陆良县2020届高三毕业班第一次摸底考试
理科数学试题卷
（考试时间：120分钟；全卷满分：150分）
一、选择题:（本大题共12小题.每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3．“”是“直线与互相平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．二项式的展开式中第7项是常数项，则的值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
5．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
6．已知1，，，3成等差数列，1，，，，4成等比数列，则（ ）
A. B. C. D. 2
13
7．若，满足约束条件，则的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.6
8．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积（单位：）是（ ）
A.8 B.16 C.32 D.44
9．阅读上面的程序框图，则输出的（ ）
A．14 B．20 C．30 D．55
10．已知三棱锥中，，中两直角边,，该三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
11．右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图
中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC=2，AC=4，
在△ABC内任取一点，则此点取自正方形DEFC内的概率为（ ）
A． B．
C． D．
13
12.已知是奇函数，且对任意且都成立，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共20分.）
13．已知向量，，且，则__________．
14．已知函数，若，则__________．
15．已知抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，为抛物线的焦点，若，则该双曲线的离心率为__________．
16．在锐角中，角A,B,C所对的边为，若，且，则的取值范围为__________．
三、解答题:（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）已知正项等比数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
13
18．（本小题满分12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行,国家统计局从东部选择江苏,从中部选择河北， 湖北，从西部选择宁夏,从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区,然后再逐级确定普查区域,直到基层的普查小区.在普查过程中首先要进行宣传培训,然后确定对象,最后入户登记.由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利,这为正式普查提供了宝贵的试点经验.在某普查小区,共有家企事业单位,150家个体经营户,普查情况如下表所示:
(1)根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；
(2)以频率作为概率,某普查小组从该小区随机选择1家企事业单位,3家个体经营户作为普查对象,入户登记顺利的对象数记为,写出的分布列,并求的期望值.
附:.
19.（本小题满分12分）如图,在三棱柱中,底面，是边长为2的正三角形，，D,E分别为AB,BC的中点.
13
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
20. （本小题满分12分）已知椭圆（）的左右焦点分别为,,离心率为,椭圆上的一点到,的距离之和等于.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设,过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于,两点,若满足恒成立,求的最小值.
21.（本小题满分12分）已知函数,且曲线在处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)证明:当时,.
13
选做题：考生在第22题，23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题号，（本题满分10分）
22．曲线的极坐标方程为,直线经过点,倾斜角.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
(2)若为曲线上的一个动点,当到的距离最大时,求点的坐标.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数,若存在使成立,求实数的取值范围.
陆良县2020届高三毕业班第一次摸底考试
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
D
D
A
C
C
A
D
B
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分共20分）
13
14
15
16
12
2019
三、解答题
17. 解析
13
(1)设数列的公比为,由已知,由题意得,..........2分
所以,解得, .........4分
.因此数列的通项公式为. .........6分
(2)由(1)知,, .........8分
∴ .........12分
18.解析
(1)将列联表中的数据代入公式计算得,
所以,有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”..........5分
(3)以频率作为概率,从该小区随机选择家企事业单位作为普查对象,入户登记顺利的概率为,随机选择家个体经营户作为普查对象,入户登记顺利的概率为........6分
可取,,,,.
,
,
,
,
13
的分布列为:
.......10分
........12分
19.解析
(1)证明:在三棱柱中,因为底面,平面,所以.又为等边三角形,为的中点,所以.因为, 所以平面; .........6分
(2)取中点,连结,则因为,分别为,的中点,所以.由(1)知,,如图建立空间直角坐标系. .........7分
由题意得,,, ,,,,,,. .........8分
设平面,法向量,,,
13
则即
令,则,.即.
平面法向量.
因为,,,
所以, .........11分
由题意知二面角为锐角,所以它的余弦值为. .........12分
20.解析
(1)由椭圆的离心率为,椭圆上的一点到,的距离之和等于,
即,得,,所以椭圆的标准方程为. .........4分
(2)设,, 则
,,.........5分
所以, .........6分
当直线与轴垂直时,直线方程为,得,
,或,,; .........7分
当直线不与轴垂直时,设直线,
13
联立得,,
得到,,,
.........9分
令，，则，所以，
又因函数在上是减函数，所以，
所以m的最小值为5. .........12分
21.解析：(1)由题设得, .........1分
∴,解得. .........4分
(2)由(1)知,
∴,令函数,则,
当时,,单调递减;
当时,, 单调递增, .........6分
13
又,,,,
所以,存在,使得,
当时,;
当,,
故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. .........10分
又,∴,
当且仅当时取等号.故当时,, .........12分
22.解析：（1）曲线的直角坐标方程为， .........2分
直线的参数方程为：（为参数）. .........5分
（2）设（），
由题意知直线的一般方程为， .........6分
所以距离，
.........8分
最大值为，此时，，点.
.........10分
23.解析：(1)当时,原不等式可化为,无解; .........1分
当时,原不等式可化为,从而; .........2分
当时,原不等式可化为,从而. .........3分
13
综上,原不等式的解集为. .........5分
（2）由得, .........6分
又, .........8分
所以,即,解得,所以的取值范围为. ....10分
陆良县2019届高三毕业班第一次摸底考试
理科数学 知识双向细目表
题号
试题考查的内容及解题思想方法
题型
难易程度
分值
能力要求
补充说明
1
集合运算
选择题
易
5
2
复数的运算
选择题
易
5
3
充要条件
选择题
易
5
4
二项式定理
选择题
易
5
5
三角函数求值
选择题
易
5
6
等差、等比数列的应用
选择题
易
5
7
简单的线性规划
选择题
易
5
8
三视图
选择题
易
5
9
程序框图
选择题
易
5
10
三棱锥与球的综合应用
选择题
中
5
11
几何概型
选择题
中
5
12
函数的性质
选择题
中
5
13
向量的垂直
填空题
易
5
13
14
函数的奇偶性
填空题
中
5
15
圆锥曲线中的离心率问题
填空题
中
5
16
正余弦定理综合应用
填空题
难
5
17
数列综合应用
解答题
易
12
18
概率与统计应用
解答题
中
12
19
直线与平面垂直的证明 二面角计算
解答题
中
12
20
椭圆的标准方程 直线与椭圆位置关系
解答题
易+难
12
21
函数与导数的综合应用
解答题
易+难
12
22
极坐标与参数方程
选做题
中
10
23
不等式选讲
选做题
中
10
13
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