ ３ｓｉｎｘｃｏｓｘ ＋ ｃｏｓ ２ （ｘ ＋ π ３ ） ＝ ３ ２ ｓｉｎ２ｘ ＋ １ ＋ ｃｏｓ２（ｘ ＋ π ３ ） ２ ＝ ３ ２ ｓｉｎ２ｘ － １ ４ ｃｏｓ２ｘ － ３ ４ ｓｉｎ２ｘ ＋ １ ２ ＝ １ ２ ｓｉｎ（２ｘ － π ６ ） ＋ １ ２ ư ２ 分 … …………………………………………………………………………… ∴ 不等式 ｆ（ｘ） ＞ １ ４ 可化为：ｓｉｎ（２ｘ － π ６ ） ＞ － １ ２ ，∴ ２ｋπ － π ６ ＜ ２ｘ － π ６ ＜ ２ｋπ ＋ ７π ６ ，ｋ∈Ｚư ４ 分…………………………………………………………………………… 即：ｋπ ＜ ｘ ＜ ｋπ ＋ ２π ３ ，ｋ∈Ｚ，　 ∴ 不等式的解集为： ｋπ，ｋπ ＋ ２π ３ æ è ç ö ø ÷ ，ｋ∈Ｚ…………６ 分 （２）由（１）知：ｆ（ Ａ ２ ） ＝ １ ２ ｓｉｎ（Ａ － π ６ ） ＋ １ ２ ＝ ３ ４ ，∴ ｓｉｎ（Ａ － π ６ ） ＝ １ ２ ， 又∵ ０ ＜ Ａ ＜ π ２ ，∴ － π ６ ＜ Ａ － π ６ ＜ π ３ ，∴ Ａ － π ６ ＝ π ６ ，∴ Ａ ＝ π ３ ８ 分…………… 再由正、余弦定理及 ｂ ＝ １ 得： ａ ＋ ｃ ＝ ２ｂ ＝ ２ ｂ２ ＋ ｃ２ － ａ２ ＝ ２ｂｃ ｃｏｓＡ{ ， ∴ ａ ＋ ｃ ＝ ２ １ ＋ （ｃ ＋ ａ）（ｃ － ａ） ＝ ｃ{ ，∴ ａ ＝ ｃ ＝ １ １０ 分…………………………………… 所以△ＡＢＣ 是正三角形，故 Ｓ ＝ ３ ４ ư １２ 分……………………………………… １８ư 【解析】（１）在正方形 ＡＢＣＤ 中，∴ Ｏ 是 ＡＣ 的中点，又 Ｐ 是 ＥＦ 的中点，而正方形 ＡＢＣＤ 所在平面垂直于矩形 ＡＣＥＦ 所在的平面， ４∴ ＰＯ⊥平面 ＡＢＣＤ 由已知 ＡＢ ＝ ２，ＡＦ ＝ １ 得 ＰＣ ＝ ＰＤ ＝ ３，ＣＭ ＝ ＤＭ ＝ ５，ＰＭ ＝ ２ ∴ ＣＭ２ ＝ ＰＣ２ ＋ ＰＭ２ ，ＤＭ２ ＝ ＰＤ２ ＋ ＰＭ２ ∴ ＰＭ⊥ＰＣ，ＰＭ⊥ＰＤ，又 ＰＣ∩ＰＤ ＝ Ｐ 故平面 ＰＣＤ⊥平面 ＰＣＭ ６ 分…………………………………………………… （２）设三棱锥 Ｏ—ＰＣＭ 的高为 ｈ， 由（１）可得， ＶＰ － ＣＯＭ ＝ １ ３ Ｓ △ＣＯＭ ·ＰＯ ＝ １ ３ · １ ２ ·１·１·１ ＝ １ ６ ，∴ ＶＯ － ＰＣＭ ＝ ＶＰ － ＣＯＭ ＝ １ ６ 又在△ＰＣＭ 中∴ ＰＭ⊥ＰＣ，ＰＣ ＝ ３，ＰＭ ＝ ２， ∴ Ｓ △ＰＣＭ ＝ １ ２ · ３· ２ ＝ ６ ２ ∴ ＶＯ － ＰＣＭ ＝ １ ３ Ｓ △ＰＣＭ ｈ ＝ １ ３ · ６ ２ ·ｈ ＝ １ ６ ，故 ｈ ＝ ６ ６ １２ 分……………………… １９ư 【解析】 （１） ｘ－ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ５ ＝ ３，ｙ－ ＝ １ư ９ ＋ ２ư ３ ＋ ２ư ０ ＋ ２ư ５ ＋ ２ư ８ ５ ＝ ２ư ３， ∴ ｂ＾ ＝ ∑ ５ ｉ ＝ １ ｘｉ ｙｉ － ５ｘ－ ｙ－ ∑ ５ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ５ ｘ－ ２ ＝ ３６ư ５ － ３４ư ５ ５５ － ４５ ＝ ０ư ２，∴ ａ＾ ＝ ｙ－ － ｂ＾ ｘ－ ＝ １ư ７， 所以，线性回归方程为：ｙ＾ ＝ ０ư ２ｘ ＋ １ư ７所以，预计今年的“参与”人数为：０ư ２ × ６ ＋ １ư ７ ＝ ２ư ９（千人） ４ 分…………… （２）分析可知：在 ９ 次独立重复试验中，事件发生的次数为 ξ 次，故随机变量 ξ 服从二项分 布 Ｂ（９， １ ３ ），所以 Ｅ（ξ） ＝ ９ × １ ３ ＝ ３ ，Ｄ（ξ） ＝ ９ × １ ３ × １ － １ ３ æ è ç ö ø ÷ ＝ ２ư ………………８ 分 （３）（１）由列联表可得： Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ） ＝ １００ × （２６ × ２０ － ３０ × ２４） ２ ５６ × ４４ × ５０ × ５０ ≈０ư ６４９ ３５ ＜ ０． ７０８ư 所以没有 ６０％ 的把握认为“羽毛球运动”与“性别”有关． １２ 分……………… ２０ư 【解析】（Ⅰ）设 Ｐ（ｘ １ ，ｙ １ ），∵ Ａ（ － ２，０），Ｂ（２，０）， 则 ｋＡＰ ·ｋＢＰ ＝ ｙ １ ｘ １ ＋ ２· ｙ １ ｘ １ － ２ ＝ ｙ２ １ ｘ２ １ － ４， 又ｘ２ １ ４ ＋ ｙ２ １ ＝ １，则 ｙ２ １ ＝ １ － ｘ２ １ ４ ，代入上式，得 ｋＡＰ ·ｋＢＰ ＝ － １ ４ ， ２ 分……………… 由已知：ｋＡＰ ＝ １ ４ ｋＢＱ ，则 ｋＡＰ ·ｋＢＰ ＝ － １ ４ ＝ １ ４ ｋＢＱ ·ｋＢＰ ， 从而 ｋＢＱ ·ｋＢＰ ＝ － １，即 ＢＰ⊥ＢＱư ５ 分………………………………………… （Ⅱ）设直线 ＰＱ 的方程为：ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ， 联立得： ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ ｘ２ ＋ ４ｙ２ ＝ ４ { ⇒（１ ＋ ４ｋ２ ）ｘ２ ＋ ８ｋｂｘ ＋ ４（ｂ２ － １） ＝ ０， 由△ ＞ ０⇒４ｋ２ ＋ １ ＞ ｂ２ ， 由韦达定理：ｘ １ ＋ ｘ ２ ＝ － ８ｋｂ １ ＋ ４ｋ２ ，ｘ １ ｘ ２ ＝ ４（ｂ２ － １） １ ＋ ４ｋ２ ， ６ 分………………………… 由（１）ＢＰ⊥ＢＱ，则ＢＰ→·ＢＱ→ ＝ ０，则（ｘ １ － ２）（ｘ ２ － ２） ＋ ｙ １ ｙ ２ ＝ ０⇒（ｘ １ － ２）（ｘ ２ － ２） ＋ （ｋｘ １ ＋ ｂ）（ｋｘ ２ ＋ ｂ） ＝ ０， ５即：（１ ＋ ｋ２ ）ｘ １ ｘ ２ ＋ （ｋｂ － ２）（ｘ １ ＋ ｘ ２ ） ＋ ４ ＋ ｂ２ ＝ ０，所以：１２ｋ２ ＋ １６ｋｂ ＋ ５ｂ２ ＝ ０， 得：ｋ ＝ － １ ２ ｂ 或 ｋ ＝ － ５ ６ ｂ， ８ 分………………………………………………… 当 ｋ ＝ － １ ２ ｂ 时，直线 ＰＱ：ｙ ＝ ｂ（ － １ ２ ｘ ＋ １），不合题意， 当 ｋ ＝ － ５ ６ ｂ 时，直线 ＰＱ：ｙ ＝ ｂ（ － ５ ６ ｘ ＋ １），过定点 Ｍ（ ６ ５ ，０）， １０ 分………… 又 Ｓ １ ＝ １ ２ ＡＭ ｙ ２ － ｙ １ ，Ｓ ２ ＝ １ ２ ＭＢ ｙ ２ － ｙ １ ， 则Ｓ １ Ｓ ２ ＝ ＡＭ ＭＢ ＝ ６ ５ － （ － ２） ２ － ６ ５ ＝ ４，为定值 ư １２ 分………………………………… ２１ư 【解析】（Ⅰ）∵ ｆ ′（ｘ） ＝ （ｘ ＋ １）ｅｘ － ａ，设 ｈ（ｘ） ＝ ｆ ′（ｘ） ＝ （ｘ ＋ １）ｅｘ － ａ，则 ｈ ′（ｘ） ＝ （ｘ ＋ ２）ｅｘ ，当 ｘ∈（ － ¥ ， － ２）时，ｈ ′（ｘ） ＜ ０，ｈ（ｘ）单调递减，当 ｘ∈（ － ２， ＋ ¥ ）时，ｈ ′（ｘ） ＞ ０，ｈ（ｘ）单调递增， ２ 分………………………… 且 ｈ（ － ２） ＝ － １ｅ２ － ａ ＜ ０， 当 ｘ∈（ － ¥ ， － ２）时，ｈ（ｘ） ＝ （ｘ ＋ １）ｅｘ － ａ ＜ ０ － ａ ＜ ０，当 ｘ∈（ － ２， ＋ ¥ ）时，取 ｘ ＝ ａ，则 ｈ（ａ） ＝ （ａ ＋ １）ｅａ － ａ ＝ ａ（ｅａ － １） ＋ ｅａ ＞ ０，依据零点存在性定理，知存在唯一的 ｘ ０ ∈（ － ２，ａ），使得 ｈ（ｘ ０ ） ＝ ｆ ′（ｘ ０ ） ＝ ０，…………４ 分 且 ｘ ＜ ｘ ０ 时，ｆ ′（ｘ） ＜ ０，ｆ（ｘ）递减，且 ｘ ＞ ｘ ０ 时，ｆ ′（ｘ） ＞ ０，ｆ（ｘ）递增，故 ｘ ＝ ｘ ０ 为函数 ｆ（ｘ）唯一的极小值点 ư ５ 分…………………………………… （Ⅱ）因为 Ｆ（ｘ） ＝ ｇ（ｘ） － ｆ（ｘ） ＝ ａｌｎｘ － ｘｅｘ ＋ ａｘ， 所以 Ｆ ′（ｘ） ＝ ａ ｘ － （ｘ ＋ １）ｅｘ ＋ ａ， 设 ｔ（ｘ） ＝ Ｆ ′（ｘ），则 ｔ ′（ｘ） ＝ － ａ ｘ２ － （ｘ ＋ ２）ｅｘ ＜ ０， 则 Ｆ ′（ｘ）在（０， ＋ ¥ ）上为单调递减函数， 取 ｘ ＝ １ ２ ，则 Ｆ ′（ １ ２ ） ＝ ３ａ － ３ ２ ｅ ＝ ３（ａ － ｅ ２ ） ＞ ０， 取 ｘ ＝ ａ，则 Ｆ ′（ａ） ＝ （１ ＋ ａ） － （１ ＋ ａ）ｅａ ＝ （１ ＋ ａ）（１ － ｅａ ） ＜ ０， 所以，存在唯一的 ｘ １ ∈（ １ ２ ，ａ），使得 Ｆ ′（ｘ １ ） ＝ ０，即 ａ ｘ １ － （ｘ １ ＋ １）ｅｘ １ ＋ ａ ＝ ０，…………７ 分 且当 ｘ∈（０，ｘ １ ）时，Ｆ ′（ｘ） ＞ ０，Ｆ（ｘ）单调递增， 当 ｘ∈（ｘ １ ， ＋ ¥ ）时，Ｆ ′（ｘ） ＜ ０，Ｆ（ｘ）单调递减，故函数 Ｆ（ｘ）在 ｘ ＝ ｘ １ 处取得最大值 Ｆ（ｘ １ ）， ９ 分……………………………… 此时，由 ａ ｘ １ － （ｘ １ ＋ １）ｅｘ １ ＋ ａ ＝ ０ 得 ａ ＝ ｘ １ ｅｘ １ ， Ｆ（ｘ １ ） ＝ ａｌｎｘ １ － ｘ １ ｅｘ １ ＋ ａｘ １ ＝ ａｌｎｘ １ － ａ ＋ ａｘ １ ＝ ａ（ｌｎｘ １ － １ ＋ ｘ １ ）， ６由 ａ ＝ ｘ １ ｅｘ １ 两边取对数，得 ｌｎａ ＝ ｘ １ ＋ ｌｎｘ １ 则 Ｍ ＝ Ｆ （ｘ） ｍａｘ ＝ Ｆ（ｘ １ ） ＝ ａ（ｌｎｘ １ － １ ＋ ｘ １ ） ＝ ａ（ｌｎａ － １） ＞ ０，由已知，ｌｎａ － １ ＞ ０⇒ａ ＞ ｅ，故正整数 ａ 的最小值为 ３ư １２ 分………………………………………………… 请考生在 ２２、２３ 两题中任选一题做，如果多做，则按所做的第一题记分． ２２ư 选修 ４ － ４：坐标系与参数方程 【解析】（１）将 ｘ ＝ ２ － ２ ２ ｔ 代入 ｘ ＋ ｙ － ２ ＝ ０，得 ｙ ＝ ２ ２ ｔ， ∴ 直线 ｌ 的参数方程是 ｘ ＝ ２ － ２ ２ ｔ ｙ ＝ ２ ２ ｔ ì î í ï ï ïï （ｔ 为参数） ２ 分…………………………… 　 由 ρ（１ ＋ ｃｏｓ２θ） ＝ ２ａｓｉｎθ （ａ ＞ ０）得曲线 Ｃ 的直角坐标方程：ｘ２ ＝ ａｙ （ａ ＞ ０） ５ 分 ………… …………………………………………………………………………… （２）将直线 ｌ 的参数方程代入 ｘ２ ＝ ａｙ，得：ｔ２ － ２ ４ ＋ ａ( )ｔ ＋ ８ ＝ ０， 设 Ａ、Ｂ 对应的参数分别是 ｔ １ ，ｔ ２ ，∴ ｔ １ ＋ ｔ ２ ＝ ２（４ ＋ ａ），ｔ １ ｔ ２ ＝ ８，由题意知： ＡＢ ２ ＝ ＰＡ · ＰＢ ，∴ ｔ １ － ｔ ２ ２ ＝ ｔ １ ｔ ２ ，∴ ｔ １ ＋ ｔ ２ ２ ＝ ４ｔ １ ｔ ２ ＋ ｔ １ ｔ ２ ７ 分 ……… …………………………………………………………………………… 得：２ （４ ＋ ａ） ２ ＝ ４０，∴ ａ ＝ ± ２ ５ － ４，又∵ ａ ＞ ０，∴ ａ ＝ ２ ５ － ４（ 经检验：符合题意 ư ） １０ 分 …… …………………………………………………………………………… ２３ư 选修 ４ － ５：不等式选讲 【解析】（１）利用分类讨论法解绝对值不等式；（２）先求出 ｈ（ｘ） ＝ ｜ ｆ（２ｘ ＋ ａ） － ２ｆ（ｘ） ｜ ＝ ０，　 ｘ≤０ ｜４ｘ ｜ ，０ ＜ ｘ ＜ ａ ４ａ，　 ｘ≥ａ { ，再求出｜ ｆ（２ｘ ＋ ａ） － ２ｆ（ｘ） ｜ ｍａｘ ＝ ４ａư 解不等式 ４ａ≤２ 即得解 ư 【详解】（１）当 ａ ＝ １ 时，ｆ（ｘ） ＝ ３ｘ － １，ｘ≥１ｘ ＋ １，ｘ ＜ １ư { ２ 分……………………………… 当 ｘ≥１ 时，由 ｆ（ｘ）≥２⇒３ｘ － １≥２⇒ｘ≥１；当 ｘ ＜ １ 时，由 ｆ（ｘ）≥２⇒ｘ ＋ １≥２⇒ｘ≥１ 不成立；综上所述，当 ａ ＝ １ 时，不等式 ｆ（ｘ）≥２ 的解集为［１， ＋ ∞ ）ư ５ 分…………… （２）记 ｈ（ｘ） ＝ ｜ ｆ（２ｘ ＋ ａ） － ２ｆ（ｘ） ｜ ＝ ２ ｜ ｜ ｘ ｜ － ｜ ｘ － ａ ｜ ＋ ａ ｜ 则 ｈ（ｘ） ＝ ０，　 　 ｘ≤０ ｜４ｘ ｜ ， ０ ＜ ｘ ＜ ａ ４ａư 　 ｘ≥ａ { ư ７ 分……………………………………………… ∴ ｜ ｆ（２ｘ ＋ ａ） － ２ｆ（ｘ） ｜ ｍａｘ ＝ ４ａư 依题意得 ４ａ≤２，∴ ａ≤ １ ２ ư 所以实数的取值范围为（０， １ ２ ］ư １０ 分………………………………………… ７