颍上二中（合肥十中颍上实验中学）2020 届高三开学考测试卷
高三数学（理科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A B. C. D.
2．设 ，则 ( )
A． B． C．1 D．
3. 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始
评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分。7 个有效评分与 9 个原始评分相比，
不变的数字特征是（ ）
A．中位数 B.平均数 C. 方差 D. 极差
解 由于共 9 个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第 5 个，假设为 ，去掉一头
一尾的最低和最高分后，中位数还是 ，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都
会改变。
4. 的展开式中 的系数为（ ）
A. B. C. D.
解由题意可知含 的项为 ，所以系数为
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的
下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏
6. 若 ，则（ ）
A. B. C. D.
解由函数 在 上是增函数，且 ，可得 ，即 .
1 i 2i1 iz
−= ++ | |z =
0 1
2 2
}1|{},2,1,0,1{ 2 ≤=−= xxBA =∩ BA
}1,0,1{− {0,1} }1,1{− }2,1,0{
a
a
42 )1)(21( xx ++ 3x
12 16 20 24
3x 331
4
233
4 121211 xxCxxC =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 12
a b>
ln( ) 0a b− > 3 3a b< 3 3 0a b− > | | | |a b>
3y x= R a b> 3 3a b> 3 3 0a b− >7．直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则
面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数 为奇函数，则 的极大值点为（ B ）
A. 3 B. －1 C. 1 D. －2
9．7 个身高均不相同的学生排成一排合影留念，最高个子站在中间，从中间到左边和从中间
到右边一个比一个矮，则这样的排法共有（ ）
10．函数 的图像大致为（ ）
A. 20 B. 40 C. 120 D. 400
11. 关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数 ② 在区间 单调递增
③ 在 有 4 个零点 ④ 的最大值为
其中所有正确结论的编号是（ ）
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
12．设 A、B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，
2 0x y+ + = A B P ( )2 22 2x y− + =
ABP△
[ ]2 6， [ ]4 8， 2 3 2 ， 2 2 3 2 ，
4 2 2y x x= − + +
x y
axxaxxf −−+= 23 )3()( ( )f x
( ) sin sinf x x x= +
( )f x ( )f x ( , )2
π π
( )f x [ ],π π− ( )f x 2
2 2
13
x y
m
+ =则 m 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 在点 处的切线方程为 .
14．函数 的最大值是_____
15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）
根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率
为 ，客场取胜的概率为 ，且各场比赛相互独立，则甲队以 获胜的概率是
.
16. 甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的
门数为ξ，则 E（ξ)为 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。
17. （12 分） 的内角 的对边分别为 .
设 .
（1）求 ；
（2）若 ，求 .
18．（12 分）如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是
上异于 ， 的点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值．
ABCD CD M
CD C D
AMD⊥ BMC
M ABC− MAB MCD
(0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞
(0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞
23( ) xy x x e= + (0,0)
2 3( ) sin 3 cos 4f xx x= + − ( [0, ])2x
π∈
0.6 0.5 4:1
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
( )2 2sin sin sin sin sinB C A B C− = −
A
2 2a b c+ = sinC19．（12 分）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点
的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
20. 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 平后，每球交换发球权，先多得
2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率
为 ，乙发球时甲得分的概率为 ，各球的结果相互独立.在某局双方 平后，甲先发
球，两人又打了 个球该局比赛结束.
（1）求 ；
（2）求事件“ 且甲获胜”的概率.
21．（12 分）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方
程为 （ 为参数）．
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
设函数 ．
2
2: 12
xC y+ = F F l C ,A B M
(2,0)
l x AM
O OMA OMB∠ = ∠
1( ) lnf x x a xx
= − +
( )f x
( )f x 1 2,x x
( ) ( )1 2
1 2
2f x f x ax x
− < −−
10:10
0.5 0.4 10:10
X
( 2)P X =
4X =
xOy C
2cos
4sin
x θ
y θ
=
=
，
θ l
1 cos
2 sin
x t α
y t α
= +
= +
，
t
C l
C l (1, 2) l
( ) 5 | | | 2|f x x a x= − + − −（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围．
颍上二中（合肥十中颍上实验中学）2020 届高三开学考测试卷
高三数学（理科）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ A ）
A B. C. D.
2．设 ，则 (C)
A． B． C．1 D．
3. 演讲比赛共有 9 位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 9 个原始
评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分。7 个有效评分与 9 个原始评分相比，
不变的数字特征是（A ）
B． 中位数 B.平均数 C. 方差 D. 极差
解 由于共 9 个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第 5 个，假设为 ，去掉一头
一尾的最低和最高分后，中位数还是 ，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都
会改变。
4. 的展开式中 的系数为（A ）
A. B. C. D.
解由题意可知含 的项为 ，所以系数为
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的
下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ B ）
A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏
1 i 2i1 iz
−= ++ | |z =
0 1
2 2
1a = ( ) 0f x ≥
( ) 1f x ≤ a
}1|{},2,1,0,1{ 2 ≤=−= xxBA =∩ BA
}1,0,1{− {0,1} }1,1{− }2,1,0{
a
a
42 )1)(21( xx ++ 3x
12 16 20 24
3x 331
4
233
4 121211 xxCxxC =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 126. 若 ，则（ C ）
A. B. C. D.
解由函数 在 上是增函数，且 ，可得 ，即 .
7．直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆 上，则
面积的取值范围是（ A． ）
A． B． C． D．
8．若函数 为奇函数，则 的极大值点为（ B ）
A. 3 B. －1 C. 1 D. －2
9．7 个身高均不相同的学生排成一排合影留念，最高个子站在中间，从中间到左边和从中间
到右边一个比一个矮，则这样的排法共有（ A ）
10．函数 的图像大致为（ D ）
A. 20 B. 40 C. 120 D. 400
2 0x y+ + = A B P ( )2 22 2x y− + =
ABP△
[ ]2 6， [ ]4 8， 2 3 2 ， 2 2 3 2 ，
4 2 2y x x= − + +
a b>
ln( ) 0a b− > 3 3a b< 3 3 0a b− > | | | |a b>
3y x= R a b> 3 3a b> 3 3 0a b− >
x y
axxaxxf −−+= 23 )3()( ( )f x12. 关于函数 有下述四个结论：
① 是偶函数 ② 在区间 单调递增
③ 在 有 4 个零点 ④ 的最大值为
其中所有正确结论的编号是（ C ）
A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③
因为 ，所以 是偶函数，①正确，
因为 ，而 ，所以②错误，
画出函数 在 上的图像，很容易知道 有 零点，所以③错误，
结合函数图像，可知 的最大值为 ，④正确，故答案选 C.
12．设 A、B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，
则 m 的取值范围是（ A ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.曲线 在点 处的切线方程为 .
∵ ，
∴结合导数的几何意义曲线在点 处的切线方程的斜率 ，
∴切线方程为 .
( ) sin sinf x x x= +
( )f x ( )f x ( , )2
π π
( )f x [ ],π π− ( )f x 2
( ) sin sin( ) sin sin ( )f x x x x x f x− = − + − = + = ( )f x
5 2, ( , )6 3 2
π π π π∈ 5 2( ) ( )6 3f f
π π<
( )f x [ ],π π− ( )f x 3
( )f x 2
2 2
13
x y
m
+ =
(0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞
(0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞
23( ) xy x x e= + (0,0) 3y x=
23(2 1) 3( )x xy x e x x e′ = + + + 23( 3 1) xx x e= + +
(0,0) 3k =
3y x=14．函数 的最大值是_____1
15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）
根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率
为 ，客场取胜的概率为 ，且各场比赛相互独立，则甲队以 获胜的概率是
.
甲队要以 ，则甲队在前 4 场比赛中输一场，第 5 场甲获胜，由于在前 4 场比赛中甲有 2 个
主场 2 个客场，于是分两种情况：
.
17. 甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数
为ξ，则 E（ξ)为 1.8 .
ACAAB CABAD CA
13. 14. 1
15. 16. 1.8
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。
18. （12 分） 的内角 的对边分别为 .
设 .
（3）求 ；
（4）若 ，求 .
解:(1)由 得
2 3( ) sin 3 cos 4f xx x= + − ( [0, ])2x
π∈
0.6 0.5 4:1
0.18
4:1
1 2 2 1
2 20.6 0.4 0.5 0.6 0.6 0.5 0.5 0.6 0.18C C⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
3y x=
0.18
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
( )2 2sin sin sin sin sinB C A B C− = −
A
2 2a b c+ = sinC
( )2 2sin sin sin sin sinB C A B C− = − 2 2 2sin sin sin sin sinB C A B C+ − =结合正弦定理得 ∴
又 ，∴ .
(2)由 得 ,
∴
∴ ,∴
∴ 又 ∴
又 ∴ ∴ ，
∴ .
18．（12 分）如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是
上异于 ， 的点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值．
解：（1）由题设知,平面 CMD⊥平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC⊥CD,BC 平面 ABCD,所
以 BC⊥平面 CMD,故 BC⊥DM.
因为 M 为 上异于 C，D 的点,且 DC 为直径，所以 DM⊥CM.
又 BC CM=C,所以 DM⊥平面 BMC.
而 DM 平面 AMD,故平面 AMD⊥平面 BMC.
ABCD CD M
CD C D
AMD⊥ BMC
M ABC− MAB MCD
⊂
CD
⊂
2 2 2b c a bc+ − =
2 2 2 1cos = 2 2
b c aA b c
+ − =⋅ ⋅
(0, )A π∈ = 3A
π
2 2a b c+ = 2 sin sin 2sinA B C+ =
( )2 sin sin 2sinA A C C+ + =
6 sin( ) 2sin2 3 C C
π+ + = 3 1 2sin cos2 2 2C C− =
2sin( )6 2C
π− = 20 3C
π< <
6 6 2C
π π π− < − <
sin( ) 06C
π− > 0 6 2C
π π< − < 2cos 6 2C
π − =
sin sin( )6 6C C
π π= − + = sin cos cos sin6 6 6 6C C
π π π π − + −
6 2
4
+=（2）以 D 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D−xyz.
当三棱锥 M−ABC 体积最大时，M 为 的中点.
由题设得 ，
设 是平面 MAB 的法向量,则
即 可取 .
是平面 MCD 的法向量,因此 ，
，所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 .
19．（12 分）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点
的坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
解：（1）由已知得 ，l 的方程为 x=1.
由已知可得，点 A 的坐标为 或 .
所以 AM 的方程为 或 .
（2）当 l 与 x 轴重合时， .
当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 .
DA
CD
(0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (0,2,0), (0,1,1)D A B C M
( 2,1,1), (0,2,0), (2,0,0)AM AB DA= − = =
( , , )x y z=n
0,
0.
AM
AB
⋅ = ⋅ =
n
n
2 0,
2 0.
x y z
y
− + + =
= (1,0,2)=n
DA 5cos , 5| || |
DADA
DA
⋅= =
nn
n
2 5sin , 5DA =n 2 5
5
2
2: 12
xC y+ = F F l C ,A B M
(2,0)
l x AM
O OMA OMB∠ = ∠
(1,0)F
2(1, )2
2(1, )2
−
2 22y x= − + 2 22y x= −
0OMA OMB∠ = ∠ = °
OMA OMB∠ = ∠当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ， ，
则 ，直线 MA，MB 的斜率之和为 .
由 得 .
将 代入 得 .
所以， .
则 .
从而 ，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以 .
综上， .
20. 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 平后，每球交换发球权，先多得
2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率
为 ，乙发球时甲得分的概率为 ，各球的结果相互独立.在某局双方 平后，甲先发
球，两人又打了 个球该局比赛结束.
（3）求 ；
（4）求事件“ 且甲获胜”的概率.
解析： 时，有两种可能：
①甲连赢两局结束比赛，此时 ；
②乙连赢两局结束比赛，此时 ，
∴ ；
（2） 且甲获胜,两人又打了 4 个球，且前两球是甲和乙各得 1 分，后两球均为甲得分。
因此所求概率为
21．（12 分）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
( 1)( 0)y k x k= − ≠ 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B
1 22, 2x x< <
2
1 2
1 2 2MA MB x x
y yk k+ = +− −
11 22,y k k xy kx k= − = − 1 2 1 2
1 2(
2 3 ( ) 4
2)( 2)MA MB
x x x xk k
x x
kk k
− + ++ = − −
( 1)y k x= − 2
2 12
x y+ = 2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k+ − + − =
2
1 22 1
2
22
4 2 2,2 1 2 1x x xk k
k x k
−+ = =+ +
3
1
3
1
3
2 2 2
4 4 12 8 42 3 ( ) 4 02 1
k k k k kk k k kx x x x
− − + +− + + = =+
0MA MBk k+ = OMA OMB∠ = ∠
OMA OMB∠ = ∠
1( ) lnf x x a xx
= − +
( )f x
10:10
0.5 0.4 10:10
X
( 2)P X =
4X =
2X =
1 0.5 0.4 0.2P = × =
2 0.5 0.6 0.3P = × =
1 2( 2) 0.5P X P P= = + =
4X =
1.04.05.0]4.0)5.01()4.01(5.0[ =×××−+−×（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．
解:（1） 的定义域为 ， .
（i）若 ，则 ，当且仅当 ， 时 ，所以 在
单调递减.
（ii）若 ，令 得， 或 .
当 时， ；
当 时 ， . 所 以 在
单调递减，在 单调递增.
（2）由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .
由于 的两个极值点 满足 ，所以 ，不妨设 ，则
.由于
，
所以 等价于 .
设函数 ，由（1）知， 在 单调递减，又 ，从而
当 时， .所以 ，即 .
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方
( )f x 1 2,x x
( ) ( )1 2
1 2
2f x f x ax x
− < −−
( )f x (0, )+∞ 2
2 2
1 1( ) 1 a x axf x x x x
− +′ = − − + = −
2a ≤ ( ) 0f x′ ≤ 2a = 1x = ( ) 0f x′ = ( )f x (0, )+∞
2a > ( ) 0f x′ = 2 4
2
a ax
− −=
2 4
2
a ax
+ −=
2 24 4(0, ) ( , )2 2
a a a ax
− − + −∈ +∞ ( ) 0f x′ <
2 24 4( , )2 2
a a a ax
− − + −∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
2 24 4(0, ),( , )2 2
a a a a− − + − +∞
2 24 4( , )2 2
a a a a− − + −
( )f x 2a >
( )f x 1 2,x x 2 1 0x ax− + = 1 2 1x x = 1 2x x<
2 1x >
1 2 1 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
( ) ( ) ln ln ln ln 2ln1 1 2 2 1
f x f x x x x x xa a ax x x x x x x x xx
− − − −= − − + = − + = − +− − − −
1 2
1 2
( ) ( ) 2f x f x ax x
− < −− 2 2
2
1 2ln 0x xx
− + <
1( ) 2lng x x xx
= − + ( )g x (0, )+∞ (1) 0g =
(1, )x∈ +∞ ( ) 0g x < 2 2
2
1 2ln 0x xx
− + < 1 2
1 2
( ) ( ) 2f x f x ax x
− < −−
xOy C
2cos
4sin
x θ
y θ
=
=
，
θ l程为 （ 为参数）．
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，求 的斜率．
【解析】（1）曲线 的直角坐标方程为 ．
当 时， 的直角坐标方程为 ，
当 时， 的直角坐标方程为 ．
（2）将 的参数方程代入 的直角坐标方程，整理得关于 的方程
．①
因为曲线 截直线 所得线段的中点 在 内，所以①有两个解，设为 ， ，则
．又由①得 ，故 ，于是直线
的斜率 ．
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）当 时，
可得 的解集为 ．
（2） 等价于 ．
而 ，且当 时等号成立．故 等价于 ．
由 可得 或 ，所以 的取值范围是 ．
1 cos
2 sin
x t α
y t α
= +
= +
，
t
C l
C l (1, 2) l
C
2 2
14 16
x y+ =
cos 0α ≠ l tan 2 tany xα α= ⋅ + −
cos 0α = l 1x =
l C t
2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0t tα α α+ + + − =
C l (1,2) C 1t 2t
1 2 0t t+ = 1 2 2
4(2cos sin )
1 3cost t
α α
α
++ = − + 2cos sin 0α α+ = l
tan 2k α= = −
( ) 5 | | | 2|f x x a x= − + − −
1a = ( ) 0f x ≥
( ) 1f x ≤ a
1a =
2 4, 1,
( ) 2, 1 2,
2 6, 2.
x x
f x x
x x
+ ≤ −
= − < ≤
− + >
( ) 0f x ≥ { | 2 3}x x− ≤ ≤
( ) 1f x ≤ | | | 2 | 4x a x+ + − ≥
| | | 2 | | 2 |x a x a+ + − ≥ + 2x = ( ) 1f x ≤ | 2 | 4a + ≥
| 2 | 4a + ≥ 6a ≤ − 2a ≥ a ( , 6] [2, )−∞ − +∞
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