辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考数学（理）试卷（带答案）.doc

高三月考数学（理） 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1、设 ，集合 ，则 （　　） A． B． C． D． 2、若复数 满足 ，则 的共轭复数 （　　） A． B． C． D． 3、设 , 则 “ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六 成 一 . 该 术 相 当 于 给 出 了 用 圆 锥 的 底 面 周 长 与 高 ， 计 算 其 体 积 的 近 似 公 式 它 实 际 上 是 将 圆 锥 体 积 公 式 中 的 圆 周 率 近 似 取 为 3. 那 么 近 似 公 式 相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ ） A. B. C. D. 5、下列函数中既是奇函数又在区间 上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 6、已知 ， ，且 ，则下列结论正确 的是（ ） A． B． C． D． 7 、 中 ， , , , 为 线 段 上 任 意 一 点 ， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． L h V 21 .36v L h≈ π 22 75v L h≈ π 22 7 25 8 157 50 355 113 [ ]1,1− siny x= 1y x= − + 2ln 2 xy x −= + ( )1 2 22 x xy −= + { }U -1 0 1 2= ，，， { }2 1,A x x x U= < ∈ UC A = { }0 1 2，， { }-1,1 2， { }-1,0 2， { }-1,0 1， z (1 ) 3z i i+ = − z z = 2 3i− − 2 3i− 2 3i+ 2 3i− + ,a b R∈ 2( ) 0a b a− < a b< (0, )2 πα ∈ (0, )2 πβ ∈ 2sin 2 cos 2cos (1 sin )α β α β= + 2 2 πα β− = 2 2 πα β+ = 2 πα β+ = 2 πα β− = ABC∆ 2AB = 2 2AC = 45BAC∠ = ° P AC PB PC⋅  1 ,14  −   1 ,04  −   1 ,42  −   1 ,22  −  8、已知幂函数 过点 ，令 ，记数列 的前 项和为 ，则 时， 的值是（ ） A．10 B．120 C．130 D．140 9、四个函数：① ；② ；③ ；④ 的图象(部 分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） A．④①②③ B．①④②③ C．③④②① D．①④③② 10、已知 ， ，则 的最小值为(　　) A． B． C． D．4 11、一个圆锥的母线长为 ，圆锥的母线与底面的夹角为 ，则圆锥的内切球的表面积为 ( ) A． B． C． D． 12、已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13、求值： ________ 14、已知函数 （ ）为奇函数， 是其图 像上两点，若 的最小值是 ，则 _________ 15、数列 中， ， ， ， 是数列 的前 项 和，则 _______ 16、下列命题中，正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）． ①函数 的最小值为 ；( ) ( 0)af x x xx = + > 2 a ( )y f x= (4,2) ( 1) ( ),na f n f n n N+= + + ∈ 1 na       n nS 10nS = n siny x x= ⋅ cosy x x= ⋅ cosy x x= ⋅ 2xy x= ⋅ 0, 0x y> > 1 82x yx y − = − 2 +x y 2 2 2 3 2 2 4 π 8π 24(2 2) π− 24(2 2) π+ 232(2 2) 49 π− , (0, )2 πα β ∈ sin sin 0β α α β− > 2 πα β+ < 2 πα β+ = α β< α β> 100lg 20 log 25+ = ( ) 4cos( )f x xω ϕ= + 0,0ω ϕ π> < < ( ,0), ( ,0)A a B b a b− 1 1( )6f = { }na 1 2a = 2 2a = * 2 1 ( 1) ,n n na a n N+ − = + − ∈ nS { }na n 60S =②已知定义在 上周期为 4 的函数 满足 ，则 一定为偶函数； ③ 定 义 在 上 的 函 数 既 是 奇 函 数 又 是 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数 ， 则 ； ④已知函数 ，则 是 有极值的必要不充分 条件； ⑤已知函数 ，若 ，则 ． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分 12 分） 如图， 是半径为 2，圆心角为 的扇形， 是扇形弧上的一动点， 记 ，四边形 的面积为 ． （1）找出 与 的函数关系； （2）试探求当 取何值时， 最大，并求出这个最大值． 18、（本小题满分 12 分） 已知数列 中， ， ，且 ， （1）求 （2）若 ， ，当 为何值时， 取最 小值？并求出最小值。 19、（本小题满分 12 分） 已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程； (2)求函数 的单调区间. 20、（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， 平面 底面 ， 为 的中点， 是棱 上的点， ， ， ． R ( )f x (2 ) (2 )f x f x− = + ( )f x R ( )f x (1) (4) (7) 0f f f+ + = 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a= + + + ≠ 0a b c+ + = ( )f x ( ) sinf x x x= − 0a b+ > ( ) ( ) 0f a f b+ > OPQ 3 π C COP θ∠ = OPCQ S S θ θ S { }na 128 1 1 −=a 0≠na 64 13 11 +=+ ++ nnn aSS na nn alogb 4= nn bbbT +++= 21 n nT 21( ) 2 2 x xf x ae x ae x x= − − + ( )y f x= (2, (2))f ( )f x P ABCD− ABCD / /AD BC 90ADC∠ =  PAD ⊥ ABCD Q AD M PC 2PA PD AD= = = 1BC = 3CD = Q O P C(1)求证：平面 平面 ； (2)若 ，求二面角 的大小 21、（本小题满分 12 分） 已知 . (1)若 恒成立，求 的取值范围. (2)证明：当 时， . 选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分 22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 的圆心 ，半径 . （1）求圆 的极坐标方程； （2）若 ，直线 的参数方程为 为参数），直线 交圆 于 两点，求弦长 的取值范围. 23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）若 恒成立，求实数 的最大值 ； （2）在（1）成立的条件下，正实数 满足 ，证明： . C 2, 4C π     3r = C l 2{ (2 x tcos ty tsin α α = + = + l C ,A B AB PQB ⊥ PAD 3PM MC= M BQ C− − ( ) 1 ln ( )f x ax x x a R= − − ∈ ( ) 0f x ≤ a 1x > 11 11 xex > −− 0, 4  ∈   πα ( ) 1f x x x= + − ( ) 1f x m≥ − m M ,a b 2 2a b M+ = 2a b ab+ ≥数学（理科）参考答案 一、选择题 二、填空题 13、 14、 15、 16、②③⑤ 三、解答题 17、（本小题满分 12 分） 解：（1） ………4 分 （2）由（1）知 因为 ，所以 故当且仅当 ，即 时， 最大，且最大值为 2………12 分 18、（本小题满分 12 分） 解：（1） ① ② ① ②得： ①式令 求得 ， 等比，公比 ………6 分 （2）由（1）知 时， 取最小值为 ………12 分 19、（本小题满分 12 分） 解：（1） 又切点 ， 切线方程为 ………4 分 1 1sin sin2 2POC ODCS S S OP OC POC OQ OC QOC∆ ∆= + = ⋅ ⋅ ∠ + ⋅ ⋅ ∠ 2sin 2sin 0,3 3 π πθ θ θ    = + − ∈         2sin 2sin 3S πθ θ = + −   2sin 3cos sin sin 3cosθ θ θ θ θ= + − = + 1 32 sin cos2 2 θ θ = +    2sin 0,3 3 π πθ θ    = + ∈         0, 3 πθ  ∈   2,3 3 3 π π πθ  + ∈   3 2 π πθ + = 6 πθ = S 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A B C A C B D C B C 2 2− 990 1 1 13 64n n nS S a+ ++ = +  1 13 64n n nS S a−∴ + = +  − 1 13 3n n n na a a a+ ++ = − 1 2 ( 2)n na a n+∴ = ≥ 1n = 2 1 64a = − 2 12a a∴ = 1 2( 1)n n a na +∴ = ≥ { }na∴ 2 82n na −∴ = − 8 4 8log 2 2 n n nb − −= = 2 7 8( ) 152 2 2 4n nn n nT −− + −∴ = = 7 8n∴ = 或 nT 14− '( ) ( 1)( 1)xf x x ae= − − 2'(2) 1f ae∴ = − (2,0) ∴ 2( 1)( 2)y ae x= − −（2） 时， 增区间 ，减区间 时，增区间 和 ，减区间 时，增区间 和 ，减区间 时， ，增区间 ，无减区间………12 分 20、（本小题满分 12 分） 解：（1）由已知 ， 四边形 为矩形 ， 又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 ，又 平面 平面 平面 ………4 分 （2）以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 设 是平面 的一个法向量，则 ， 可求 的一个值为 ，又平面 的一个法向量 设二面角 的大小为 ，则 ， 二面角 的大小为 ………12 分 21、（本小题满分 12 分） 解：（1）不等式化为 ， 设 ， ，令 得 又 ， ， ………………4 分 '( ) ( 1)( 1)xf x x ae= − − 0a ≤ ( ,1)−∞ (1, )+∞ 10 a e < < ( ,1)−∞ 1(ln , )a +∞ 1(1,ln )a 1a e > 1( ,ln )a −∞ (1, )+∞ 1(ln ,1)a 1a e = 1'( ) ( 1)( 1) 0xf x x e −= − − ≥ ( , )−∞ +∞ //QD BC QD BC=且 ∴ QDCB BQ AD∴ ⊥ PAD ⊥ ABCD PAD ∩ ABCD AD= BQ ⊂ ABCD BQ∴ ⊥ PAD BQ ⊂ PQB ∴ PQB ⊥ PAD , ,QA QB QP x y z (0, 3,0)B ( 1, 3,0)C − 3 3 3( , 3, )4 4 4M − 3 3 3( , 3, )4 4 4QM∴ = − (0, 3,0)QB = ( , , )n x y z= BQM 0 0 n QM n QB  ⋅ = ⋅ =     n (1,0, 3)n = BQC (0,0,1)m = M BQ C− − θ 3cos cos , 2n mθ = 〈 〉 =  ∴ M BQ C− − 30° ln 1ax x x≤ + 1lna x x ∴ ≤ + 1( ) ln ,( 0)g x x xx = + > 2 1'( ) xg x x −∴ = '( ) 0g x = 1x = (0,1), '( ) 0x g x∈ < (1, ), '( ) 0x g x∈ +∞ > min( ) (1) 1g x g= = 1a∴ ≤（2）不等式化为 ，即证 ， 设 ，则 ，即证 ， 设 ， ， 综上， ………………12 分 选考题：共 10 分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分 22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解 析 ： （ 1 ） 因 为 的 直 角 坐 标 为 ， 所 以 圆 的 直 角 坐 标 方 程 为 ，化为极坐标方程是 .………5 分 （2）将 为参数），代入圆 的直角坐标方程 ， 得 ，即 ， 有 ， 故 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 即弦长 的取值范围是 .………10 分 23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 （1）法一：由已知可得 ，所以 ， 所以只需 ，解得 ，∴ ，所以实数 的最大值 . ……5 分 法二： 所以 ， 所以只需 ，解得 ，∴ ，所以实数 的最大值 . ……5 分 2, 4C π     ( )1,1 C ( ) ( )2 21 1 3x y− + − = ( )2 2 cos sin 1 0ρ ρ θ θ− + − = 2{ (2 x tcos ty tsin α α = + = + C ( ) ( )2 21 1 3x y− + − = ( ) ( )2 21 cos 1 sin 3t tα α+ + + = ( )2 2 sin cos 1 0t t α α+ + − = ( )1 2 1 22 sin cos , 1t t t tα α+ = − + ⋅ = − ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 24 4 sin cos 4 2 2 sin2AB t t t t t t α α α= − = + − = + + = + 0, 2 0,4 2 π πα α   ∈ ⇒ ∈      0 sin2 1α≤ < 2 2 2 3AB≤ < AB )2 2,2 3 1 1 xx ex >− 1ln 1 x x x >− 1 xt x = − 1 tx t = − 1ln tt t −> ( 1)t > 1( ) ln ,( 1)th t t tt −= − > 2 1'( ) 0th t t −∴ = > ( ) (1) 0h t h∴ > = 11 11 xex > −− ( ) 1 ( 1) 1f x x x x x= + − ≥ − − =（2）证明：法一：综合法 ∵ ，∴ ， ∴ ，当且仅当 时取等号，① 又∵ ，∴ ， ∴ ，当且仅当 时取等号，② 由①②得，∴ ，所以 .……10 分 法二：分析法 因为 ， ， 所以要证 ，只需证 ， 即证 ， ∵ ，所以只要证 ， 即证 ， 即证 ，因为 ，所以只需证 ， 因为 ，所以 成立， 所以 .……10 分