云南省陆良县2020届高三毕业班第二次教学质量摸底考试（10月）数学（理）试题（有答案）.doc

陆良县 2020 届高三毕业班第二次摸底考试 理科数学试题卷 （考试时间：120 分钟；全卷满分：150 分） 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的． 1. 已知集合 则 （　　） A. B. C. D. 2. 复数 在复平面内表示的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 已知 为等差数列，若 ，则 （ ） A. 24 B. 27 C. 36 D. 54 4．已知双曲线 的离心率为 ，则 的值为 （ ） A. 1 B. C. D. 9 5.向如图的正方形内随机投掷一质点，则该质点落在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 6.已知向量 与向量 的夹角为 ， ， ，则 （ ） A．1 B．2 C． D． 7. 的展开式中的常数项是( ) A. -120 B.-60 C.60 D. 120 8. 将函数 的图像横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再 向右平移 个长度单位，得到的函数图像的一条对称轴为（　　） A． B． C． D． 2{ | 1}, { | 2 0},A x x B x x x= < = − < A B = { | 1}x x < { | 2}x x < { | 0 1}x x< < { | 0 2}x x< < { |1 2}x x< < 2 1 i i − + + { }na 3 4 8 12a a a+ + = 9S = 2 2 13 y x m − = 2 3 3 m 6 5 3 1 2 1 3 2 3 4 π a b 60° 1| |=a 2 3− =b a =b 2 2 1 2 62( )x x − ( ) cosf x x= 1 2 6 π 3x π= 5 12x π= 7 12x π= 2 3x π= 开始 i=1,S=0 2i i= + 输出 S 结束 是 否 1 ( 2 )S S i i = + + 第 5 题图9. 执行如图所示的程序框图，若输出的 S 为 ，则判断框中应填（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数 ，若 ，则实数 取 值范围是 （ ） A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) ) 11. 若 ， 函数 在 R 上是增函数，则 是 的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不 必要条件 12.已知椭圆 的两个焦点为 ， 为椭圆上一点， 。 若 的内切圆面积为 ，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分 13. 若随机变量 ，且 ，则 。 14. 设变量 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为 。 15. 若 是第二象限的角，且 ，则 。 16. 已知 是球面上的四点，且 ，若三棱锥 的体 积的最大值为 ，则球的体积为 。 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 12 分）在△ ABC 中， 为锐角，角 A、B、C 的对边分别为 、 、 ， 3 7 5?i ≤ 5?i ≥ 7?i ≤ 7?i ≥ =)(xf 2 1, 0 2 , 0 xe x x x x  − <  + ≥ )()2( 2 afaf >− a 1,−∞− ),2( +∞ 1,2− 2,1− 2,−∞− +∞,1( : ,sin 2p x R x a∃ ∈ = − :q 3 21( ) 3f x x x ax= − + p q 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2,F F P 1 2 90F PF∠ = ° 1 2PF F∆ 2 4 c π 1 2 3 2 2 3 2 3 2~ (1, )Nξ σ (1 2) 0.4P ξ< < = ( 0)P ξ < = 2 0 2 0 2 0 x y x y x y + − ≥  − + ≥  − ≤ 2z x y= − α tan 32 α = sin cosα α+ = P A B C、 、 、 , 2 2AC BC AB⊥ = P ABC− 4 3 C a b c R 第 9 题图是外接圆半径，已知向量 ，且 。 （Ⅰ）求角 ； （Ⅱ）若 ，△ ABC 的面积为 ，求 的值。 18．(本小题满分 12 分)普通高中国家助学金，用于资助家庭困难的在校高中生。在本地，助 学金分一等和二等两类，一等助学金每学期 1250 元，二等助学金每学期 750 元，并规定： 属于农村建档立卡户的学生评一等助学金。某班有 10 名获得助学金的贫困学生，其中有 3 名属于农村建档立卡户，这 10 名学生中有 4 名获一等助学金，另 6 名获二等助学金。现从 这 10 名学生中任选 3 名参加座谈会。 （Ⅰ）若事件 A 表示“选出的 3 名同学既有建档立卡户学生，又有非建档立卡户学生”，求 A 的概率； （Ⅱ）设 X 为选出的 3 名同学一学期获助学金的总金额，求随机变量 X 的分布列和数学期 望． 19.(本小题满分 12 分) 如图的几何体中， ．底面 是正三角形， ．四边 形 是矩形，且平面 底面 ． （Ⅰ） 在 上运动，当 在何处时，有 ∥平面 ， 并且说明理由； （Ⅱ）当 ∥平面 时，求二面角 余弦值． 20.（本小题满分 12 分）已知 为抛物线 上一点，点 到直线 的最小距离为 ． （Ⅰ）求抛物线 C 的方程； （Ⅱ）过点（1，0）作两条互相垂直的直线 ，与抛物线 C 分别交于 ，求 四边形 的面积 的最小值． 21. （本小题满分 12 分）已知函数 ． ABC 1 1BCC B 1 1BCC B ABC AC ( , ), (cos ,cos )m a b n B A= =  Rnm =⋅ C 2b = 1 3 2 + cos( )3B π+ 41 =AB 2=AB ⊥ D D 1AB 1BDC 1AB 1BDC DBCC −− 1 P 2: 2 ( 0)C y px p= > P 3 0x y− + = 2 1 2l l、 A B D E、 、 、 ADBE S ( ) ln 2 1f x x ax= − +（Ⅰ）若 是 的极值点，确定 的值； （Ⅱ）当 时， ，求实数 的取值范围． 二选一，请考生在第 22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分 10 分）在直角坐标系 中，以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立 极 坐 标 系 ， 已 知 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 , 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ，曲线 、 相交于点 A，B。 （Ⅰ）将曲线 、 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求弦 AB 的长。 23.（本小题满分 10 分）已知函数 ， （Ⅰ）当 时，解不等式 ； （Ⅱ）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 陆良县 2020 届高三毕业班第二次摸底考试 理科数学参考答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C A C A C D D B A C 二、填空题 13. 0.1 14 . -2 15. 16. 三、解答题 17.解：（Ⅰ）由 得 ． ………………………1 分 由正弦定理可得 ，即 ………………………5 分 是锐角， ………………………6 分 1C 2C 1C 2C 1C 2C 1x = ( )f x a 1x ≥ ( ) 0f x ≥ a xOy x 2 4 cos 5ρ ρ θ= + ( )3 R πθ ρ= ∈ 12)( += xxf axxg +=)( 0=a )()( xgxf ≥ R∈x )()( xgxf ≤ a 1 5 − 9 2 π m n R=   cos cosa B b A R+ = 1sin cos sin cos 2A B B A+ = 1sin 2C = C 6C π∴ =（Ⅱ）由 ， ，可得 ………………………7 分 所以 ，即 ………………………8 分 ，又 ， …………………10 分 即 ． ………………………12 分 18.（Ⅰ）解：由题意： ………………………4 分 （Ⅱ）解：随机变量 X 的所有可能值为 2250，2750，3250，3750，……………………5 分 ， ， ………………………9 分 所以随机变量 X 的分布列是 X 2250 2750 3250 3750 P ……………………… 10 分 所以 ．……………12 分 19. 解：（Ⅰ）当 为 中点时,有 平面 (2 分) 证明:连结 交 于 ,连结 ∵ 四边形 是矩形 ∴ 为 中点又 为 中点,从而 (4 分) ∵ 平面 , 平面 ∴ 平面 (6 分) （Ⅱ）建立空间直角坐标系 如图所示,则 , , , , (7 分) D AC //1AB 1BDC 1B C 1BC O DO 1 1BCC B O 1B C D AC 1//DO AB 1AB ⊄ 1BDC DO ⊂ 1BDC //1AB 1BDC B xyz− (0,0,0)B ( 3,1,0)A (0,2,0)C 3 3( , ,0)2 2D 1(0,2,2 3)C 1 3 2S∆ += 2b = 1 3a = + 2 2 2 2 cos 2c a b ab C= + − = 2c = sin 2sin 2 b CB c ∴ = = ,b a B A< ∴ = = =      DBCC −− 1 13 133 2 0 0( , )2 yP yp P 3 0x y− + = 2 0 0 32 2 y ypd − + = 0∆ ≥ min 0d = 0∆ < 0 6p< < 0y p= min 32 2 2 p d − + = = 2p = C 2 4y x= C 2 4y x= 1l C 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2l C 3 3 4 4( , ), ( , )D x y E x y 1l k 1l ( 1)y k x= − 2 2 2 2 1 22 2 ( 1) 4(2 4) 0 24 y k x k x k x k x xy x k = − ⇒ − + + = ⇒ + = + = 1 2 2 44AB x x p k = + + = + 2 3 4 4 4DE x x p k= + + = + 2 2 2 2 1 1 4 8(4 )(4 4 ) 8 162 2S AB DE k kk k = = + + = + + 2 2 82 8 16 32S k k ≥ ⋅ + = 2 2 88 1k kk = = ±即 min 32S = ( )f x (0, )+∞，由题意 . ……………………… 3 分 若 ，则 ，当 时， ；当 时， 所以 是 极大值点，故 ． ………………………6 分 （Ⅱ） ①若 ，则 ， 在 上单调递增 ，满足题意． ………………………7 分 ②若 ，则 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调 递减. 此时当 时， ，不合题意. ………………………9 分 ③若 ，则 时， ， 单调递减. ，不合题意. ………………………11 分 综上可知，当 ， 时, ，故 …………………12 分 22. 解：（1） ，即 ， 故曲线 的直角坐标方程为 ； ………………………3 分 曲线 的直角坐标方程为 . ………………………5 分 （2）曲线 表示圆心为（2，0），半径 的圆，曲线 表示直线， 则圆心到直线的距离 ， ………………………7 分 所以弦长 ………………………10 分 23.解：(Ⅰ)当 时，由 得 ，两边平方整理得 ， 解得 或 ∴原不等式的解集为 …………5 分 （Ⅱ）由 得 ，令 ，则 ' 1( ) 2f x ax = − ' 1(1) 0 2f a= ⇒ = 1 2a = ' 1 1( ) 1 xf x x x −= − = 0 1x< < ' ( ) 0f x > 1x > ' ( ) 0f x < 1x = ( )f x 1 2a = ' 1 2( ) axf x x −= 0a ≤ ' ( ) 0f x ≥ ( )f x [1, )+∞ ( ) (1) 1 2 0f x f a∴ ≥ = − > 10 2a< < 11 2x a < < ' ( ) 0f x > ( )f x 1 2x a > ' ( ) 0f x < ( )f x x → +∞ ( ) 0f x < 1 2a ≥ 1x > ' ( ) 0f x < ( )f x ( ) (1) 1 2 0f x f a∴ ≤ = − ≤ 0a ≤ 1x ≥ ( ) 0f x ≥ ( ,0]a∈ −∞ 2 2 24 cos 5 4 5x y xρ ρ θ= + ⇒ + = + 2 2( 2) 9x y− + = 1C 2 2( 2) 9x y− + = 2C 3y x= 1C 3r = 2C 3d = 2 22 2 6AB r d= − = 0=a )()( xgxf ≥ xx ≥+12 0143 2 ≥++ xx 1−≤x 3 1−≥x )3 1[]1( ∞+−−−∞ ，，  )()( xgxf ≤ xxa −+≥ 12 xxxh −+= 12)( ………………………7 分 故 ，从而所求实数 的范围为 ……………… 10 分         ≥+