赣县第三中学高三年级 2019-2020 学年第一学期九月考
数学（理数）试卷
一、单选题
1．如图，阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
2．若复数 的实部与虚部相等，则实数 的值为 （ ）
A． B． C． D．
3． 是幂函数，且在 上是减函数，则实数 （ ）
（A）2 （B） （C）4 （D）2 或
4．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则 （ ）
A．4 B． C． D．
5．已知 ， 则“ 且 ”是“抛物线 的焦点在 轴非负半轴上”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出 2 个球都是红球的概率为 ，从盒中取出 2
个球都是黄球的概率是 ，则从盒中任意取出 2 个球恰好是同一颜色的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．如图 1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问
折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1 丈=10 尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹
尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.
A． B． C． D．
8．函数 在 内单调递减，则 的范围是（ ）
( )UA C B∩ ( )UC A B∩ ( )UC A B∩ ( )UC A B∪
1
a iz i
+= + a
3 2 1 0
322 2
)1()( −−−−= mmxmmxf ),0( +∞∈x =m
1− 1−
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 1, 2, 120b c A= = = a =
7 6 3
m n∈R 0m < 0n > 2 0mx ny+ = y
3
28
5
14
13
28
5
7
15
28
3
7
( ) 22 8 3, 1
log , 1a
x ax xf x
x x
− + ,3 4
π π − 2− ω
2
3
3
2
R ( )f x ( 4) ( )f x f x+ = [0,2]x∈
( ) sin 2 sinf x x xπ π= + ( ) 0f x lgx− = [0,10]
( )f x ( )1,1 x R∀ ∈ ( ) 2f x′ > −
( ) 2log 2 3 1 3 log 3 1x xf − < − −
( ) ( ),0 0,1−∞ ∪ ( )0,+∞ ( ) ( )1,0 0,3− ∪ ( ),1−∞
2 61( )2x x
−
0,1,2,3,4
P 3 2: 2C y x x= − + C P [0, ]4
π
P
( ) ( )
2 1
2 0,
x
xf x x x R
+
= ≠ ∈
( )y f x= y
( ),0−∞ ( )y f x=
( )1,+∞ ( )f x
( )y f x= [ )4,+∞
ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos 3 cos cosb C a B c B= −
cos B18．已知 ，命题 ：对任意 ，不等式 恒成立；命题
：存在 ，使得 成立.
（Ⅰ）若 为真命题，求 的取值范围；
（Ⅱ）若 且 为假， 或 为真，求 的取值范围.
19．已知定义域为 的单调函数 是奇函数,当 时, .
（1）求 的解析式.
（2）若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
20．羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得 1 分，负方得 0 分，每回合由上回合
的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得 1 分的概率为 0.6，各回合发球的
胜负结果相互独立．若在一局比赛中，甲先发球．
（1）求比赛进行 3 个回合后，甲与乙的比分为 的概率；
（2） 表示 3 个回合后乙的得分，求 的分布列与数学期望．
m R∈ p [ ]0,1x∈ 2
2log ( 1) 2 3x m m+ − ≥ −
q [ ]1,1x∈ − 1 12
x
m ≤ −
p m
p q p q m
R ( )f x 0x > ( ) 23
xxf x = −
( )f x
t R∈ ( ) ( )2 22 2 0f t t f t k− + − < k
2:1
ξ ξ21．已知函数 （ ）， .
（1）若 的图象在 处的切线恰好也是 图象的切线.
①求实数 的值；
②若方程 在区间 内有唯一实数解，求实数 的取值范围.
（2）当 时，求证：对于区间 上的任意两个不相等的实数 ， ，都有
成立.
22．在极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，点 ，
以极点 为原点，以极轴为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线
（ 为参数）与曲线 交于 两点，且 .
（1）若 为曲线 上任意一点，求 的最大值，并求此时点 的极坐标；
（2）求 .
23．选修 4-5 不等式选讲
若函数 的最小值为 2．
（1）求实数 的值；
（2）若 ，且 ，证明： ．
( ) ( )lnf x a x x= + 0a ≠ ( ) 2g x x=
( )f x 1x = ( )g x
a
( )f x mx= 1 ,e
+∞ m
0 1a< < [ ]1,2 1x 2x
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x g x g x− < −
C 2cos 2sin (0 2 )ρ θ θ θ π= + ≤ < 1, 2M
π
O x
2
2:{
21 2
x t
l
y t
=
= +
t C ,A B MA MB>
( ),P ρ θ C ρ P
MA
MB
( ) 1 2 ( 0)f x x x a a= − + − >
a
, ,u v w R+∈ u v w a+ + = 2 2 2 2u v w a+ + ≥高三年级 2019-2020 学年第一学期九月考参考答案
1．A2．D3．A4．B5．A6．A7．B8．B9．B10．B
11．C【详解】
因为 ，由 得， 是以 4
为周期的周期函数；方程 在区间 上的根，即为两函数 与
的图像在区间 的交点横坐标，作出函数图像如下图：
由图可知，两函数在区间 上的交点个数为 19，因此方程 在区间
上根的个数为 19.
12．A【解析】
令 ，有 ，所以 在定义域内单调递增，由
，得 ，因为 等价于
，令 ，有 ，则有 ，即
，从而 ，解得 且 . 故选 A.
13．
14．
15．
由切线的倾斜角范围为 ，得知切线斜率的取值范围是 ，然后对曲线 对应的函数
求导得 ，解不等式 可得出点 的横坐标的取值范围.
【详解】
由于曲线 在点 处的切线的倾斜角的取值范围是 ，则切线斜率的取值范围是 ，
对函数 求导得 ，令 ，即 ，
解不等式 ，得 或 ；
( ) 3 0 1sin 2 sin 1 2
sin x xf x x x sin x x
ππ π π
≤ ≤= + = − < ≤
，
，
( ) ( )4f x f x+ = ( )f x
( ) 0f x lgx− = [ ]0,10 ( )y f x=
y lgx= [ ]0,10
[ ]0,10 ( ) 0f x lgx− = [ ]0,10
( ) ( ) 2F x f x x= + ( ) ( ) 2 0F x f x′ +′= > ( )F x
( )1 1f = ( ) ( )1 1 2 3F f= + = ( )2 2log 3 1 3 log 3 1|x xf − − −
( )2 2log 3 1 2log 3 1 3x xf − + − < 2log 3 1xt = − ( ) 2 3f t t+ < 1t <
2log 3 1 1x − < 3 1 2x − < 1,x < 0x ≠
15
16
60
1 2,0 ,13 3
− ∪
0, 4
π
[ ]0,1 C
y′ 0 1y≤ ′ ≤ P
C P 0, 4
π [ ]0,1
3 2 2y x x= − + 23 2y x x′ = − 0 1y≤ ′ ≤ 20 3 2 1x x≤ − ≤
23 2 0x x− ≥ 0x ≤ 2
3x ≥解不等式 ，即 ，解得 .
所以，不等式组 的解集为 .
因此，点 的横坐标的取值范围是 .
16．①③④
【解析】函数 .
函数满足 ，即为偶函数，所以图象关于 轴对称，所以①正确；
②当 x>0 时，令
则 ，∵ 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上是增函数，
在其定义域为增函数，故函数 y=f(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上是增函数，
结合①的结论及偶函数在对称区间上单调性相反，可得在区间(−∞,−1)上，函数 y=f(x)是减函
数，在(−1,0)上是增函数，故②错误，③正确；
④由②中函数的单调性，可得当 x=±1 时，函数 f(x)取最小值为 ，故④正确。
故正确命题的序号为①③④.
17．
（1）解：
∴
∴
∴ -----------------------6 分
（2）解：→BA·→BC
所以 ①
②
----------------------------------------12 分
18．（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
（Ⅰ）∵对任意 ， 不等式 恒成立，
当 ，由对数函数的性质可知当 时， 的最小值为
∴ ．解得 ．
因此，若 为真命题时， 的取值范围是 ．
23 2 1x x− ≤ 23 2 1 0x x− − ≤ 1 13 x− ≤ ≤
20 3 2 1x x≤ − ≤ 1 2,0 ,13 3
− ∪
P
1 2,0 ,13 3
− ∪
( )
2 1 1
2 2
x xx xf x
+ +
= =
( ) ( )f x f x= − y
1t x x
= +
t2y = 1t x x
= +
t2y =
22 4=
[ ]1,2 ( ) ( ],1 1,2−∞
[ ]0,1x∈ 2
2log ( 1) 2 3x m m+ − ≥ −
[ ]0,1x∈ 0x = 2log ( 1) 2y x= + − 2−
2 3 2m m− ≤ − 1 2m≤ ≤
p m [ ]1,2（Ⅱ）存在 ，使得 成立，∴ ，
命题 为真时， ．
∵ 且 为假， 或 为真，
∴ 中一个是真命题，一个是假命题．
当 真 假时，则 解得 ；
当 假 真时， 即 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
19．（1） ；（2）
(1) 当 时, ，
∴ ，
又函数 是奇函数，
∴ ，
∴ ．
又 ．
综上所述 ．
（2）∵ 为 上的单调函数，且 ，
∴函数 在 上单调递减．
∵ ，
∴ ，
∵函数 是奇函数，
∴ ．
又 在 上单调递减，
[ ]1,1x∈ − 1 12
x
m ≤ − max
11 1[ 1] 1 12 2
x
m
-æ ö æ öç ÷ ç ÷- = - =ç ÷ ç ÷ø
£
è è ø
q 1m £
p q p q
,p q
p q 1 2
1
m
m
≤ ≤
> 1 2m< ≤
p q 1 2
1
m m
m
≤
或
1m <
m ( ) ( ],1 1,2−∞
2 , 03
( ) 0, 0
2 , 03
x
x
x x
f x x
x x−
− >
= =
+ <
1
3k < −
0x < 0x− ≥
( ) 23
xxf x −−− = −
( )f x
( ) ( )f x f x− = −
( ) 23
xxf x −= +
(0) 0f =
2 , 03
( ) 0, 0
2 , 03
x
x
x x
f x x
x x−
− >
= =
+ <
( )f x R 5( 1) (0) 03f f− = > =
R
( ) ( )2 22 2 0f t t f t k− + − <
( ) ( )2 22 2f t t f t k− < − −
( )f x
( ) ( )2 22 2f t t f k t− < −
( )f x R∴ 对任意 恒成立，
∴ 对任意 恒成立，
∴ ，
解得 ．
∴实数 的取值范围为 ．
20．
解：记“第 回合发球，甲胜”为事件 ， =1，2，3，且事件 相互独立．
（1）记“3 个回合后，甲与乙比分为 2 比 1”为事件 ，
则事件 发生表示事件 或 或 发生，
且 ， ， 互斥．
又 ，
，
．
由互斥事件概率加法公式可得
．
答：3 个回合后，甲与乙比分为 2 比 1 的概率为 0.336．
（2）因 表示 3 个回合后乙的得分，则 0，1，2，3．
， ，
．
．
所以，随机变量 的概率分布列为
0 1 2 3
0.216 0.336 0.304 0.144
故随机变量 的数学期望为
= ．
2 22 2t t k t− > − t R∈
23 2 0t t k− − > t R∈
4 12 0k∆ = + <
1
3k < −
k 1, 3
−∞ −
i iA i iA
A
A 1 2 3A A A 1 2 3A A A 1 2 3A A A
1 2 3A A A 1 2 3A A A 1 2 3A A A
1 2 3( ) 0.6 0.6 0.4 0.144P A A A = × × =
1 2 3( ) 0.6 0.4 0.4 0.096P A A A = × × =
( )1 2 3 0.4 0.4 0.6 0.096P A A A = × × =
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )P A P A A A A A A A A A= + +
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )P A A A P A A A P A A A= + +
0.144 0.096 0.096 0.336= + + =
ξ ξ =
( )1 2 3( 0) 0.6 0.6 0.6 0.216P P A A Aξ = = = × × = ( 1) 0.336P ξ = =
1 2 3( 2) (P P A A Aξ = = + 1 2 3 1 2 3 )A A A A A A+
1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( ) ( )P A A A P A A A P A A A= + +
0.6 0.4 0.6 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6 0.4 0.304= × × + × × + × × =
( )1 2 3( 3) 0.4 0.6 0.6 0.144P P A A Aξ = = = × × =
ξ
ξ
P
ξ
( )E ξ 0 0.216 1 0.336 2 0.304 3 0.144 1.376× + × + × + × =答： 的数学期望为 1.376．
21．试题解析：① ，∴ ， ，切点为 ，
∴切线方程为 ，即 ，
联立 ，消去 ，可得 ， ，
∴ ；
②由 ，得 ，
设 ， ，则问题等价于 与 的图象在 上有唯一交
点，
∵ ，∴ ， ，函数单调递增， ， ，函数单调
递减，
∵ ， ，且 时， ，
∴ ；
证明：（2）不妨设 ，则 ， ，
∴ 可化为
∴
设 ，即 ，∴ 在 上单调递减，
∴ 恒成立，即 在 上恒成立，
∵ ，∴ ，
从而，当 时，命题成立.
22．
（1） ， ，
∴当 时， 取得最大值 ，此时， 的极坐标为 .
（2）由 ，得 ，即 ，
故曲线 的直角坐标方程为 .
ξ
( ) 1' 1f x a x
= + 1x = ( )' 1 2f a= ( )1,a
( )2 1y a a x− = − 2y ax a= −
2
2{y ax a
y x
= −
= y 2 2 0x ax a− + = 24 4 0a a∆ = − =
1a =
lnx x mx+ = ln1 xm x
= +
( ) ln1 xt x x
= + 1 ,x e
∈ +∞ y m= ( )t x 1 ,e
+∞
( ) 2
1 ln' xt x x
−= 1 ,ee
( )' 0t x > ( ),e +∞ ( )' 0t x <
1 1t ee
= −
( ) 11t e e
= + ( ),x e∈ +∞ ( ) 1t x >
[ ] 11 ,1 1m e e
∈ − ∪ +
1 21 2x x≤ < ≤ ( ) ( )1 2f x f x< ( ) ( )1 2g x g x<
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x g x g x− < − ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1f x f x g x g x− < −
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1f x g x f x g x− < −
( ) ( ) ( )F x f x g x= − ( ) ( ) 2lnF x a x x x= + − ( )F x [ ]1,2
( ) 22' 02
ax a xF x
+ −= ≤
22
1
xa x
≤ + [ ]1,2
2
2
2 2 11 1 1 1
2 4
x
x
x
= − ≥+ + −
1a ≤
0 1a< <
2 2 2 2 4cos sin sin
πρ θ θ θ = + = + 0 2θ π≤ <
4
πθ = ρ 2 2 P 2 2, 4
π
2 2cos sinρ θ θ= + 2 2 2cos sinρ ρ θ ρ θ= + 2 2 2 2 0x y x y+ − − =
C ( ) ( )2 21 1 2x y− + − =将 代 入 并 整 理 得 ： ， 解 得
，
∵ ，∴由 的几何意义得， ， ，
故 .
23．试题解析：
（Ⅰ）解：当 时， 最小值为 ，
当 时， 最小值为 ， （舍）
综上所述， .
（Ⅱ）证明：∵
∴ 。
2
2{
21 2
x t
y t
=
= +
( ) ( )2 21 1 2x y− + − = 2 2 1 0t t− − =
2 6
2t
±=
MA MB> t 6 2
2MA
+= 6 2
2MB
−=
6 2 2 3
6 2
MA
MB
+= = +
−
12
a ≥ ( )
3 1 , 2
1, 1 2
3 1, 1
ax a x
af x x a x
x a x
− − >
= − + − ≤ ≤
− + +
= − + ≤ ≤
− + +
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