陆良县2020届高三毕业班第一次摸底考试
文科数学试题卷
（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）
一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．“”是“直线与互相平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
5．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
6．已知1，，，3成等差数列，1，，，，4成等比数列，则（ ）
A. B. C. D. 2
10
7．若，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.6
8．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积（单位：）是（ ）
A.8 B.16 C.32 D.44
9．阅读上面的程序框图，则输出的（ ）
A．14 B．20 C．30 D．55
10．在正四面体ABCD中，M是棱BD的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
11．右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图
中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC=2，AC=4，
在△ABC内任取一点，则此点取自正方形DEFC内的概率为（ ）
A． B． C． D．
12.已知是奇函数，且对任意且都成立，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分。）
10
13．已知向量，，且，则__________．
14．在中，角A,B,C所对的边为，若，则角B的大小为__________．
15．已知函数，若，则__________．
16．已知抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，为抛物线的焦点，若，则该双曲线的离心率为__________．
三、解答题:（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分12分）已知正项等比数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
18. （本题满分12分）新高考最大的特点就是取消文理科,除语文、数学、外语之外,从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择3门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全理(选择物理、化学、生物)的选择是否与性别有关，从某学校高一年级的650名学生中随机抽取男生,女生各25人进行模拟选科.经统计,选择全理的人数比不选全理的人数多10人.
(1)请完成下面的列联表.
(2)估计有多大把握认为选择全理与性别有关,并说明理由；
(3)现从这50名学生中已经选取了男生3名,女生2名进行座谈,从中抽取2名代表作问卷调查,求至少抽到一名女生的概率.
附:,其中.
10
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面四边形中，,,,；
在中,,平面平面.
(1)证明:平面；
(2)若,为线段的中点,求三棱锥的体积.
20.（本小题满分12分）已知椭圆（）的左右焦点分别为,,离心率为,椭圆上的点到点,的距离之和等于4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)证明:当时,.
选做题：考生在第22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题号，（本题满分10分）
22．曲线的极坐标方程为,直线经过点,倾斜角.
10
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
(2)若为曲线上的一个动点，当到的距离最大时,求点的坐标.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数,若存在使成立，求实数的取值范围.
陆良县2020届高三毕业班第一次摸底考试
文科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
D
D
A
C
C
A
D
B
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）
13
14
15
16
12
2019
二、 解答题
17. 解析：(1)设数列的公比为,由已知,由题意得, .........2分
所以,解得,.因此数列的通项公式为. .........6分
(2)由(1)知,, .........8分
∴. .........12分
18. 解析：(1)依题意可得列联表:
10
.........4分
(2),∴的把握认为选择全理与性别有关; .....8分
(3)设名男生分别为,,,两名女生分别为,.从名学生中抽取名所有的可能为:,共种,不包含女生的基本事件有,共种,故所求概率. .........12分
19.解析：(1)由,,,可知,四边形为为正方形,由中,,所以为等边三角形.取得中点,连接,因为为等边三角形,所以, .........2分
又因为平面,平面平面于所以平面,因为平面,所以,因为, .........4分
且,所以平面,因为,所以平面. .........6分
(2)由(1)得平面,所以到平面的距离, .........7分
因为底面为正方形,所以,
又因为平面,所以平面,所以,两点到平面的距离相等,均为,又为线段的中点,所以到平面的距离, ........8分
10
由(1)知,平面,因为平面,所以, .........10分
所以. .........12分
20.解析：（1）法一：由题意得，所以
故椭圆的标准方程为．……………………4分
法二：由题意得
解得，故椭圆的标准方程为．……………………4分
（2） 若存在满足条件的直线，则直线的斜率存在，设其方程为……5分
代入椭圆的方程得．
设两点的坐标分别为，
所以所以，
且，………8分
因为，即，
所以．
即．
10
所以，
解得．…………11分
又因为，所以．
所以存在直线满足条件，其方程为．………………………………12分
21. 解：(1)由题设得, .........1分
∴,.........3分
解得. .........5分
(2)由(1)知,
∴,令函数,则,
当时,,单调递减;
当时,, 单调递增, .........7分
又,,,,
所以,存在,使得,
当时,;
当,,
故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. .........10分
又,∴,
当且仅当时取等号.故当时,, .........12分
22. 解析：（1）曲线的直角坐标方程为， .........2分
10
直线的参数方程为：（为参数）. .........5分
（2）设（），
由题意知直线的一般方程为， .........6分
所以距离，
.........8分
最大值为，此时，，点.
.........10分
23.解析(1)当时,原不等式可化为,无解; ........4分
当时,原不等式可化为,从而; .........2分
当时,原不等式可化为,从而. .........3分
综上,原不等式的解集为. .........5分
（2）由得, .........6分
又, .........8分
所以,即,解得,所以的取值范围为.
.........10分
陆良县2019届高三毕业班第一次摸底考试
文科数学 知识双向细目表
题号
试题考查的内容及解题思想方法
题型
难易程度
分值
能力要求
补充说明
10
1
集合运算
选择题
易
5
2
复数的运算
选择题
易
5
3
充要条件
选择题
易
5
4
三角函数图像平移变化
选择题
易
5
5
三角函数求值
选择题
易
5
6
等差、等比数列的应用
选择题
易
5
7
简单的线性规划
选择题
易
5
8
三视图
选择题
易
5
9
程序框图
选择题
易
5
10
立体几何中异面直线
选择题
中
5
11
几何概型
选择题
中难
5
12
函数的性质
选择题
中难
5
13
向量的垂直
填空题
易
5
14
正余弦定理
填空题
易
5
15
函数的奇偶性
填空题
中
5
16
圆锥曲线中的离心率问题
填空题
难
5
17
数列综合应用
解答题
中
12
18
概率与统计应用
解答题
易
12
19
直线与平面垂直的证明 体积计算
解答题
中
12
20
椭圆的标准方程 直线与椭圆位置关系
解答题
易+中
12
21
函数与导数的综合应用
解答题
易+难
12
22
极坐标与参数方程
选做题
中
10
23
不等式选讲
选做题
中
10
10
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