山西大学附中2020届高三上学期第二次模块诊断数学（理）（有答案）.doc

山西大学附属中学 2019~2020 学年高三第一学期（总第二次）模块诊断 数学试题（理） 考试时间：120 分 满分：150 分 一、选择题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合 ，则 　　 A． B． C． ， D． ，0，1， 2．复数 ， ，其中 为虚数单位，则 的虚部为 　　 A． B．1 C． D． 3．已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为 　　 A． B． C． D．1 4．某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600 个零件进行编号， 编号分别为 001，002， ，599，600 从中抽取 60 个样本，如下提供随机数表的第 4 行到第 6 行： 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45 若从表中第 6 行第 6 列开始向右依次读取 3 个数据，则得到的第 6 个样本编号 　　 A．522 B．324 C．535 D．578 5．函数 的图象大致是 　　 A． B． C． D． 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 　　 A． B． C． D． 7．已知 ，则 　　 A. B. C. D. 8．下列说法正确的是 　　 A．设 为实数，若方程 表示双曲线，则 ． B．“ 为真命题”是“ 为真命题”的充分不必要条件 C．命题“ ，使得 ”的否定是：“ ， ” D．命题“若 为 的极值点，则 ”的逆命题是真命题 9．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直 发到 3 次结束为止．某考生一次发球成功的概率为 ，发球次数为 ，若 的数学 期望 ，则 的取值范围为 　　 A． B． C． D． 1sin 5 4 π α − =   3cos 2 5 πα + =   7 8 − 7 8 1 8 1 8 − 2{ | 2 0}A x Z x x= ∈ − −  (z A = ) {0} {1} {0 1} { 1− 2} 1 1z i= + 2z i= i 1 2 z z ( ) 1− i i− ( 3,1)a = ( 3, 3)b = − b a ( ) 3− 3 1− … ( ) 6( ) 2 2x x xf x −= + ( ) ( ) 11 6 π 7 3 π 13 6 π 8 3 π ( ) ( ) m 2 2 11 2 x y m m + =− − 2m > p q∧ p q∨ x R∃ ∈ 2 2 3 0x x+ + < x R∀ ∈ 2 2 3 0x x+ + > 0x ( )y f x= ( ) 0f x′ = (0 1)p p< < X X ( ) 1.75E X > p ( ) 1(0, )2 7(0, )12 1( ,1)2 7( ,1)1210．已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，下列说 法正确的是 　　 A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称 C．将函数 的图象向左平移 个单位得到函 数 的图象 D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则 m 的 取值范围是 11 ． 已 知 ， 若 方 程 有唯一解，则实数 的取值范围是 　　 A． B． C． D． 12．已知 ，若点 是抛物线 上任意一点，点 是圆 上任意一点， 则 的最小值为 　　 A． B． C． D． 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．若曲线 在点 ， 处的切线与直线 垂直，则 　　． 14．已知 ，且 ，则 的最小值为　　． 15．已知 ，则 _____． 16．已知三棱锥 的四个顶点都在半径为 3 的球面上， ，则该三棱锥体积的 最大值是　　． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分 12 分）已知等比数列 的前 项和为 成等差数列， 且 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 ． 18．（本小题满分 12 分）已知三棱锥 中， 为等腰直角三角形， ， ，设点 为 中点，点 为 中点，点 为 上一点，且 ． （1）证明： 平面 ； （2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值． ( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A > 0ω > | | 2 πϕ < ( )f x 2 3x π= − ( )f x 5( ,0)12 π− 3sin 2 cos2y x x= − 2 π ( )f x ( )f x m= [ ,0]2 π− ( 2, 3]− − ( ) 1 1, 1 0( 1)( ) ,0 1 xf xf x x x  − − < 1F 2F 1 2 P C 1 2PF F 3 C 2PF C Q (0, )T t | | | |TP TQ= t x X ( )2,N µ σ µ x 2σ 2s 2 6. 92s = 84. 14% 6.92 2.63≈ X ( )2,N µ σ ( ) 0.6827P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 2 2 ) 0.9545P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.9973P Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( ) 1 2xf x e kx k+= − − e k R∈ ( )f x（2）当函数 有两个零点 时,证明： ． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ， 为参数），在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 ， ． （1）求 与 交点的直角坐标； （2）若直线 与曲线 ， 分别相交于异于原点的点 ， ，求 的最大值． 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ． （1）若 ，求不等式 的解集； （2）已知 ，若 对于任意 恒成立，求 的取值范围． 山西大学附属中学 2019~2020 学年高三第一学期（总第二次）模块诊断 数学试题（理） 考试时间：120 分 满分：150 分 二、选择题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A A C C C A B A D D A 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13． ． 14． ． 15． 16． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．解：（1）等比数列 的公比为 ， ，前 项和为 成等差数 列，可得 ，即为 ， 化为 ，解得 ， ，即为 ， ( )f x 1 2,x x 1 2 2x x+ > − xOy l cos sin x t y t α α =  = (t x 1 : 2cosC ρ θ= 2 : 2cos( )3C πρ θ= − 1C 2C l 1C 2C M N | |MN ( ) | 2 | | 3| ( )f x x a x a R= + − − ∈ 1a = − ( ) 1 0f x + > 0a > ( ) 3 2f x a+ > x R∈ a 4a = 4− 2− 32 3 { }na q 1q ≠ n * 2 3 4( ), 2 , ,4nS n N S S S∈ − 3 4 22 4 2S S S= − 3 4 2 1 1 1(1 ) (1 ) (1 )2 4 21 1 1 a q a q a q q q q − − −= −− − −   22 1 0q q− − = 1 2q = − 2 3 4 12 16a a a+ + = 1 1 1 1 1 1 122 4 8 16a a a− + − =解得 ，则 ， ； （ 2 ） ， 可 得 ， 即有前 项和 ． 18．（1）证明：连接 交 于 点，连接 ， 点 为 的中点，点 为 的中点， 点 为 的重心，则 ， ， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）解： ， ， ， ， ， ，可得 ，又 ，则以 、 、 所在直线分别 为 、 、 轴建立空间直角坐标系 ， 则 ，0， ， ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，0， ， ， ， ．设平面 的一个法向量为 ，由 ， 取 ， 得 ． 设 直 线 与 平 面 所 成 角 为 ， 则 ． 直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 19．解：（Ⅰ） 椭圆离心率为 ，当 为 的上顶点时，△ 的面积有最大值 ． ， ， ， ． 故椭圆 的方程为： ． （ Ⅱ ） 设 直 线 的 方 程 为 ， 当 时 ， 代 入 ， 得 ： ；设 ， ， ， ，线段 的中点为 ， ， ， ，即 ， ， 直线 为线段 的垂直平分线； ，则 ． 1 1 2a = − 1( )2 n na = − *n N∈ 2 2 1( 2)log | | ( 2)log ( 2)2n n nb n a n n n= − + = − + = + 1 1 1 1 1( )( 2) 2 2nb n n n n = = −+ + n 1 1 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 2 4 1 1 2nT n n n n = − + − +…+ − + −− + + 1 1 1 1 3 1 1 1(1 ) ( )2 2 1 2 4 2 1 2n n n n = + − − = − ++ + + + PD CE G FG  E PA D AC ∴ G PAC∆ 2PG GD= 2PF FB= / /FG BD∴ FG ⊂ CEF BD ⊂/ CEF / /BD∴ CEF AB AC= PB PC= PA PA= PAB PAC∴∆ ≅ ∆ PA AC⊥ PA AB∴ ⊥ 2PA = AB AC⊥ AB AC AP x y z A xyz− (0A 0) (1B 0) (0C 0) (0P 2) (0E 1) ( 1,1,0)BC = − ( 1,0,2)BP = − (0, 1,1)CE = − PBC ( , , )n x y z= 0 2 0 n BC x y n BP x z  = − + = = − + =   1z = (2,2,1)n = CE PBC θ | 2 1| 2sin | cos , | 62 3 n CEθ − += < > = = ×  ∴ CE PBC 2 6  1 2 P C 1 2PF F 3 ∴ 2 2 2 1 2 1 2 32 c a c b a b c  =  × × =  = +  2a∴ = 3b = 1c = C 2 2 14 3 x y+ = PQ ( 1)y k x= − 0k ≠ ( 1)y k x= − 2 2 14 3 x y+ = 2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ − + − = 1(P x 1)y 2(Q x 2 )y PQ 0(N x 0 )y 2 1 2 0 2 4 2 3 4 x x kx k += = + 1 2 0 0 2 3( 1)2 3 4 y y ky k x k + −= = − = + 2 2 2 4 3( , )3 4 3 4 k kN k k − + + | | | |TP TQ= ∴ TN PQ TN PQ∴ ⊥ 1TN PQk k = −所 以 ， ， 当 时 ， 因 为 ， ．当 时，因为 ， ．当 时， 符合题意．综 上， 的取值范围为 ． 20．解：（1） 千 元. （2）有题意， ～ . （i） 时，满足题意即 最低年收入大约为 14.77 千元 （ii）由 ，得 每个农民的年收入不少于 12.14 千元的事件概率为 0.9773， 记 1000 个农民的年收入不少于 12.14 千元的人数为 ，则 ，其中 ，于是恰好有 个农民的年收入不少于 12.14 千元的事件概率是 从而由 ，得 而 ，所以，当 时， ， 当 时， ， 由此可知，在所走访的 1000 位农民中，年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是 978 21．【解析】（1）解：∵ ∴ .①当 时,令 ,解得 ,∴当 时, , 单调 递减；当 时, , 单调递增. ②当 时, 恒成立,∴函数 在 R 上单调递增. 综上,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增.当 时, 在 R 上单调递增. （2）证明：当 时,由（1）知函数 单调递增,不存在两个零点.所以 .设函数 2 2 2 3 4 3 14 4 3 k tk kk k − −+ = − +  2 1 34 3 4 kt k k k ⇒ = =+ + 0k > 34 4 3k k +  ∴ 3(0, ]12t ∈ 0k < 34 4 3k k + − ∴ 3[ ,0)12t ∈ − 0k = 0t = t 3 3[ , ]12 12 − 12 0.04 14 0.12 16 0.28 18 0.36 20 0.10 22 0.06 24 0.04=17.40x = × + × + × + × + × + × + × X ( )17.40,6.92N 1 0.6827( ) 0.84142 2P x µ σ> − = + ≈ 17.40 2.63 14.77µ σ∴ − = − = ( ) ( ) 0.954512,14 2 0.5 0.97732P X P X µ σ≥ = ≥ − = + ≈ ζ ( )3~ 10 ,B pξ 0.9773p = k ( ) ( ) 3 3 104 10 1 kkP k C p pξ −= = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1001 11 1 P k k p P k k p ξ ξ = − ×= >= − × − 1001k p< 1001 =978.2773p 0 978k≤ ≤ ( ) ( )1P k P kξ ξ= − < = 979 1000k≤ ≤ ( ) ( )1P k P kξ ξ= − > = ( ) 1 2xf x e kx k+= − − ， ( ) 0f x′ = 1 lnx k= − + ( ), 1 lnx k∈ −∞ − + ( )1 ln ,x k∈ − + +∞ ( ), 1 lnk−∞ − + ( )1 ln ,k− + +∞的两个零点为 , 则 ,设 , 解 得 , 所 以 , 要 证 , 只 需 证 , 设 设 单调递增,所以 ,所以 在区 间 上单调递增,所以 ,故 ．[ 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.解：（Ⅰ）由 ，得 ，则曲线 的直角坐标方程为 ， 由 ， 得 ， 则 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 ．由 ，解得 或 ， 故 与 交点的直角坐标为 ， ； （Ⅱ）不妨设 ，点 ， 的极坐标分别为 ， ， ， ． ． 当 时， 取得最大值 2． 23．解： 当 吋，函数 ， 当 时， ， 不等式 化为 ，解得 ； 当 时， ， ( ) 1 2 +1 ln4 1 t tx x t + + = − 2cosρ θ= 2 2 cosρ ρ θ= 1C 2 2 2x y x+ = 2cos( )3 πρ θ= − 2 cos 3 sinρ ρ θ ρ θ= + 2C 2 2 3 0x y x y+ − − = 2 2 2 2 2 3 0 x y x x y x y  + = + − − = 0 0 x y =  = 3 2 3 2 x y  =  = 1C 2C (0,0) 3 3( , )2 2 0 α π 2 1 0x− − + > 1x < − 1 32 x< < ( ) 2 1 ( 3) 3 4f x x x x= − + − = −不等式 化为 ，解得 ，取 ； 当 时， ， 不等式 化为 ，解得 ，取 ； 综上所述，不等式 的解集为 或 ； （2）当 吋，若 ，则 ， 此时 ，则 ，解得 ； 若 ，则 ， 此时 ，则 ，解得 ； 若 ，则 ， 此时 （3） ，则 恒成立； 综上所述，不等式 对任意 恒成立时， 的取值范围是 ． ( ) 1 0f x + > 3 4 1 0x − + > 1x > 1 3x< < 3x ( ) 2 1 ( 3) 2f x x x x= − − − = + ( ) 1 0f x + > 2 1 0x + + > 3x > − 3x ( ) 1 0f x + > { | 1x x < − 1}x > 0a > 2 ax − ( ) 2 ( 3) 3f x x a x x a= − − + − = − − − ( ) ( ) 32 2min a af x f= − = − − 5( ) 3 3 22f x a a+ − > 1a > 32 a x− < < ( ) 2 ( 3) 3 3f x x a x x a= + + − = + − 1( ) ( ) 32 2 af x f a> − = − − 5( ) 3 3 22f x a a+ > − > 1a > 3x ( ) 2 ( 3) 3f x x a x x a= + − − = + + ( )minf x f= 6 a= + ( ) 3 4 6 2f x a a+ + > ( ) 3 2f x a+ > x R∈ a 1a >