-2020 学年第一学期高三第二次月考
数学试卷（理科）
一、选择题：(本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．已知全集 ，A={2,3,4}， , =（ ）
A．{2,3} B．{1,2} C．{4} D．{3,4}
2．下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若 x2=4，则 x=2”的否命题为：“若 x2=4，则 ”．
B．“ ”是“x2- x -2=0”的必要不充分条件．
C．命题“ 使得 ”的否定是：“对 均有
”．
D．命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题．
3.已知函数 f (x)＝
，
则 f (3)的值等于( )
A．－2 B．2 C．1 D．－1
4．已知命题 p：关于 x 的函数 y＝x2－3ax＋4 在[1，＋∞)上是增函数，命题 q：关
于 x 的函数 y＝(2a－1)x 在[1，＋∞)上是减函数，若“p 且 q”为真命题，则实数 a
的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.下列导数运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6．幂函数 在 为增函数，则 m 的值为（ ）
A. 1 或 3 B. 1 C. 3 D. 2
7．已知 f(x)、g(x)均为[－1,3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程 f(x)＝g(x)有
实数解的区间是( )
1x = −
,Rx ∈ ,Rx ∈
x y=
x －1 0 1 2 3
}056|{ 2 ≤+−∈= xxNxU }2,1{=BCU BA
2≠x
∃ 0123 ≤+− xx ∀
0123 ≤+− xx
yx coscos =
>−−−
≤+
0),2()1(
0,1
xxfxf
xx
∞−
3
2,
2
10，
3
2,2
1
12
1，
( )x xe e− −′ =
2
1 1( ) 1x x x
′+ = +
2
cos sin cos( )x x x x
x x
−′ = 2( ln ) 2 lnx x x x x′ = +
862 2
)44()( +−+−= mmxmmxfA.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
8．函数 图象的大致形状为（ ）
A． B． C． D．
9．函数 f(x)＝2x－2
x
－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数 a 的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
10．已知 是定义域为 的偶函数，且 ，当 时，
，则 （ ）
A.－1 B. 0 C. 1 D. 35
11．已知函数 y= f (x) 的周期为 2，当 x 时 f (x) =x2 ，那么函数 y = f (x) 的
图像与函数 y = 的图像的交点共有 ( )
A. 10 个 B. 9 个 C. 8 个 D. 1 个
12．已知 ， ，且 ， ， ，
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. 函数 f(x)＝ 1
x－2
＋ln(3x－x2)的定义域是__________．
14．函数 f(x)＝lg(x2－5x＋6)的单调递减区间为__________．
15．已知函数 对任意不相等的实数 ， ，都有
，则 的取值范围为__________．
( ) 1 lnf x x xx
= +
)(xf R )2()2( xfxf −=+ ]2,0[∈x
xxxf 2)( 2 −= =− )5(f
∈ [ ]11，−
xlg
( ) exaf x x
= [ ]1,2x∈
1x∀ [ ]2 1,2x ∈ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2
1 2
1f x f x
x x
−
( )f x 1 1 1
a b c
+ +2020--2020 学年第一学期高三第二次月考
数学试卷（理科）答案
一、选择题：(本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D D C D B B D C A A D
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. (2,3) 14. (－∞，2) 15. 16.①③④
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题
为必考题，每题必须作答。第 22,23 题为选考题，考生根据要求作答。
17.（12 分）解：设 x＞0，则-xex1，∴(ex2－ex1)(1＋ 1
ex1＋x2)>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
2 2
7 3a≤ <
31)(
,3ln)(0
+−=′
+−=>
xxf
xxxfx 时，所以当(2)由(1)知 f(x)在 R 上为奇函数且单调递增，由 f(x－t)＋f(x2－1
2)≥0 得 f(x2－1
2)
≥f(t－x)．
由题意得 x2－1
2
≥t－x，即 t≤x2＋x－1
2
恒成立，又 x2＋x－1
2
≥－3
4
，∴t≤－3
4.
综上得 t 的取值范围是(－∞，－3
4].
19.（12 分）解：(1)∵f(x)在 x＝2 时有极值，∴有 f′(2)＝0，
又 f′(x)＝a＋a
x2－2
x
，∴有 a＋a
4
－1＝0，∴a＝4
5
，
∴有 f′(x)＝4
5
＋ 4
5x2－2
x
＝ 2
5x2(2x2－5x＋2)，由 f′(x)＝0 有 x1＝1
2
，x2＝2，
∴f(x)的递增区间为(0，1
2]和[2，＋∞)，递减区间为(
1
2，2).
(2)若 f(x)在定义域上是增函数，则 f′(x)≥0 在 x>0 时恒成立，
∵f′(x)＝a＋a
x2－2
x
＝ax2－2x＋a
x2 ，
∴需 x>0 时 ax2－2x＋a≥0 恒成立，
化为 a≥ 2x
x2＋1
恒成立，∵ 2x
x2＋1
＝ 2
x＋1
x
≤1，∴a≥1.
20. （12 分）解：（Ⅰ）当 m=0 时，f(x)= -x2+3.
此时 ，则 .
由 ，解得 .
由 ; ;
∴ 在 ， 上单调递减，在 上单调递增.
所以 有极小值 ， 有极大值 .
（Ⅱ）由 ，得 .
所以“ 在区间 上有两个零点”等价于“直线 与曲线
， 有且只有两个公共点”.
对函数 求导，得 .
由 ，解得 ， .
3( ) ( ) 3h x xf x x x= = − + 2( ) 3 3h x x′ = − +
( ) 0h x′ = 1x = ±
⇒〉′ 0)(xh 11 〈〈− x 1,10)( 〉〈−⇒〈′ xxxh 或
( )h x ( , 1)−∞ − (1, )+∞ ( 1,1)−
( )h x ( 1) 2h − = − ( )h x (1) 2h =
2( ) e 3 0xf x m x= − + =
2 3
ex
xm
−=
( )f x [ 2 , 4]− y m=
2 3( ) ex
xg x
−= [ 2 , 4]x ∈ −
( )g x
2 2 3( ) e x
x xg x
− + +′ =
( ) 0g x′ = 1 1x = − 2 3x = 由 ; 由 .
∴ 在 ， 上单调递减，在 上单调递增.
又因为 ， ， ， ，
所以当 或 时，直线 与曲线 ，
有且只有两个公共点.
∴当 或 时，函数 在区间 上有两个零点
21.（12 分）解：(1)由 f(x)在点(e，f(e))处的切线方程与直线 2x－y＝0 平行，
得该切线斜率为 2，即 f′(e)＝2.
又∵f′(x)＝a(ln x＋1)，令 a(ln e＋1)＝2，a＝1，所以 f(x)＝xln x.
(2)由(1)知 f′(x)＝ln x＋1，显然 f′(x)＝0 时 x＝e－1.
当 x∈(0，1
e)时 f′(x)0，
所以函数 f(x)在(
1
e，＋∞)上单调递增，
①当1
e
∈(t，t＋2]时，f(x)min＝f(
1
e )＝－1
e
，
②当1
e
≤t0，h(x)单调递增，
x∈(1,2)，h′(x) −
4
132e em− < < 3
6
em = y m= 2 3( ) ex
xg x
−= [ 2 , 4]x ∈ −
4
132e em− < < 3
6
em = ( )f x [ 2 , 4]−x∈(2，e)，h′(x)>0，h(x)单调递增，
∴h(x)极大值＝h(1)＝－1，且 h(e)＝e－3－2e－1
1 1
3 3
x− <
1
2 1 3
x
x
≥
+ >
{ }1 1x x x< − >或
( ) 3f x x a x b c a x x b c a b c a b c= − + + + ≥ − + + + = + + = + + =
( )1 1 1 1 1 1 1 1 33 3
b a c a c ba b ca b c a b c a b a c b c
+ + = + + + + = + + + + + +
( )1 3 2 2 2 33
≥ + + + =
1a b c= = =
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